1 Assignment 5
3 Types and OCAML
4 ---------------
6 0. Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
7    Give two different typings for this function in OCAML.
8    To get you started, here's one typing for K:
10     # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
11     val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
12     # k 1 true;;
13     - : int = 1
16 1. Which of the following expressions is well-typed in OCAML?
17    For those that are, give the type of the expression as a whole.
18    For those that are not, why not?
20     let rec f x = f x;;
22     let rec f x = f f;;
24     let rec f x = f x in f f;;
26     let rec f x = f x in f ();;
28     let rec f () = f f;;
30     let rec f () = f ();;
32     let rec f () = f () in f f;;
34     let rec f () = f () in f ();;
36 2. Throughout this problem, assume that we have
38     let rec omega x = omega x;;
40    All of the following are well-typed.
41    Which ones terminate?  What are the generalizations?
43     omega;;
45     omega ();;
47     fun () -> omega ();;
49     (fun () -> omega ()) ();;
51     if true then omega else omega;;
53     if false then omega else omega;;
55     if true then omega else omega ();;
57     if false then omega else omega ();;
59     if true then omega () else omega;;
61     if false then omega () else omega;;
63     if true then omega () else omega ();;
65     if false then omega () else omega ();;
67     let _ = omega in 2;;
69     let _ = omega () in 2;;
71 3. The following expression is an attempt to make explicit the
72 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
73 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
74 other expression types.  So assume that "yes" is any OCAML expression,
75 and "no" is any other OCAML expression (of the same type as "yes"!),
76 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
77 "if bool then yes else no" should be equivalent to
79     let b = bool in
80     let y = yes in
81     let n = no in
82     match b with true -> y | false -> n
84 This almost works.  For instance,
86     if true then 1 else 2;;
88 evaluates to 1, and
90     let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
91     match b with true -> y | false -> n;;
93 also evaluates to 1.  Likewise,
95     if false then 1 else 2;;
97 and
99     let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
100     match b with true -> y | false -> n;;
102 both evaluate to 2.
104 However,
106     let rec omega x = omega x in
107     if true then omega else omega ();;
109 terminates, but
111     let rec omega x = omega x in
112     let b = true in
113     let y = omega in
114     let n = omega () in
115     match b with true -> y | false -> n;;
117 does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
118 false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
119 without using the magical evaluation order properties of either `if`
120 or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
121 you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
123 [[Hint assignment 5 problem 3]]
125 4. Baby monads.  Read the lecture notes for week 6, then write a
126    function `lift` that generalized the correspondence between + and
127    `add`: that is, `lift` takes any two-place operation on integers
128    and returns a version that takes arguments of type `int option`
129    instead, returning a result of `int option`.  In other words,
130    `lift` will have type
132      (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
134    so that `lift (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
135    Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
136    You should make use of `bind` in your definition of `lift`:
138     let bind (x: int option) (f: int -> (int option)) =
139       match x with None -> None | Some n -> f n;;
142 Church lists in System F
143 ------------------------
145 These questions adapted from web materials written by some dude named Acar.
147    Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
149    τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
150    e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
151    Despite its simplicity, System F is quite expressive. As discussed in class, it has suﬃcient expressive power
152    to be able to encode many datatypes found in other programming languages, including products, sums, and
153    inductive datatypes.
154    For example, recall that bool may be encoded as follows:
155    bool := ∀α. α → α → α
156    true := Λα. λt:α. λf :α. t
157    false := Λα. λt:α. λf :α. f
158    ifτ e then e1 else e2 := e [τ ] e1 e2
159    (where τ indicates the type of e1 and e2)
160    Exercise 1. Show how to encode the following terms. Note that each of these terms, when applied to the
161    appropriate arguments, return a result of type bool.
162    (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
163    (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
164    (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
165    The type nat may be encoded as follows:
166    nat := ∀α. α → (α → α) → α
167    zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
168    succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
169    A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
170    encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
171    a function s : α → α.
172    Conveniently, this encoding “is” its own elimination form, in a sense:
173    rec(e, e0, x:τ. e1) := e [τ ] e0 (λx:τ. e1)
174    The case analysis is baked into the very deﬁnition of the type.
175    Exercise 2. Verify that these encodings (zero, succ , rec) typecheck in System F. Write down the typing
176    derivations for the terms.
177    1
179    ══════════════════════════════════════════════════════════════════════════
181    As mentioned in class, System F can express any inductive datatype. Consider the following list type:
182    datatype ’a list =
183    Nil
184    | Cons of ’a * ’a list
185    We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:1
186    τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
187    nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
188    consτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
189    As with nats, The τ list type’s case analyzing elimination form is just application. We can write functions
190    like map:
191    map : (σ → τ ) → σ list → τ list
192    := λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
193    Exercise 3. Consider the following simple binary tree type:
194    datatype ’a tree =
195    Leaf
196    | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
197    (a) Give a System F encoding of binary trees, including a deﬁnition of the type τ tree and deﬁnitions of
198    the constructors leaf : τ tree and node : τ tree → τ → τ tree → τ tree.
199    (b) Write a function height : τ tree → nat. You may assume the above encoding of nat as well as deﬁnitions
200    of the functions plus : nat → nat → nat and max : nat → nat → nat.
201    (c) Write a function in-order : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
202    may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.
204 --
205 Jim Pryor
206 jim@jimpryor.net