author Chris Barker Mon, 25 Oct 2010 19:06:51 +0000 (15:06 -0400) committer Chris Barker Mon, 25 Oct 2010 19:06:51 +0000 (15:06 -0400)
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index bd89880..7236189 100644 (file)
@@ -142,10 +142,12 @@ Baby monads
match x with None -> None | Some n -> f n;;

-Booleans, Church numbers, and Church lists in System F
-------------------------------------------------------
+Booleans, Church numbers, and Church lists in OCAML
+---------------------------------------------------

These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar.
+The idea is to get booleans, Church numbers, "Church" lists, and
+binary trees working in OCAML.

Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.

@@ -157,11 +159,10 @@ These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar
bool := ∀α. α → α → α
true := Λα. λt:α. λf :α. t
false := Λα. λt:α. λf :α. f
-    ifτ e then e1 else e2 := e [τ ] e1 e2

(where τ indicates the type of e1 and e2)

-   Exercise 1. Show how to encode the following terms. Note that each of these terms, when applied to the
+   Note that each of the following terms, when applied to the
appropriate arguments, return a result of type bool.

(a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
@@ -178,8 +179,8 @@ These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar
encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
a function s : α → α.

-   Exercise 2. Verify that these encodings (zero, succ , rec) typecheck in System F.
-   (Draw a type tree for each term.)
+   **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCAML,
+     including OCAML versions of bool, true, false, zero, succ, add.

Consider the following list type:

@@ -189,24 +190,25 @@ These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar

τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
-    consτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
+    makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)

-   As with nats, The τ list type’s case analyzing elimination form is just application.
+   As with nats, recursion is built into the datatype.

We can write functions like map:

map : (σ → τ ) → σ list → τ list
:= λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y

-   Exercise 3. Consider the following simple binary tree type:
+   **Excercise** convert this function to OCAML.  Also write an `append` function.
+   Test with simple lists.

-    datatype ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
+   Consider the following simple binary tree type:

-   (a) Give a System F encoding of binary trees, including a deﬁnition of the type τ tree and deﬁnitions of
-   the constructors leaf : τ tree and node : τ tree → τ → τ tree → τ tree.
+    type ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree

-   (b) Write a function height : τ tree → nat. You may assume the above encoding of nat as well as deﬁnitions
-   of the functions plus : nat → nat → nat and max : nat → nat → nat.
+   **Excercise**
+   Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
+   leaves in an int tree.

-   (c) Write a function in-order : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
+   Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.