exercises/_assignment4.mdwn

   1 ## Fixed points ##
   2
   3 1.  Recall that `ω ≡ \x. x x`, and `Ω ≡ ω ω`.  Is `Ω` a fixed point for `ω`?  Find a fixed point for `ω`, and prove that it is a fixed point.
   4
   5 2.  Consider `Ω ξ` for an arbitrary term `ξ`.
   6 `Ω` is so busy reducing itself (the eternal narcissist) that it
   7 never gets around to noticing whether it has an argument, let alone
   8 doing anything with that argument.  If so, how could `Ω` have a
   9 fixed point?  That is, how could there be an `ξ` such that
  10 `Ω ξ <~~> ξ`?  To answer this
  11 question, begin by constructing `Y Ω`.  Prove that
  12 `Y Ω` is a fixed point for `Ω`.
  13
  14 3.  Find two different terms that have the same fixed point.  That is,
  15 find terms `F`, `G`, and `ξ` such that `F ξ <~~> ξ` and `G ξ
  16 <~~> ξ`.  (If you need a hint, reread the notes on fixed
  17 points.)
  18
  19 4.  Assume that `Ψ` is some fixed point combinator; we're not telling you which one. (You can just write `Psi` in your homework if you don't know how to generate the symbol `Ψ`.) Prove that `Ψ Ψ` is a fixed point of itself, that is, that `Ψ Ψ <~~> Ψ Ψ (Ψ Ψ)`.
  20
  21 <!-- Proof: YY ~~> Y(YY) ~~> YY(Y(YY)); YY(YY) ~~> YY(Y(YY)) -->
  22
  23
  24 ## Writing recursive functions ##
  25
  26 5.  Helping yourself to the functions given below,
  27 write a recursive function called `fact` that computes the factorial.
  28 The factorial `n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1`.
  29 For instance, `fact 0 ~~> 1`, `fact 1 ~~> 1`, `fact 2 ~~> 2`, `fact 3 ~~>
  30 6`, and `fact 4 ~~> 24`.
  31
  32         let true = \y n. y in
  33         let false = \y n. n in
  34         let pair = \a b. \v. v a b in
  35         let fst = \a b. a in   ; aka true
  36         let snd = \a b. b in   ; aka false
  37         let zero = \s z. z in
  38         let succ = \n s z. s (n s z) in
  39         let zero? = \n. n (\p. false) true in
  40         let pred = \n. n (\p. p (\a b. pair (succ a) a)) (pair zero zero) snd in
  41         let add = \l r. r succ l in
  42         let mult = \l r. r (add l) 0 in
  43         let Y = \h. (\u. h (u u)) (\u. h (u u)) in
  44
  45         let fact = ... in
  46
  47         fac 4
  48
  49 6.  For this question, we want to implement **sets** of numbers in terms of lists of numbers, where we make sure as we construct those lists that they never contain a single number more than once. (It would be even more efficient if we made sure that the lists were always sorted, but we won't try to implement that refinement here.) To enforce the idea of modularity, let's suppose you don't know the details of how the lists are implemented. You just are given the functions defined below for them (but pretend you don't see the actual definitions). These define lists in terms of [[one of the new encodings discussed last week|/topics/week3_lists#v5-lists]].
  50
  51         ; all functions from the previous question, plus
  52         ; `num_cmp x y lt eq gt` returns lt when x<y, eq when x==y, gt when x>y
  53         let num_cmp = (\base build consume. \l r. r consume (l build base) fst)
  54                 ; where base is
  55                 (pair (\a b c. b) (K (\a b c. a)))
  56                 ; and build is
  57                 (\p. pair (\a b c. c) p)
  58                 ; and consume is
  59                 (\p. p fst p (p snd) (p snd)) in
  60         let num_equal? = \x y. num_cmp x y false true false in
  61         let neg = \b y n. b n y in
  62         let empty = \f n. n in
  63         let cons = \x xs. \f n. f x xs in
  64         let empty? = \xs. xs (\y ys. false) true in
  65         let tail = \xs. xs (\y ys. ys) empty in
  66         let append = Y (\append. \xs zs. xs (\y ys. (cons y (append ys zs))) zs) in
  67         let take_while = Y (\take_while. \p xs. xs (\y ys. (p y) (cons y (take_while p ys)) empty) empty) in
  68         let drop_while = Y (\drop_while. \p xs. xs (\y ys. (p y) (drop_while p ys) xs) empty) in
  69         ...
  70
  71     The functions `take_while` and `drop_while` work as described in [[Week 1's homework|assignment1]].
  72
  73     Using those resources, define a `set_cons` and a `set_equal?` function. The first should take a number argument `x` and a set argument `xs` (implemented as a list of numbers assumed to have no repeating elements), and return a (possibly new) set argument which contains `x`. (But make sure `x` doesn't appear in the result twice!) The `set_equal?` function should take two set arguments `xs` and `ys` and say whether they represent the same set. (Be careful, the lists `[1, 2]` and `[2, 1]` are different lists but do represent the same set. Hence, you can't just use the `list_equal?` function you defined in last week's homework.)
  74
  75     Here are some tips for getting started. Use `drop_while`, `num_equal?`, and `empty?` to define a `mem?` function that returns `true` if number `x` is a member of a list of numbers `xs`, else returns `false`. Also use `take_while`, `drop_while`, `num_equal?`, `tail` and `append` to define a `without` function that returns a copy of a list of numbers `xs` that omits the first occurrence of a number `x`, if there be such. You may find these functions `mem?` and `without` useful in defining `set_cons` and `set_equal?`. Also, for `set_equal?`, you are probably going to want to define the function recursively... as now you know how to do.
  76
  77
  78 7.  Questions about trees.
  79
  80
  81 ## Arithmetic infinity? ##
  82
  83 The next few questions involve reasoning about Church arithmetic and
  84 infinity.  Let's choose some arithmetic functions:
  85
  86     succ = \n s z. s (n s z)
  87     add = \l r. r succ l in
  88     mult = \l r. r (add l) 0 in
  89     exp = \base r. r (mult base) 1 in
  90
  91 There is a pleasing pattern here: addition is defined in terms of
  92 the successor function, multiplication is defined in terms of
  93 addition, and exponentiation is defined in terms of multiplication.
  94
  95
  96 8.  Find a fixed point `ξ` for the successor function.  Prove it's a fixed
  97 point, i.e., demonstrate that `succ ξ <~~> ξ`.
  98
  99     We've had surprising success embedding normal arithmetic in the Lambda
 100 Calculus, modeling the natural numbers, addition, multiplication, and
 101 so on.  But one thing that some versions of arithmetic supply is a
 102 notion of infinity, which we'll write as `inf`.  This object sometimes
 103 satisfies the following constraints, for any finite natural number `n`:
 104
 105         n + inf == inf
 106         n * inf == inf
 107         n ^ inf == inf
 108         leq n inf == true
 109
 110     (Note, though, that with *some* notions of infinite numbers, like [[!wikipedia ordinal numbers]], operations like `+` are defined in such a way that `inf + n` is different from `n + inf`, and does exceed `inf`; similarly for `*` and `^`. With other notions of infinite numbers, like the [[!wikipedia cardinal numbers]], even less familiar arithmetic operations are employed.)
 111
 112 9. Prove that `add ξ 1 <~~> ξ`, where `ξ` is the fixed
 113 point you found in (1).  What about `add ξ 2 <~~> ξ`?
 114
 115 Comment: a fixed point for the successor function is an object such that it
 116 is unchanged after adding 1 to it.  It makes a certain amount of sense
 117 to use this object to model arithmetic infinity.  For instance,
 118 depending on implementation details, it might happen that `leq n ξ` is
 119 true for all (finite) natural numbers `n`.  However, the fixed point
 120 you found for `succ` and `(+n)` (recall this is shorthand for `\x. add x n`) may not be a fixed point for `(*n)` or for
 121 `(^n)`.
 122
 123
 124 ## Mutually-recursive functions ##
 125
 126 10. (Challenging.) One way to define the function `even?` is to have it hand off
 127 part of the work to another function `odd?`:
 128
 129         let even? = \x. (zero? x)
 130                         ; if x == 0 then result is
 131                         true
 132                         ; else result turns on whether x-1 is odd
 133                         (odd? (pred x))
 134
 135     At the same tme, though, it's natural to define `odd?` in such a way that it
 136 hands off part of the work to `even?`:
 137
 138         let odd? = \x. (zero? x)
 139                        ; if x == 0 then result is
 140                        false
 141                        ; else result turns on whether x-1 is even
 142                        (even? (pred x))
 143
 144     Such a definition of `even?` and `odd?` is called **mutually recursive**. If you
 145 trace through the evaluation of some sample numerical arguments, you can see
 146 that eventually we'll always reach a base step. So the recursion should be
 147 perfectly well-grounded:
 148
 149         even? 3
 150         ~~> (zero? 3) true (odd? (pred 3))
 151         ~~> odd? 2
 152         ~~> (zero? 2) false (even? (pred 2))
 153         ~~> even? 1
 154         ~~> (zero? 1) true (odd? (pred 1))
 155         ~~> odd? 0
 156         ~~> (zero? 0) false (even? (pred 0))
 157         ~~> false
 158
 159     But we don't yet know how to implement this kind of recursion in the Lambda
 160 Calculus.
 161
 162     The fixed point operators we've been working with so far worked like this:
 163
 164         let ξ = Y h in
 165         ξ <~~> h ξ
 166
 167     Suppose we had a pair of fixed point operators, `Y1` and `Y2`, that operated on
 168 a *pair* of functions `h` and `g`, as follows:
 169
 170         let ξ1 = Y1 h g in
 171         let ξ2 = Y2 h g in
 172         ξ1 <~~> h ξ1 ξ2 and
 173         ξ2 <~~> g ξ1 ξ2
 174
 175     If we gave you such a `Y1` and `Y2`, how would you implement the above
 176 definitions of `even?` and `odd?`?
 177
 178
 179 11. (More challenging.) Using our derivation of `Y` from [[this week's notes|topics/week4_fixed_point_combinators#deriving-y]] as a model, construct a pair `Y1` and `Y2` that behave in the way described above.
 180
 181     Here is one hint to get you started: remember that in the notes, we constructed a fixed point for `h` by evolving it into `H` and using `H H` as `h`'s fixed point. We suggested the thought exercise, how might you instead evolve `h` into some `T` and then use `T T T` as `h`'s fixed point. Try solving this problem first. It may help give you the insights you need to define a `Y1` and `Y2`.