1 Assignment 5
3 Types and OCAML
4 ---------------
6 0. Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
7    Give two different typings for this function in OCAML.
8    To get you started, here's one typing for K:
10     # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
11     val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
12     # k 1 true;;
13     - : int = 1
16 1. Which of the following expressions is well-typed in OCAML?
17    For those that are, give the type of the expression as a whole.
18    For those that are not, why not?
20     let rec f x = f x;;
22     let rec f x = f f;;
24     let rec f x = f x in f f;;
26     let rec f x = f x in f ();;
28     let rec f () = f f;;
30     let rec f () = f ();;
32     let rec f () = f () in f f;;
34     let rec f () = f () in f ();;
36 2. Throughout this problem, assume that we have
38     let rec omega x = omega x;;
40    All of the following are well-typed.
41    Which ones terminate?  What are the generalizations?
43     omega;;
45     omega ();;
47     fun () -> omega ();;
49     (fun () -> omega ()) ();;
51     if true then omega else omega;;
53     if false then omega else omega;;
55     if true then omega else omega ();;
57     if false then omega else omega ();;
59     if true then omega () else omega;;
61     if false then omega () else omega;;
63     if true then omega () else omega ();;
65     if false then omega () else omega ();;
67     let _ = omega in 2;;
69     let _ = omega () in 2;;
71 3. The following expression is an attempt to make explicit the
72 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
73 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
74 other expression types.  So assume that "yes" is any OCAML expression,
75 and "no" is any other OCAML expression (of the same type as "yes"!),
76 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
77 "if bool then yes else no" should be equivalent to
79     let b = bool in
80     let y = yes in
81     let n = no in
82     match b with true -> y | false -> n
84 This almost works.  For instance,
86     if true then 1 else 2;;
88 evaluates to 1, and
90     let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
91     match b with true -> y | false -> n;;
93 also evaluates to 1.  Likewise,
95     if false then 1 else 2;;
97 and
99     let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
100     match b with true -> y | false -> n;;
102 both evaluate to 2.
104 However,
106     let rec omega x = omega x in
107     if true then omega else omega ();;
109 terminates, but
111     let rec omega x = omega x in
112     let b = true in
113     let y = omega in
114     let n = omega () in
115     match b with true -> y | false -> n;;
117 does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
118 false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
119 without using the magical evaluation order properties of either `if`
120 or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
121 you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
123 [[Hint assignment 5 problem 3]]
126 -----------
128    Read the lecture notes for week 6, then write a
129    function `lift` that generalized the correspondence between + and
130    `add`: that is, `lift` takes any two-place operation on integers
131    and returns a version that takes arguments of type `int option`
132    instead, returning a result of `int option`.  In other words,
133    `lift` will have type
135      (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
137    so that `lift (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
138    Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
139    You should make use of `bind` in your definition of `lift`:
141     let bind (x: int option) (f: int -> (int option)) =
142       match x with None -> None | Some n -> f n;;
145 Booleans, Church numbers, and Church lists in System F
146 ------------------------------------------------------
148 These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar.
150    Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
152     τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
153     e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
155    Recall that bool may be encoded as follows:
157     bool := ∀α. α → α → α
158     true := Λα. λt:α. λf :α. t
159     false := Λα. λt:α. λf :α. f
160     ifτ e then e1 else e2 := e [τ ] e1 e2
162    (where τ indicates the type of e1 and e2)
164    Exercise 1. Show how to encode the following terms. Note that each of these terms, when applied to the
165    appropriate arguments, return a result of type bool.
167     (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
168     (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
169     (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
171    The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
173     nat := ∀α. α → (α → α) → α
174     zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
175     succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
177    A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
178    encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
179    a function s : α → α.
181    Exercise 2. Verify that these encodings (zero, succ , rec) typecheck in System F.
182    (Draw a type tree for each term.)
184    Consider the following list type:
186     datatype ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
188    We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
190     τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
191     nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
192     consτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
194    As with nats, The τ list type’s case analyzing elimination form is just application.
196    We can write functions like map:
198     map : (σ → τ ) → σ list → τ list
199       := λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
201    Exercise 3. Consider the following simple binary tree type:
203     datatype ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
205    (a) Give a System F encoding of binary trees, including a deﬁnition of the type τ tree and deﬁnitions of
206    the constructors leaf : τ tree and node : τ tree → τ → τ tree → τ tree.
208    (b) Write a function height : τ tree → nat. You may assume the above encoding of nat as well as deﬁnitions
209    of the functions plus : nat → nat → nat and max : nat → nat → nat.
211    (c) Write a function in-order : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
212    may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.