author Chris Barker Mon, 25 Oct 2010 18:47:17 +0000 (14:47 -0400) committer Chris Barker Mon, 25 Oct 2010 18:47:17 +0000 (14:47 -0400)
 assignment5.mdwn patch | blob | history

index cf8d144..bd89880 100644 (file)
@@ -122,7 +122,10 @@ you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.

[[Hint assignment 5 problem 3]]

-4. Baby monads.  Read the lecture notes for week 6, then write a
+-----------
+
+   Read the lecture notes for week 6, then write a
function `lift` that generalized the correspondence between + and
`add`: that is, `lift` takes any two-place operation on integers
and returns a version that takes arguments of type `int option`
@@ -139,68 +142,71 @@ you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
match x with None -> None | Some n -> f n;;

-Church lists in System F
-------------------------
+Booleans, Church numbers, and Church lists in System F
+------------------------------------------------------

-These questions adapted from web materials written by some dude named Acar.
+These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar.

Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.

-   τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
-   e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
-   Despite its simplicity, System F is quite expressive. As discussed in class, it has suﬃcient expressive power
-   to be able to encode many datatypes found in other programming languages, including products, sums, and
-   inductive datatypes.
-   For example, recall that bool may be encoded as follows:
-   bool := ∀α. α → α → α
-   true := Λα. λt:α. λf :α. t
-   false := Λα. λt:α. λf :α. f
-   ifτ e then e1 else e2 := e [τ ] e1 e2
+    τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
+    e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
+
+   Recall that bool may be encoded as follows:
+
+    bool := ∀α. α → α → α
+    true := Λα. λt:α. λf :α. t
+    false := Λα. λt:α. λf :α. f
+    ifτ e then e1 else e2 := e [τ ] e1 e2
+
(where τ indicates the type of e1 and e2)
+
Exercise 1. Show how to encode the following terms. Note that each of these terms, when applied to the
appropriate arguments, return a result of type bool.
-   (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
-   (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
-   (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
-   The type nat may be encoded as follows:
-   nat := ∀α. α → (α → α) → α
-   zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
-   succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
+
+    (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
+    (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
+    (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
+
+   The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
+
+    nat := ∀α. α → (α → α) → α
+    zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
+    succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
+
A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
a function s : α → α.
-   Conveniently, this encoding “is” its own elimination form, in a sense:
-   rec(e, e0, x:τ. e1) := e [τ ] e0 (λx:τ. e1)
-   The case analysis is baked into the very deﬁnition of the type.
-   Exercise 2. Verify that these encodings (zero, succ , rec) typecheck in System F. Write down the typing
-   derivations for the terms.
-   1
-
-   ══════════════════════════════════════════════════════════════════════════
-
-   As mentioned in class, System F can express any inductive datatype. Consider the following list type:
-   datatype ’a list =
-   Nil
-   | Cons of ’a * ’a list
-   We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:1
-   τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
-   nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
-   consτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
-   As with nats, The τ list type’s case analyzing elimination form is just application. We can write functions
-   like map:
-   map : (σ → τ ) → σ list → τ list
-   := λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
+
+   Exercise 2. Verify that these encodings (zero, succ , rec) typecheck in System F.
+   (Draw a type tree for each term.)
+
+   Consider the following list type:
+
+    datatype ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
+
+   We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
+
+    τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
+    nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
+    consτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
+
+   As with nats, The τ list type’s case analyzing elimination form is just application.
+
+   We can write functions like map:
+
+    map : (σ → τ ) → σ list → τ list
+      := λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
+
Exercise 3. Consider the following simple binary tree type:
-   datatype ’a tree =
-   Leaf
-   | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
+
+    datatype ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
+
(a) Give a System F encoding of binary trees, including a deﬁnition of the type τ tree and deﬁnitions of
the constructors leaf : τ tree and node : τ tree → τ → τ tree → τ tree.
+
(b) Write a function height : τ tree → nat. You may assume the above encoding of nat as well as deﬁnitions
of the functions plus : nat → nat → nat and max : nat → nat → nat.
+
(c) Write a function in-order : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.
-
---
-Jim Pryor
-jim@jimpryor.net