author Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 12:24:59 +0000 (08:24 -0400) committer Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 12:24:59 +0000 (08:24 -0400)
Signed-off-by: Jim Pryor <profjim@jimpryor.net>

index 53a6611..6662576 100644 (file)
@@ -19,22 +19,22 @@ corrections.

Monoids
-------
-A **monoid** is a structure `(S, *, z)` consisting of an associative binary operation `*` over some set `S`, which is closed under `*`, and which contains an identity element `z` for `*`. That is:
+A **monoid** is a structure <code>(S,&#8902;,z)</code> consisting of an associative binary operation <code>&#8902;</code> over some set `S`, which is closed under <code>&#8902;</code>, and which contains an identity element `z` for <code>&#8902;</code>. That is:

<pre>
for all s1, s2, s3 in S:
-       (i) s1*s2 etc are also in S
-       (ii) (s1*s2)*s3 = s1*(s2*s3)
-       (iii) z*s1 = s1 = s1*z
+       (i) s1&#8902;s2 etc are also in S
+       (ii) (s1&#8902;s2)&#8902;s3 = s1&#8902;(s2&#8902;s3)
+       (iii) z&#8902;s1 = s1 = s1&#8902;z
</pre>

Some examples of monoids are:

-*      finite strings of an alphabet `A`, with `*` being concatenation and `z` being the empty string
-*      all functions `X&rarr;X` over a set `X`, with `*` being composition and `z` being the identity function over `X`
-*      the natural numbers with `*` being plus and `z` being `0` (in particular, this is a **commutative monoid**). If we use the integers, or the naturals mod n, instead of the naturals, then every element will have an inverse and so we have not merely a monoid but a **group**.)
-*      if we let `*` be multiplication and `z` be `1`, we get different monoids over the same sets as in the previous item.
+*      finite strings of an alphabet `A`, with <code>&#8902;</code> being concatenation and `z` being the empty string
+*      all functions `X&rarr;X` over a set `X`, with <code>&#8902;</code> being composition and `z` being the identity function over `X`
+*      the natural numbers with <code>&#8902;</code> being plus and `z` being `0` (in particular, this is a **commutative monoid**). If we use the integers, or the naturals mod n, instead of the naturals, then every element will have an inverse and so we have not merely a monoid but a **group**.)
+*      if we let <code>&#8902;</code> be multiplication and `z` be `1`, we get different monoids over the same sets as in the previous item.

Categories
----------
@@ -59,7 +59,7 @@ Some examples of categories are:

*      Categories whose elements are sets and whose morphisms are functions between those sets. Here the source and target of a function are its domain and range, so distinct functions sharing a domain and range (e.g., sin and cos) are distinct morphisms between the same source and target elements. The identity morphism for any element/set is just the identity function for that set.

-*      any monoid `(S,*,z)` generates a category with a single element `x`; this `x` need not have any relation to `S`. The members of `S` play the role of *morphisms* of this category, rather than its elements. All of these morphisms are understood to map `x` to itself. The result of composing the morphism consisting of `s1` with the morphism `s2` is the morphism `s3`, where `s3=s1*s2`. The identity morphism for the (single) category element `x` is the monoid's identity `z`.
+*      any monoid <code>(S,&#8902;,z)</code> generates a category with a single element `x`; this `x` need not have any relation to `S`. The members of `S` play the role of *morphisms* of this category, rather than its elements. All of these morphisms are understood to map `x` to itself. The result of composing the morphism consisting of `s1` with the morphism `s2` is the morphism `s3`, where <code>s3=s1&#8902;s2</code>. The identity morphism for the (single) category element `x` is the monoid's identity `z`.

*      a **preorder** is a structure `(S, &le;)` consisting of a reflexive, transitive, binary relation on a set `S`. It need not be connected (that is, there may be members `x`,`y` of `S` such that neither `x&le;y` nor `y&le;x`). It need not be anti-symmetric (that is, there may be members `s1`,`s2` of `S` such that `s1&le;s2` and `s2&le;s1` but `s1` and `s2` are not identical). Some examples: