author Chris Barker Mon, 25 Oct 2010 18:38:06 +0000 (14:38 -0400) committer Chris Barker Mon, 25 Oct 2010 18:38:06 +0000 (14:38 -0400)
 assignment5.mdwn patch | blob | history

index 43c3ef5..cf8d144 100644 (file)
@@ -8,7 +8,7 @@ Types and OCAML
To get you started, here's one typing for K:

# let k (y:'a) (n:'b) = y;;
-    val k : 'a -> 'b -> 'a = <fun>
+    val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
# k 1 true;;
- : int = 1

@@ -138,3 +138,69 @@ you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
let bind (x: int option) (f: int -> (int option)) =
match x with None -> None | Some n -> f n;;

+
+Church lists in System F
+------------------------
+
+These questions adapted from web materials written by some dude named Acar.
+
+   Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
+
+   τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
+   e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
+   Despite its simplicity, System F is quite expressive. As discussed in class, it has suﬃcient expressive power
+   to be able to encode many datatypes found in other programming languages, including products, sums, and
+   inductive datatypes.
+   For example, recall that bool may be encoded as follows:
+   bool := ∀α. α → α → α
+   true := Λα. λt:α. λf :α. t
+   false := Λα. λt:α. λf :α. f
+   ifτ e then e1 else e2 := e [τ ] e1 e2
+   (where τ indicates the type of e1 and e2)
+   Exercise 1. Show how to encode the following terms. Note that each of these terms, when applied to the
+   appropriate arguments, return a result of type bool.
+   (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
+   (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
+   (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
+   The type nat may be encoded as follows:
+   nat := ∀α. α → (α → α) → α
+   zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
+   succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
+   A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
+   encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
+   a function s : α → α.
+   Conveniently, this encoding “is” its own elimination form, in a sense:
+   rec(e, e0, x:τ. e1) := e [τ ] e0 (λx:τ. e1)
+   The case analysis is baked into the very deﬁnition of the type.
+   Exercise 2. Verify that these encodings (zero, succ , rec) typecheck in System F. Write down the typing
+   derivations for the terms.
+   1
+
+   ══════════════════════════════════════════════════════════════════════════
+
+   As mentioned in class, System F can express any inductive datatype. Consider the following list type:
+   datatype ’a list =
+   Nil
+   | Cons of ’a * ’a list
+   We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:1
+   τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
+   nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
+   consτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
+   As with nats, The τ list type’s case analyzing elimination form is just application. We can write functions
+   like map:
+   map : (σ → τ ) → σ list → τ list
+   := λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
+   Exercise 3. Consider the following simple binary tree type:
+   datatype ’a tree =
+   Leaf
+   | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
+   (a) Give a System F encoding of binary trees, including a deﬁnition of the type τ tree and deﬁnitions of
+   the constructors leaf : τ tree and node : τ tree → τ → τ tree → τ tree.
+   (b) Write a function height : τ tree → nat. You may assume the above encoding of nat as well as deﬁnitions
+   of the functions plus : nat → nat → nat and max : nat → nat → nat.
+   (c) Write a function in-order : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
+   may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.
+
+--
+Jim Pryor
+jim@jimpryor.net