index 7575abc..47748a1 100644 (file)
@@ -9,10 +9,10 @@ This equation can be interpreted as expressing the thought that the
complex expression `3 + 4` evaluates to `7`.  The evaluation of the
expression computing a sum.  There is a clear sense in which the
expression `7` is simpler than the expression `3 + 4`: `7` is
-syntactically simple, and `3 + 4` is syntactically complex.
+syntactically simple, and `3 + 4` is syntactically complex.

Now let's take this folk notion of computation, and put some pressure
-on it.
+on it.

##Church arithmetic##

@@ -64,14 +64,14 @@ But now consider multiplication:
Is the final result simpler?  This time, the answer is not so straightfoward.
Compare the starting expression with the final expression:

-        *           3             4
+        *           3             4
(\lrf.l(rf))(\fz.f(f(fz)))(\fz.f(f(f(fz))))
~~> 12
(\fz.f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(fz))))))))))))

And if we choose different numbers, the result is even less clear:

-        *           3             6
+        *           3             6
(\lrf.l(rf))(\fz.f(f(fz)))(\fz.f(f(f(f(f(fz))))))
~~> 18
(\fz.f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(fz))))))))))))))))))
@@ -99,7 +99,7 @@ that reduce to that term.

In the arithmetic example, there is only one number that corresponds
to the sum of 3 and 4 (namely, 7).  But there are many sums that add
-up to 7: 3+4, 4+3, 5+2, 2+5, 6+1, 1+6, etc.
+up to 7: 3+4, 4+3, 5+2, 2+5, 6+1, 1+6, etc.

So the unevaluated expression contains information that is missing
from the evaluated value: information about *how* that value was
@@ -124,7 +124,7 @@ pathological examples where the results do not align so well:
In this example, reduction returns the exact same lambda term.  There
is no simplification at all.

-    (\x.xxx)(\x.xxx) ~~> ((\x.xxxx)(\x.xxxx)(\x.xxxx))
+    (\x.xxx)(\x.xxx) ~~> ((\x.xxxx)(\x.xxxx)(\x.xxxx))

Even worse, in this case, the "reduced" form is longer and more
complex by any measure.