1 Assignment 3
2 ------------
4 Once again, the lambda evaluator will make working through this
5 assignment much faster and more secure.
7 *Writing recursive functions on version 1 style lists*
9 Recall that version 1 style lists are constructed like this:
11 <pre>
12 ; booleans
13 let true = \x y. x in
14 let false = \x y. y in
15 let and = \l r. l (r true false) false in
17 ; version 1 lists
18 let makePair = \f s g. g f s in
19 let fst = true in
20 let snd = false in
21 let nil = makePair true meh in
22 let isNil = \x. x fst in
23 let makeList = \h t. makePair false (makePair h t) in
24 let head = \l. isNil l err (l snd fst) in
25 let tail = \l. isNil l err (l snd snd) in
27 ; a list of numbers to experiment on
28 let mylist = makeList 1 (makeList 2 (makeList 3 nil)) in
30 ; a fixed-point combinator for defining recursive functions
31 let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
33 ; church numerals
34 let isZero = \n. n (\x. false) true in
35 let succ = \n s z. s (n s z) in
36 let mult = \m n s. m (n s) in
37 let length = Y (\length l. isNil l 0 (succ (length (tail l)))) in
38 let predecessor = \n. length (tail (n (\p. makeList meh p) nil)) in
39 let leq = ; (leq m n) will be true iff m is less than or equal to n
40   Y (\leq m n. isZero m true (isZero n false (leq (predecessor m)(predecessor n)))) in
41 let eq = \m n. and (leq m n)(leq n m) in
43 eq 3 3
44 </pre>
47 Then length mylist evaluates to 3.
49 1. What does head (tail (tail mylist)) evaluate to?
51 2. Using the length function as a model, and using the predecessor
52 function, write a function that computes factorials.  (Recall that n!,
53 the factorial of n, is n times the factorial of n-1.)
55 Warning: my browser isn't able to compute factorials of numbers
56 greater than 2 (it does't provide enough resources for the JavaScript
57 interpreter; web pages are not supposed to be that computationally
58 intensive).
60 3. (Easy) Write a function listLenEq that returns true just in case two lists have the
61 same length.  That is,
63      listLenEq mylist (makeList meh (makeList meh (makeList meh nil))) ~~> true
65      listLenEq mylist (makeList meh (makeList meh nil))) ~~> false
68 4. (Still easy) Now write the same function, but don't use the length function (hint: use leq as a model).
70 5. In assignment 2, we discovered that version 3-type lists (the ones that
71 work like Church numerals) made it much easier to define operations
72 like map and filter.  But now that we have recursion in our toolbox,
73 reasonable map and filter functions for version 3 lists are within our
74 reach.  Give definitions for such a map and a filter.
76 6. Linguists analyze natural language expressions into trees.
77 We'll need trees in future weeks, and tree structures provide good
78 opportunities for learning how to write recursive functions.
79 Making use of the resources we have at the moment, we can approximate
80 trees as follows: instead of words, we'll use Church numerals.
81 Then a tree will be a (version 1 type) list in which each element is
82 itself a tree.  For simplicity, we'll adopt the convention that
83 a tree of length 1 must contain a number as its only element.
84 Then we have the following representations:
86 <pre>
87    (a)           (b)             (c)
88     .
89    /|\            /\              /\
90   / | \          /\ 3             1/\
91   1 2  3        1  2               2 3
93 [;;]  [[;];]   [;[;]]
94 </pre>
96 Limitations of this scheme include the following: there is no easy way
97 to label a constituent (typically a syntactic category, S or NP or VP,
98 etc.), and there is no way to represent a tree in which a mother has a
99 single daughter.
101 When processing a tree, you can test for whether the tree contains
102 only a numeral (in which case the tree is leaf node) by testing for
103 whether the length of the list is less than or equal to 1.  This will
104 be your base case for your recursive functions that operate on trees.
106 Write a function that sums the number of leaves in a tree.
107 Expected behavior:
109 let t1 = (make-list 1 nil)
110 let t2 = (make-list 2 nil)
111 let t3 = (make-list 3 nil)
112 let t12 = (make-list t1 (make-list t2 nil))
113 let t23 = (make-list t2 (make-list t3 nil))
114 let ta = (make-list t1 t23)
115 let tb = (make-list t12 t3)
116 let tc = (make-list t1 (make-list t23 nil))
118 count-leaves t1 ~~> 1
119 count-leaves t2 ~~> 2
120 count-leaves t3 ~~> 3
121 count-leaves t12 ~~> 3
122 count-leaves t23 ~~> 5
123 count-leaves ta ~~> 6
124 count-leaves tb ~~> 6
125 count-leaves tc ~~> 6
127 Write a function that counts the number of leaves.
132 [The following should be correct, but won't run in my browser:
134 <pre>
135 let factorial = Y (\fac n. isZero n 1 (mult n (fac (predecessor n)))) in
137 let reverse =
138   Y (\rev l. isNil l nil
139                    (isNil (tail l) l
140                           (makeList (head (rev (tail l)))
141                                     (rev (makeList (head l)
142                                                    (rev (tail (rev (tail l))))))))) in
144 reverse (makeList 1 (makeList 2 (makeList 3 nil)))
145 </pre>
147 It may require more resources than my browser is willing to devote to
148 JavaScript.]