author Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 12:19:57 +0000 (08:19 -0400) committer Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 12:19:57 +0000 (08:19 -0400)
Signed-off-by: Jim Pryor <profjim@jimpryor.net>

index f26e2cd..53a6611 100644 (file)
@@ -45,9 +45,9 @@ When a morphism `f` in category <b>C</b> has source `C1` and target `C2`, we'll
To have a category, the elements and morphisms have to satisfy some constraints:

<pre>
-       (i) the class of morphisms has to be closed under composition: where f:C1&rarr;C2 and g:C2&rarr;C3, g &ordm; f is also a morphism of the category, which maps C1&rarr;C3.
+       (i) the class of morphisms has to be closed under composition: where f:C1&rarr;C2 and g:C2&rarr;C3, g &#8728; f is also a morphism of the category, which maps C1&rarr;C3.
(ii) composition of morphisms has to be associative
-       (iii) every element E of the category has to have an identity morphism 1<sub>E</sub>, which is such that for every morphism f:C1&rarr;C2: 1<sub>C2</sub> o f = f = f o 1<sub>C1</sub>
+       (iii) every element E of the category has to have an identity morphism 1<sub>E</sub>, which is such that for every morphism f:C1&rarr;C2: 1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>
</pre>

These parallel the constraints for monoids. Note that there can be multiple distinct morphisms between an element `E` and itself; they need not all be identity morphisms. Indeed from (iii) it follows that each element can have only a single identity morphism.
@@ -77,7 +77,7 @@ A **functor** is a "homomorphism", that is, a structure-preserving mapping, betw
(i) associate with every element C1 of <b>C</b> an element F(C1) of <b>D</b>
(ii) associate with every morphism f:C1&rarr;C2 of <b>C</b> a morphism F(f):F(C1)&rarr;F(C2) of <b>D</b>
(iii) "preserve identity", that is, for every element C1 of <b>C</b>: F of C1's identity morphism in <b>C</b> must be the identity morphism of F(C1) in <b>D</b>: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
-       (iv) "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in <b>C</b>: F(g o f) = F(g) o F(f)
+       (iv) "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in <b>C</b>: F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)
</pre>

A functor that maps a category to itself is called an **endofunctor**. The (endo)functor that maps every element and morphism of <b>C</b> to itself is denoted `1C`.
@@ -94,7 +94,7 @@ So categories include elements and morphisms. Functors consist of mappings from

Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms &eta;[C1]:G(C1)&rarr;H(C1)` in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, &eta;[C1]` has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:

-       for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: &eta;[C2] o G(f) = H(f) o &eta;[C1]
+       for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: &eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]

That is, the morphism via `G(f)` from `G(C1)` to `G(C2)`, and then via &eta;[C2]` to `H(C2)`, is identical to the morphism from `G(C1)` via &eta;[C1]` to `H(C1)`, and then via `H(f)` from `H(C1)` to `H(C2)`.

@@ -121,19 +121,19 @@ And `(K &eta;)` is a natural transformation from the (composite) functor `KG` to

`(&phi; -v- &eta;)` is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". We will rely later on this, where `f:C1&rarr;C2`:

-       &phi;[C2] o H(f) o &eta;[C1] = &phi;[C2] o H(f) o &eta;[C1]
+       &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1]

by naturalness of &phi;, is:

-       &phi;[C2] o H(f) o &eta;[C1] = J(f) o &phi;[C1] o &eta;[C1]
+       &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]

by naturalness of &eta;, is:

-       &phi;[C2] o &eta;[C2] o G(f) = J(f) o &phi;[C1] o &eta;[C1]
+       &phi;[C2] &#8728; &eta;[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]

-Hence, we can define `(&phi; -v- &eta;)[x]` as: &phi;[x] o &eta;[x]` and rely on it to satisfy the constraints for a natural transformation from `G` to `J`:
+Hence, we can define `(&phi; -v- &eta;)[x]` as: &phi;[x] &#8728; &eta;[x]` and rely on it to satisfy the constraints for a natural transformation from `G` to `J`:

-       (&phi; -v- &eta;)[C2] o G(f) = J(f) o (&phi; -v- &eta;)[C1]
+       (&phi; -v- &eta;)[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; (&phi; -v- &eta;)[C1]

An observation we'll rely on later: given the definitions of vertical composition and of how natural transformations compose with functors, it follows that:

@@ -144,8 +144,8 @@ I'll assert without proving that vertical composition is associative and has an

`(&psi; -h- &eta;)` is natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `LH`; this is known as a "horizontal composition." It's trickier to define, but we won't be using it here. For reference:

-       (&phi; -h- &eta;)[C1]  =  L(&eta;[C1]) o &psi;[G(C1)]
-                                          =  &psi;[H(C1)] o K(&eta;[C1])
+       (&phi; -h- &eta;)[C1]  =  L(&eta;[C1]) &#8728; &psi;[G(C1)]
+                                          =  &psi;[H(C1)] &#8728; K(&eta;[C1])

Horizontal composition is also associative, and has the same identity as vertical composition.

@@ -218,14 +218,14 @@ The standard category-theory presentation of the monad laws
In category theory, the monad laws are usually stated in terms of `unit` and `join` instead of `unit` and `<=<`.

(*
-       P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> o f = f = f o 1<sub>C1</sub>.
+       P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>.
P3. functors "preserve identity", that is for every element C1 in F's source category: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
*)

Let's remind ourselves of some principles:
* composition of morphisms, functors, and natural compositions is associative
-       * functors "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in F's source category: F(g o f) = F(g) o F(f)
-       * if &eta; is a natural transformation from F to G, then for every f:C1&rarr;C2 in F and G's source category <b>C</b>: &eta;[C2] o F(f) = G(f) o &eta;[C1].
+       * functors "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in F's source category: F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)
+       * if &eta; is a natural transformation from F to G, then for every f:C1&rarr;C2 in F and G's source category <b>C</b>: &eta;[C2] &#8728; F(f) = G(f) &#8728; &eta;[C1].

Let's use the definitions of naturalness, and of composition of natural transformations, to establish two lemmas.
@@ -233,37 +233,37 @@ Let's use the definitions of naturalness, and of composition of natural transfor

Recall that join is a natural transformation from the (composite) functor MM to M. So for elements C1 in <b>C</b>, join[C1] will be a morphism from MM(C1) to M(C1). And for any morphism f:a&rarr;b in <b>C</b>:

-       (1) join[b] o MM(f)  =  M(f) o join[a]
+       (1) join[b] &#8728; MM(f)  =  M(f) &#8728; join[a]

Next, consider the composite transformation ((join MQ') -v- (MM q)).
q is a transformation from Q to MQ', and assigns elements C1 in <b>C</b> a morphism q*: Q(C1) &rarr; MQ'(C1). (MM q) is a transformation that instead assigns C1 the morphism MM(q*).
(join MQ') is a transformation from MMMQ' to MMQ' that assigns C1 the morphism join[MQ'(C1)].
Composing them:
-       (2) ((join MQ') -v- (MM q)) assigns to C1 the morphism join[MQ'(C1)] o MM(q*).
+       (2) ((join MQ') -v- (MM q)) assigns to C1 the morphism join[MQ'(C1)] &#8728; MM(q*).

Next, consider the composite transformation ((M q) -v- (join Q)).
-       (3) This assigns to C1 the morphism M(q*) o join[Q(C1)].
+       (3) This assigns to C1 the morphism M(q*) &#8728; join[Q(C1)].

So for every element C1 of <b>C</b>:
((join MQ') -v- (MM q))[C1], by (2) is:
-       join[MQ'(C1)] o MM(q*), which by (1), with f=q*: Q(C1)&rarr;MQ'(C1) is:
-       M(q*) o join[Q(C1)], which by 3 is:
+       join[MQ'(C1)] &#8728; MM(q*), which by (1), with f=q*: Q(C1)&rarr;MQ'(C1) is:
+       M(q*) &#8728; join[Q(C1)], which by 3 is:
((M q) -v- (join Q))[C1]

So our (lemma 1) is: ((join MQ') -v- (MM q))  =  ((M q) -v- (join Q)), where q is a transformation from Q to MQ'.

Next recall that unit is a natural transformation from 1C to M. So for elements C1 in <b>C</b>, unit[C1] will be a morphism from C1 to M(C1). And for any morphism f:a&rarr;b in <b>C</b>:
-       (4) unit[b] o f = M(f) o unit[a]
+       (4) unit[b] &#8728; f = M(f) &#8728; unit[a]

-Next consider the composite transformation ((M q) -v- (unit Q)). (5) This assigns to C1 the morphism M(q*) o unit[Q(C1)].
+Next consider the composite transformation ((M q) -v- (unit Q)). (5) This assigns to C1 the morphism M(q*) &#8728; unit[Q(C1)].

-Next consider the composite transformation ((unit MQ') -v- q). (6) This assigns to C1 the morphism unit[MQ'(C1)] o q*.
+Next consider the composite transformation ((unit MQ') -v- q). (6) This assigns to C1 the morphism unit[MQ'(C1)] &#8728; q*.

So for every element C1 of <b>C</b>:
((M q) -v- (unit Q))[C1], by (5) =
-       M(q*) o unit[Q(C1)], which by (4), with f=q*: Q(C1)&rarr;MQ'(C1) is:
-       unit[MQ'(C1)] o q*, which by (6) =
+       M(q*) &#8728; unit[Q(C1)], which by (4), with f=q*: Q(C1)&rarr;MQ'(C1) is:
+       unit[MQ'(C1)] &#8728; q*, which by (6) =
((unit MQ') -v- q)[C1]

So our lemma (2) is: (((M q) -v- (unit Q))  =  ((unit MQ') -v- q)), where q is a transformation from Q to MQ'.
@@ -369,7 +369,7 @@ A monad M will consist of a mapping from types C1 to types M(C1), and a mapping

A natural transformation t assigns to each type C1 in <b>C</b> a morphism t[C1]: C1&rarr;M(C1) such that, for every f:C1&rarr;C2:
-       t[C2] o f = M(f) o t[C1]
+       t[C2] &#8728; f = M(f) &#8728; t[C1]

The composite morphisms said here to be identical are morphisms from the type C1 to the type M(C2).