author jim Mon, 6 Apr 2015 21:23:45 +0000 (17:23 -0400) committer Linux User Mon, 6 Apr 2015 21:23:45 +0000 (17:23 -0400)

index 735c448..e850236 100644 (file)
@@ -9,23 +9,16 @@ Other effect-like elements in a language include: printing; continuations (which

What is mutation? It's helpful to build up to this in a series of fragments. For present pedagogical purposes, we'll be using a made-up language that's syntactically similar to, but not quite the same as, OCaml. (It's not quite Kapulet either.)

-Recall from earlier discussions that the following two forms are equivalent:
-
-    [A] let x = EXPRESSION in
-        BODY
-
-        (\x. BODY) (EXPRESSION)
-
This should seem entirely familiar:

-    [B] let y = 1 + 2 in
+    [A] let y = 1 + 2 in
let x = 10 in
(x + y, 20 + y)
; evaluates to (13, 23)

In our next fragment, we re-use a variable that had been bound to another value in a wider context:

-    [C] let y = 2 in           ; will be shadowed by the binding on the next line
+    [B] let y = 2 in            ; will be shadowed by the binding on the next line
let y = 3 in
(10 + y, 20 + y)
; evaluates to (13, 23)
@@ -36,25 +29,25 @@ I call attention to this because you might casually describe it as "changing the

In the previous fragments, we bound the variables `x` and `y` to `int`s. We can also bind variables to function values, as here:

-    [D] let f = (\x y. x + y + 1) in
+    [C] let f = (\x y. x + y + 1) in
(f 10 2, f 20 2)
; evaluates to (13, 23)

-If the expression that evaluates to a function value has a free variable in it, like `y` in the next fragment, it's interpreted as bound to whatever value `y` has in the surrounding lexical context:
+If the expression that evaluates to a function value has a free variable in it, like `y` in the next fragment, it's interpreted as bound to whatever value `y` has in that expression's lexical context:

-    [E] let y = 3 in
+    [D] let y = 3 in
let f = (\x. x + y) in
let y = 2 in
(f 10, y, f 20)
; evaluates to (13, 2, 23)

-Other choices about how to interpret free variables are also possible (you can read about "lexical scope" versus "dynamic scope"), but what we do here is the norm in functional programming languages, and seems to be easiest for programmers to reason about.
+Other choices about how to interpret free variables are also possible (you can read about "lexical scope" versus "dynamic scope"), but what we do here is the contemporary norm in functional programming languages, and seems to be easiest for programmers to reason about.

Sometimes bindings are shadowed merely in a temporary, local context, as here:

-    [F] let y = 3 in
+    [E] let y = 3 in
let f = (\x. let y = 2 in
-                      ; here the most local assignment to y applies
+                      ; here the most local binding for y applies
x + y) in
; here the binding of y to 2 has expired
(y, f 10, y, f 20)
@@ -62,20 +55,20 @@ Sometimes bindings are shadowed merely in a temporary, local context, as here:

Notice that the `y`s in the tuple at the end use the outermost binding of `y` to `3`, but the `y` in `x + y` in the body of the `f` function uses the more local binding.

-OK, now we're ready for our main event, **mutable variables.** We'll introduce new syntax to express an operation where we're not shadowing a wider assignment, but *changing* the original assignment. The new syntax will show up both when we introduce the variable, using `var y = ...` rather than `let y = ...`; and also when we change `y`'s value using `set`.
+OK, now we're ready for our main event, **mutable variables.** We'll introduce new syntax to express an operation where we're not merely *shadowing* a wider binding, but *changing* or *mutating* that binding. The new syntax will show up both when we introduce the variable, using `var y = ...` rather than `let y = ...`; and also when we change `y`'s value using `set`.

-    [G] var y = 3 in
+    [F] var y = 3 in
let f = (\x. set y to 2 then
x + y) in
-        ; here the change in what value y was assigned *sticks*
-        ; because we *updated* the value of the original variable y
+        ; here the change in what value y is bound to *sticks*
+        ; because we *mutated* the value of the *original* variable y
; instead of introducing a new y with a narrower scope
(y, f 10, y, f 20)
; evaluates to (3, 12, 2, 22)

Notice the difference in the how the second `y` is evaluated in the tuple at the end. By the way, I am assuming here that the tuple gets evaluated left-to-right. Other languages may or may not conform to that. OCaml doesn't always.

-In languages that have native syntax for mutation, there are two styles in which it can be expressed. The *implicit style* is exemplified in fragment [G] above, and also in languages like C:
+In languages that have native syntax for mutation, there are two styles in which it can be expressed. The *implicit style* is exemplified in fragment [F] above, and also in languages like C:

{
int y = 3;    // this is like "var y = 3 in ..."
@@ -84,7 +77,7 @@ In languages that have native syntax for mutation, there are two styles in which
return x + y; // this is like "x + y"
}

-A different possibility is the *explicit style* for handling mutation. Here we explicitly create and refer to new "reference cells" to hold our values. When we change a variable's value, the variable stays associated with the same reference cell, but that reference cell's contents get modified. The same thing happens in the semantic machinery underlying implicit-style mutable variables, but there it's implicit---the reference cells aren't themselves expressed by any term in the object language. In explicit-style mutation, they are. OCaml has explicit-style mutation. It looks like this:
+A different possibility is the *explicit style* for handling mutation. Here we explicitly create and refer to new "reference cells" to hold our values. When we mutate a variable's value, we leave the variable assigned to the same reference cell, but we modify that reference cell's contents. The same thing happens in the semantic machinery underlying implicit-style mutable variables, but there it's implicit --- the reference cells aren't themselves expressed by any term in the object language. In explicit-style mutation, they are. OCaml has explicit-style mutation. It looks like this:

let ycell = ref 3       (* this creates a new reference cell *)
... in
@@ -109,7 +102,7 @@ C has explicit-style mutable variables, too, which it calls *pointers*. But simp
y)
; evaluates to 2

-When dealing with explicit-style mutation, there's a difference between the types and values of `ycell` and `!ycell` (or in Scheme, `(unbox ycell)`). The former has the type `int ref`: the variable `ycell` is assigned a reference cell that contains an `int`. The latter has the type `int`, and has whatever value is now stored in the relevant reference cell. In an implicit-style framework though, we only have the resources to refer to the contents of the relevant reference cell. `y` in fragment [G] or the C snippet above has the type `int`, and only ever evaluates to `int` values.
+When dealing with explicit-style mutation, there's a difference between the types and values of `ycell` and `!ycell` (or in Scheme, `(unbox ycell)`). The former has the type `int ref`: the variable `ycell` is assigned a reference cell that contains an `int`. The latter has the type `int`, and has whatever value is now stored in the relevant reference cell. In an implicit-style framework though, we only have the resources to refer to the contents of the relevant reference cell. The variables `y` in fragment [F] or in the C snippet above have the type `int`, and only ever evaluate to `int` values.

##Controlling order##
@@ -171,7 +164,7 @@ or:
(define (f) ...)
...

-How could such functions be useful? Well, as always, the context in which you build a function need not be the same as the one in which you apply it to some arguments. So for example:
+How could such functions be useful? Well, as always, the context in which you build a function need not be the same as the one in which you apply it to arguments. So for example:

let ycell = ref 1 in
let incr_y () = ycell := !ycell + 1 in
@@ -185,8 +178,10 @@ In languages with mutable variables, the free variables in a function definition

let factory (starting_value : int) =
let free_var = ref starting_value in
+        (* `free_var` will be free in the bodies of the next two functions *)
let getter () = !free_var in
let setter (new_value : int) = free_var := new_value in
+        (* here's what `factory starting_value` returns *)
(getter, setter) in
let (getter, setter) = factory 1 in
let first = getter () in
@@ -221,7 +216,7 @@ Here, too, just as in the OCaml fragment, all the calls to getter and setter are

If you've got a copy of *The Seasoned Schemer*, which we recommended for the seminar, see the discussion at pp. 91-118 and 127-137.

-If however you called `factory` twice, you'd have different `getter`/`setter` pairs, each of which had their own, independent `free_var`. In OCaml:
+If however you call the `factory` function twice, even if you supply the same `starting_value`, you'll get independent `getter`/`setter` pairs, each of which have their own, separate `free_var`. In OCaml:

let factory (starting_val : int) =
... (* as above *) in
@@ -232,7 +227,7 @@ If however you called `factory` twice, you'd have different `getter`/`setter` pa

Here, the call to `setter` only mutated the reference cell associated with the `getter`/`setter` pair. The reference cell associated with `getter'` hasn't changed, and so `getter' ()` will still evaluate to `1`.

-Notice in these fragments that once we return from inside the call to `factory`, the `free_var` mutable variable is no longer accessible, except through the helper functions `getter` and `setter` that we've provided. This is another way in which a thunk like `getter` can be useful: it still has access to the `free_var` reference cell that was created when it was, because its free variables are interpreted relative to the context in which `getter` was built, even if that context is otherwise no longer accessible. What `getter ()` evaluates to, however, will very much depend on *when* we evaluate it---in particular, it will depend on which calls to the corresponding `setter` were evaluated first.
+Notice in these fragments that once we return from inside the call to `factory`, the `free_var` mutable variable is no longer accessible, except through the helper functions `getter` and `setter` that we've provided. This is another way in which a thunk like `getter` can be useful: it still has access to the `free_var` reference cell that was created when it was, because its free variables are interpreted relative to the context in which `getter` was built, even if that context is otherwise no longer accessible. What `getter ()` evaluates to, however, will very much depend on *when* we evaluate it --- in particular, it will depend on which calls to the corresponding `setter` were evaluated first.

##Referential opacity##
@@ -242,12 +237,12 @@ In addition to order-sensitivity, when you're dealing with mutable variables you
The core idea to referential transparency is that when the same value is supplied to a context, the whole should always evaluate the same way. Mutation makes it possible to violate this. Consider:

let ycell = ref 1 in
-    let f x = x + !ycell in
-    let first = f 1 in              (* first is assigned the value 2 *)
-    ycell := 2; let second = f 1 in (* second is assigned the value 3 *)
-    first = second;;                (* not true! *)
+    let plus_y x = x + !ycell in
+    let first = plus_y 1 in              (* first is assigned the value 2 *)
+    ycell := 2; let second = plus_y 1 in (* second is assigned the value 3 *)
+    first = second;;                     (* not true! *)

-Notice that the two invocations of `f 1` yield different results, even though the same value is being supplied as an argument to the same function.
+Notice that the two invocations of `plus_y 1` yield different results, even though the same value is being supplied as an argument to the same function.

Similarly, functions like these:

@@ -264,7 +259,7 @@ Computer scientists also associate referential transparency with a kind of subst

should evaluate the same as:

-    let x = 1
+    let x = 1 in
(x, 1)

or:
@@ -286,15 +281,15 @@ Notice, however, that when mutable variables are present, the same substitution

##How to implement explicit-style mutable variables##

-We'll think about how to implement explicit-style mutation first. We suppose that we add some new syntactic forms to a language, let's call them `newref`, `deref`, and `setref`. And now we want to expand the semantics for the language so as to interpret these new forms.
+We'll think about how to implement explicit-style mutation first. We suppose that we add some new syntactic forms to a language, let's call them `newref`, `getref`, and `putref`. And now we want to expand the semantics for the language so as to interpret these new forms.

-Well, part of our semantic machinery will be an assignment function or environment, call it `e`. Somehow we should keep track of the *types* of the variables and values we're working with, but we won't pay much attention to that now. In fact, we won't even bother much at this point with the assignment function. Below we'll pay more attention to it.
+Well, part of our semantic machinery will be an assignment function or environment, call it `e`. Perhaps we should keep track of the *types* of the variables and values we're working with, but we won't pay much attention to that now. In fact, we won't even bother much at this point with the assignment function. Below we'll pay more attention to it.

In addition to the assignment function, we'll also need a way to keep track of how many reference cells have been "allocated" (using `newref`), and what their current values are. We'll suppose all the reference cells are organized in a single data structure we might call a table or **store**. This might be a big heap of memory. For our purposes, we'll suppose that reference cells only ever contain `int`s, and we'll let the store be a list of `int`s.

We won't suppose that the metalanguage we use to express the semantics of our mutation-language itself has any mutation facilities. Instead, we'll think about how to model mutation in a wholly declarative or functional or *static* metalanguage.

-In many languages, including OCaml, the first position in a list is indexed `0`, the second is indexed `1` and so on. If a list has length 2, then there won't be any value at index `2`; that will be the "next free location" in the list.
+In many languages, including OCaml, the first position in a list is indexed `0`, the second is indexed `1` and so on. If a list has length `2`, then there won't be any value at index `2`; that will be the "next free location" in the list.

Before we brought mutation on the scene, our language's semantics will have looked something like this:

@@ -304,13 +299,13 @@ Now we're going to relativize our interpretations not only to the environment `e

>    \[[expression]]<sub>e s</sub> = (result, s')

-For expressions we already know how to interpret, expect `s'` to just be `s`.
+For expressions we already know how to interpret, you can by default expect `s'` to just be `s`.
An exception is complex expressions like `let var = expr1 in expr2`. Part of
interpreting this will be to interpret the sub-expression `expr1`, and we have
to allow that in doing that, the store may have already been updated. We want
to use that possibly updated store when interpreting `expr2`. Like this:

-    let rec eval expression e s = match expression with
+    let rec eval term e s = match term with
...
| Let (var, expr1, expr2) ->
let (res1, s') = eval expr1 e s
@@ -329,10 +324,10 @@ Similarly:
(res1 + res2, s'')
...

-Let's consider how to interpet our new syntactic forms `newref`, `deref`, and `setref`:
+Let's consider how to interpet our new syntactic forms `newref`, `getref`, and `putref`:

-1.    When `expr` evaluates to `starting_val`, **newref expr** should allocate a new reference cell in the store and insert `starting_val` into that cell. It should return some "key" or "index" or "pointer" to the newly created reference cell, so that we can do things like:
+1.    When `expr` evaluates to `starting_val`, then **newref expr** should allocate a new reference cell in the store and insert `starting_val` into that cell. It should return some "key" or "index" or "pointer" to the newly created reference cell, so that we can do things like:

let ycell = newref 1 in
...
@@ -343,7 +338,7 @@ Let's consider how to interpet our new syntactic forms `newref`, `deref`, and `s

Our interpretation function will look something like this:

-        let rec eval expression e s = match expression with
+            let rec eval term e s = match term with
...
| Newref (expr) ->
let (starting_val, s') = eval expr e s in
@@ -356,54 +351,50 @@ Let's consider how to interpet our new syntactic forms `newref`, `deref`, and `s
(Index new_index, s'')
...

-2.    When `expr` evaluates to a `store_index`, then **deref expr** should evaluate to whatever value is at that index in the current store. (If `expr` evaluates to a value of another type, `deref expr` is undefined.) In this operation, we don't change the store at all; we're just reading from it. So we'll return the same store back unchanged (assuming it wasn't changed during the evaluation of `expr`).
+2.    When `expr` evaluates to a `store_index`, then **getref expr** should evaluate to whatever value is at that index in the current store. (If `expr` evaluates to a value of another type, `getref expr` is undefined.) In this operation, we don't change the store at all; we're just reading from it. So we'll return the same store back unchanged (assuming it wasn't changed during the evaluation of `expr`).

-        let rec eval expression e s =
-            match expression with
+            let rec eval term e s = match term with
...
-            | Deref (expr) ->
+            | Getref (expr) ->
let (Index n, s') = eval expr e s in
(* s' may be different from s, if expr itself contained any mutation operations *)
(List.nth s' n, s')
...

-3.    When `expr1` evaluates to a `store_index` and `expr2` evaluates to an `int`, then **setref expr1 expr2** should have the effect of changing the store so that the reference cell at that index now contains that `int`. We have to make a decision about what result the `setref ...` call should itself evaluate to; OCaml makes this `()` but other choices are also possible. Here I'll just suppose we've got some appropriate value in the variable `dummy`.
+3.    When `expr1` evaluates to a `store_index` and `expr2` evaluates to an `int`, then **putref expr1 expr2** should have the effect of changing the store so that the reference cell at that index now contains that `int`. We have to make a decision about what result the `putref ...` call should itself evaluate to; OCaml makes this `()` but other choices are also possible. Here I'll just suppose we've got some appropriate value in the variable `dummy`.

-        let rec eval expression e s =
-            match expression with
+            let rec eval term e s = match term with
...
-            | Setref (expr1, expr2) ->
+            | Putref (expr1, expr2) ->
let (Index n, s') = eval expr1 e s in
(* note that s' may be different from s, if expr1 itself contained any mutation operations *)
let (new_value, s'') = eval expr2 e s' in
(* now we create a list which is just like s'' except it has new_value in index n *)
(* the following could be expressed in Juli8 as `modify m (fun _ -> new_value) xs` *)
-                let rec replace_nth m xs = match xs with
+                let rec replace_nth xs m  = match xs with
| [] -> failwith "list too short"
| x::xs when m = 0 -> new_value :: xs
-                  | x::xs -> x :: replace_nth (m - 1) xs in
-                let s''' = replace_nth n s'' in
+                  | x::xs -> x :: replace_nth xs (m - 1) in
+                let s''' = replace_nth s'' n in
(dummy, s''')
...

-
##How to implement implicit-style mutable variables##

-With implicit-style mutation, we don't have new syntactic forms like `newref` and `deref`. Instead, we just treat ordinary variables as being mutable. You could if you wanted to have some variables be mutable and others not; perhaps the first sort are written in Greek and the second in Latin. But for present purposes, we will suppose all variables in our language are mutable.
+With implicit-style mutation, we don't have new syntactic forms like `newref` and `getref`. Instead, we just treat ordinary variables as being mutable. You could if you wanted to have some variables be mutable and others not; perhaps the first sort are written in Greek and the second in Latin. But for present purposes, we will suppose all variables in our language are mutable.

We will still need a store to keep track of reference cells and their current values, just as in the explicit-style implementation. This time, every variable will be associated with an index into the store. So this is what we'll have our assignment function keep track of. The assignment function will bind variables to indexes into the store, rather than to the variables' current values. The variables will only indirectly be associated with "their values" by virtue of the joint work of the assignment function and the store.

This brings up an interesting conceptual distinction. Formerly, we'd naturally think that a variable `x` is associated with only one type, and that that's the type that the expression `x` would *evaluate to*, and also the type of value that the assignment function *bound* `x` to. However, in the current framework these two types come apart. The assignment function binds `x` to an index into the store, and what the expression `x` evaluates to will be the value at that location in the store, which will usually be some type other than an index into a store, such as a `bool` or a `string`.

-To handle implicit-style mutation, we'll need to re-implement the way we interpret expressions like `x` and `let x = expr1 in expr2`. We will also have just one new syntactic form, `change x to expr1 then expr2`.
+To handle implicit-style mutation, we'll need to re-implement the way we interpret expressions like `x` and `var x = expr1 in expr2`. We will also have just one new syntactic form, `set x to expr1 then expr2`. (The `then` here is playing the role of the sequencing semicolon in OCaml.)

-Here's how to implement these. We'll suppose that our assignment function is list of pairs, as above and as in [week7](/reader_monad_for_variable_binding). LINK
+Here's how to implement these. We'll suppose that our assignment function is list of pairs, as above and as in [week7](/reader_monad_for_variable_binding). LINK TODO

-    let rec eval expression e s =
-        match expression with
+    let rec eval term e s = match term with
...
| Var (var : identifier) ->
let index = List.assoc var e in
@@ -411,7 +402,8 @@ Here's how to implement these. We'll suppose that our assignment function is lis
let res = List.nth s index in
(res, s)

-        | Let ((var : identifier), expr1, expr2) ->
+        (* instead of `let x = ...` we now have `var x = ...`, for which I'll use the `Letvar` tag *)
+        | Letvar ((var : identifier), expr1, expr2) ->
let (starting_val, s') = eval expr1 e s in
(* get next free index in s' *)
let new_index = List.length s' in
@@ -420,12 +412,12 @@ Here's how to implement these. We'll suppose that our assignment function is lis
(* evaluate expr2 using a new assignment function and store *)
eval expr2 ((var, new_index) :: e) s''

-        | Change ((var : identifier), expr1, expr2) ->
+        | Set ((var : identifier), expr1, expr2) ->
let (new_value, s') = eval expr1 e s in
(* lookup which index is associated with Var var *)
let index = List.assoc var e in
(* now we create a list which is just like s' except it has new_value at index *)
-            let rec replace_nth lst m = match lst with
+            let rec replace_nth xs m = match xs with
| [] -> failwith "list too short"
| x::xs when m = 0 -> new_value :: xs
| x::xs -> x :: replace_nth xs (m - 1) in
@@ -433,8 +425,6 @@ Here's how to implement these. We'll suppose that our assignment function is lis
(* evaluate expr2 using original assignment function and new store *)
eval expr2 e s''

-Note: Chris uses this kind of machinery on the third page of the Nov 22 handout. Except he implements `Let` the way we here implement `Change`. And he adds an implementation of `Alias` (see below). Some minor differences: on his handout (and following Groenendijk, Stokhof and Veltman), he uses `r` and `e` where we use `e` and `s` respectively. Also, he implements his `r` with a function from `identifier` to `int`, instead of a `(identifier * int) list`, as we do here. It should be obvious how to translate between these. His implementation requires that variables always already have an associated peg. So that when we call `Let(var, expr1, expr2)` for the first time with `var`, there's a peg whose value is to be updated. That's easier to ensure when you implement the assignment as a function than as a `(identifier * int) list`.
-

##How to implement mutation with a State monad##

@@ -442,7 +432,7 @@ It's possible to do all of this monadically, instead of adding new syntactic for

We call this a State monad. It's a lot like the Reader monad, except that with the Reader monad, we could only read from the environment. We did have the possibility of interpreting sub-expressions inside a "shifted" environment, but as you'll see, that corresponds to the "shadowing" behavior described before, not to the mutation behavior that we're trying to implement now.

-With a State monad, we call our book-keeping apparatus a "state" or "store" instead of an environment, and this time we are able to both read from it and write to it. To keep things simple, we'll work here with the simplest possible kind of store, which only holds a single value. One could also have stores that were composed of a list of values, of a length that could expand or shrink, or even more complex structures.
+With a State monad, we call our book-keeping apparatus a "store" instead of an environment, and this time we are able to both read from it and write to it. To keep things simple, we'll work here with the simplest possible kind of store, which only holds a single value. One could also have stores that were composed of a list of values, of a length that could expand or shrink, or even more complex structures.

Here's the implementation of the State monad, together with an implementation of the Reader monad for comparison:

@@ -480,11 +470,11 @@ With the State monad, we'll also have some special-purpose operations. We'll con

This passes through the current store unaltered, and also returns a copy of the store as its payload. (What exactly corresponds to this is the simpler Reader operation `ask`.) We can use the `state_get` operation like this:

-    some_existing_state_monad_box >>= fun _ -> state_get >>= (fun cur_store -> ...)
+    some_existing_state_monad_value >>= fun _ -> state_get >>= (fun cur_store -> ...)

-The `fun _ ->` part here discards the payload wrapped by `some_existing_state_monad_box`. We're only going to pass through, unaltered, whatever *store* is generated by that monadic box. We also wrap that store as *our own payload*, which can be retrieved by further operations in the `... >>= ...` chain, such as `(fun cur_store -> ...)`.
+The `fun _ ->` part here discards the payload wrapped by `some_existing_state_monad_value`. We're only going to pass through, unaltered, whatever *store* is generated by that monadic box. We also wrap that store as *our own payload*, which can be retrieved by further operations in the `... >>= ...` chain, such as `(fun cur_store -> ...)`.

-As we've mentione elsewhere, `xx >>= fun _ -> yy` can be abbreviated as `xx >> yy`.
+As we've mentioned elsewhere, `xx >>= fun _ -> yy` can be abbreviated as `xx >> yy`.

The other operation for the State monad will be to update the existing store to a new one. This operation looks like this:

@@ -493,32 +483,31 @@ The other operation for the State monad will be to update the existing store to

If we want to stick this in a `... >>= ...` chain, we'll need to prefix it with `fun _ ->` too, like this:

-    some_existing_state_monad_box >>= fun _ -> state_put 100 >>= ...
+    some_existing_state_monad_value >>= fun _ -> state_put 100 >>= ...

Or:

-    some_existing_state_monad_box >> state_put 100 >>= ...
+    some_existing_state_monad_value >> state_put 100 >>= ...

-In this usage, we don't care what payload is wrapped by `some_existing_state_monad_box`. We don't even care what store it generates, since we're going to replace that store with our own new store. A more complex kind of `state_put` operation might insert not just some constant value as the new store, but rather the result of applying some function to the existing store. For example, we might want to increment the current store. Here's how we could do that:
+In this usage, we don't care what payload is wrapped by `some_existing_state_monad_value`. We don't even care what store it generates, since we're going to replace that store with our own new store. A more complex kind of `state_put` operation might insert not just some constant value as the new store, but rather the result of applying some function to the existing store. For example, we might want to increment the current store. Here's how we could do that:

<pre>
-some_existing_state_monad_box >> <span class=ul>state_get >>= (fun cur_store -> state_put (succ cur_store)</span> >>= ...
+some_existing_state_monad_value >> <span class=ul>state_get >>= (fun cur_store -> state_put (succ cur_store))</span> >>= ...
</pre>

-We can define more complex functions that perform the underlined part `state_get >>= (fun cur_store -> state_put (succ cur_store)` as a single operation. In the Juli8 and Haskell monad libraries, this is expressed by the State monad operation `modify succ`.
+We can define more complex functions that perform the underlined part `state_get >>= (fun cur_store -> state_put (succ cur_store))` as a single operation. In the Juli8 and Haskell monad libraries, this is expressed by the State monad operation `modify succ`.

-In general, a State monadic **value** (type `'a state`, what appears at the start of a `... >>= ... >>= ...` chain) is an operation that accepts some starting store as input---where the store might be simple as it is here, or much more complex---and returns a payload plus a possibly modified store. This can be thought of as a static encoding of some computation on a store, which encoding is used as a box wrapped around a value of type `'a`. (And also it's a burrito.)
+In general, a State monadic **value** (type `'a state`, what appears at the start of a `... >>= ... >>= ...` chain) is an operation that accepts some starting store as input --- where the store might be simple as it is here, or much more complex --- and returns a payload plus a possibly modified store. This can be thought of as a static encoding of some computation on a store, which encoding is used as a box wrapped around a value of type `'a`. (And also it's a burrito.)

-State monadic **operations** or Kleisli arrows (type `'a -> 'b state`, what appears anywhere in the middle or end of a `... >>= ... >>= ...` chain) are operations that generate new State monad boxes, based on what value was wrapped by the preceding elements in the `... >>= ... >>= ...` chain. The computations on a store that these encode (which their values may or may not be sensitive to) will be chained in the order given by their position in the `... >>= ... >>= ...` chain. That is, the computation encoded by the first element in the chain will accept a starting store s0 as input, and will return (a value and) a new store s1 as output, the next computation will get s1 as input and will return s2 as output, the next computation will get s2 as input, ... and so on.
+State monadic **operations** or Kleisli arrows (type `'a -> 'b state`, what appears anywhere in the middle or end of a `... >>= ... >>= ...` chain) are operations that generate new State monad boxes, based on what payload was wrapped by the preceding elements in the `... >>= ... >>= ...` chain. The computations on a store that such operations encode (which their payloads may or may not be sensitive to) will be chained in the order given by their position in the `... >>= ... >>= ...` chain. That is, the computation encoded by the first element in the chain will accept a starting store `s0` as input, and will return (a payload and) a new store `s1` as output, the next computation will get `s1` as input and will return `s2` as part of its output, the next computation will get `s2` as input, ... and so on.

To get the whole process started, the complex computation so defined will need to be given a starting store. So we'd need to do something like this:

-    let computation = some_state_monadic_box >>= operation >>= operation in
+    let computation = some_state_monad_value >>= operation >>= operation in
computation initial_store;;

-

@@ -529,11 +518,11 @@ Programming languages tend to provide a bunch of mutation-related capabilities a
*    At the zeroth stage, we have a purely functional language, like we've been working with up until this week.

-*    One increment would be to add implicit-style mutable variables, as we explained above. You could do this with or without also adding passing-by-reference.
+*    One increment would be to add implicit-style mutable variables, as we explained above.

The semantic machinery for implicit-style mutable variables will have something playing the role of a reference cell. However these won't be **first-class values** in the language. For something to be a first-class value, it has to be possible to assign that value to variables, to pass it as an argument to functions, and to return it as the result of a function call. Now for some of these criteria it's debatable that they are already here satisfied. For example, in some sense the introduction of a new implicitly mutable variable (`var x = 1 in ...`) will associate a reference cell with `x`. That won't be what `x` evaluates to, but it will be what the assignment function *binds* `x` to, behind the scenes.

-    However, in language with implicit-style mutation, what you're clearly not able to do is to return a reference cell as the result of a function call, or indeed of any expression. This is connected to---perhaps it's the same point as---the fact that `x` doesn't evalute to a reference cell, but rather to the value that the reference cell it's implicitly associated with contains, at that stage in the computation.
+    However, in language with implicit-style mutation, what you're clearly not able to do is to return a reference cell as the result of a function call, or indeed of any expression. This is connected to --- perhaps it's the same point as --- the fact that `x` doesn't evalute to a reference cell, but rather to the value that the reference cell it's implicitly associated with contains, at that stage in the computation.

*    Another grade of mutation involvement is to have explicit-style mutation. Here we might say we have not just mutable variables but also first-class values whose contents can be altered. That is, we have not just mutable variables but **mutable values**.

@@ -554,26 +543,11 @@ Programming languages tend to provide a bunch of mutation-related capabilities a

So we have here the basis for introducing a new kind of equality predicate into our language, which tests not for qualitative indiscernibility but for numerical equality. In OCaml this relation is expressed by the double equals `==`. In Scheme it's spelled `eq?` Computer scientists sometimes call this relation "physical equality". Using this equality predicate, our comparison of `ycell` and `xcell` will be `false`, even if they then happen to contain the same `int`.

-    Isn't this interesting? Intuitively, elsewhere in math, you might think that qualitative indicernibility always suffices for numerical identity. Well, perhaps this needs discussion. In some sense the imaginary numbers &iota; and -&iota; are qualitatively indiscernible, but numerically distinct. However, arguably they're not *fully* qualitatively indiscernible. They don't both bear all the same relations to &iota; for instance. But then, if we include numerical/physical identity as a relation, then `ycell` and `xcell` don't both bear all the same relations to `ycell`, either. Yet there is still a useful sense in which they can be understood to be qualitatively equal---at least, at a given stage in a computation.
-
-    Terminological note: in OCaml, `=` and `<>` express the qualitative (in)discernibility relations, also expressed in Scheme with `equal?`. In OCaml, `==` and `!=` express the numerical (non)identity relations, also expressed in Scheme with `eq?`. `=` also has other syntactic roles in OCaml, such as in the form `let x = value in ...`. In other languages, like C and Python, `=` is commonly used just for assignment (of either of the sorts we've now seen: `var x = value in ...` or `set x to value in ...`). The symbols `==` and `!=` are commonly used to express qualitative (in)discernibility in these languages. Python expresses numerical (non)identity with `is` and `is not`. What an unattractive mess. Don't get me started on Haskell (qualitative discernibility is `/=`) and Lua (physical (non)identity is `==` and `~=`).
+    Isn't this interesting? Intuitively, elsewhere in math, you might think that qualitative indicernibility always suffices for numerical identity. Well, perhaps this needs discussion. In some sense the imaginary numbers &iota; and -&iota; are qualitatively indiscernible, but numerically distinct. However, arguably they're not *fully* qualitatively indiscernible. They don't both bear all the same relations to &iota; for instance. But then, if we include numerical/physical identity as a relation, then `ycell` and `xcell` don't both bear all the same relations to `ycell`, either. Yet there is still a useful sense in which they can be understood to be qualitatively equal --- at least, at a given stage in a computation.

-    Because of the particular way the numerical identity predicates are implemented in all of these languages, it doesn't quite match our conceptual expectations. For instance, For instance, if `ycell` is a reference cell, then `ref !ycell` will always be a numerically distinct reference cell containing the same value. We get this pattern of comparisons in OCaml:
+    **Terminological aside**: in OCaml, `=` and `<>` express the qualitative (in)discernibility relations, also expressed in Scheme with `equal?`. In OCaml, `==` and `!=` express the numerical (non)identity relations, also expressed in Scheme with `eq?`. `=` also has other syntactic roles in OCaml, such as in the form `let x = value in ...`. In other languages, like C and Python, `=` is commonly used just for assignment (of either of the sorts we've now seen: `var x = value in ...` or `set x to value in ...`). The symbols `==` and `!=` are commonly used to express qualitative (in)discernibility in these languages. Python expresses numerical (non)identity with `is` and `is not`. What an unattractive mess. Don't get me started on Haskell (qualitative discernibility is `/=`) and Lua (physical (non)identity is `==` and `~=`).

-        ycell == ycell
-        ycell != ref !ycell (* true, these aren't numerically identical *)
-
-        ycell = ycell
-        ycell = ref !ycell (* true, they are qualitatively indiscernible *)
-
-
-        (0, 1, ycell) ? (0, 1, ycell)
-        (0, 1. ycell) ? (0, 1. ref !ycell)
-
-    You might expect the first pair to be numerically identical too---after all, they involve the same structure (an immutable triple) each of whose components is numerically identical. But OCaml's "physical identity" predicate `==` does not detect that identity. It counts both of these comparisons as false. OCaml's `=` predicate does count the first pair as equal, but only because it's insensitive to numerical identity; it also counts the second pair as equal. This shows up in all the other languages I know, as well. In Python, `y = []; (0, 1, y) is (0, 1, y)` evaluates to false. In Racket, `(define y (box 1)) (eq? (cons 0 y) (cons 0 y))` also evaluates to false (and in Racket, unlike traditional Schemes, `cons` is creating immutable pairs). They chose an implementation for their numerical identity predicates that is especially efficient and does the right thing in the common cases, but doesn't quite match our mathematical expectations.
-
-    In the following (fictional) language:
+    In the following fragment:

let ycell = ref 1 in
let xcell = ref 1 in
@@ -595,6 +569,21 @@ Programming languages tend to provide a bunch of mutation-related capabilities a
xcell = ycell
xcell = zcell

+    Because of the particular way the numerical identity predicates are implemented in all of these languages, it doesn't quite match our conceptual expectations. For instance, For instance, if `ycell` is a reference cell, then `ref !ycell` will always be a numerically distinct reference cell containing the same value. We get this pattern of comparisons in OCaml:
+
+        ycell == ycell      (* of course true *)
+        ycell != ref !ycell (* true, these aren't numerically identical *)
+
+        ycell = ycell       (* of course true *)
+        ycell = ref !ycell  (* true, they are qualitatively indiscernible *)
+