1 ##Computing the length of a list##
3 How could we compute the length of a list? Without worrying yet about what lambda-calculus implementation we're using for the list, the basic idea would be to define this recursively:
5 >       the empty list has length 0
7 >       any non-empty list has length 1 + (the length of its tail)
9 In OCaml, you'd define that like this:
11         let rec get_length = fun lst ->
12                 if lst == [] then 0 else 1 + get_length (tail lst)
13         in ... (* here you go on to use the function "get_length" *)
15 In Scheme you'd define it like this:
17         (letrec [(get_length
18                                 (lambda (lst) (if (null? lst) 0 [+ 1 (get_length (cdr lst))] )) )]
19                 ... ; here you go on to use the function "get_length"
20         )
24 1. `null?` is Scheme's way of saying `isempty`. That is, `(null? lst)` returns true (which Scheme writes as `#t`) iff `lst` is the empty list (which Scheme writes as `'()` or `(list)`).
26 2. `cdr` is function that gets the tail of a Scheme list. (By definition, it's the function for getting the second member of an ordered pair. It just turns out to return the tail of a list because of the particular way Scheme implements lists.)
28 3.      I use `get_length` instead of the convention we've been following so far of hyphenated names, as in `make-list`, because we're discussing OCaml code here, too, and OCaml doesn't permit the hyphenated variable names. OCaml requires variables to always start with a lower-case letter (or `_`), and then continue with only letters, numbers, `_` or `'`. Most other programming languages are similar. Scheme is very relaxed, and permits you to use `-`, `?`, `/`, and all sorts of other crazy characters in your variable names.
30 4.      I alternate between `[ ]`s and `( )`s in the Scheme code just to make it more readable. These have no syntactic difference.
33 The main question for us to dwell on here is: What are the `let rec` in the OCaml code and the `letrec` in the Scheme code?
35 Answer: These work like the `let` expressions we've already seen, except that they let you use the variable `get_length` *inside* the body of the function being bound to it---with the understanding that it will there refer to the same function that you're then in the process of binding to `get_length`. So our recursively-defined function works the way we'd expect it to. In OCaml:
37         let rec get_length = fun lst ->
38                 if lst == [] then 0 else 1 + get_length (tail lst)
39         in get_length [20; 30]
40         (* this evaluates to 2 *)
42 In Scheme:
44         (letrec [(get_length
45                                 (lambda (lst) (if (null? lst) 0 [+ 1 (get_length (cdr lst))] )) )]
46                         (get_length (list 20 30)))
47         ; this evaluates to 2
49 If you instead use an ordinary `let` (or `let*`), here's what would happen, in OCaml:
51         let get_length = fun lst ->
52                 if lst == [] then 0 else 1 + get_length (tail lst)
53         in get_length [20; 30]
54         (* fails with error "Unbound value length" *)
56 Here's Scheme:
58         (let* [(get_length
59                                 (lambda (lst) (if (null? lst) 0 [+ 1 (get_length (cdr lst))] )) )]
60                         (get_length (list 20 30)))
61         ; fails with error "reference to undefined identifier: get_length"
63 Why? Because we said that constructions of this form:
65         let get_length = A
66                 in B
68 really were just another way of saying:
70         (\get_length. B) A
72 and so the occurrences of `get_length` in A *aren't bound by the `\get_length` that wraps B*. Those occurrences are free.
74 We can verify this by wrapping the whole expression in a more outer binding of `get_length` to some other function, say the constant function from any list to the integer 99:
76         let get_length = fun lst -> 99
77         in let get_length = fun lst ->
78                         if lst == [] then 0 else 1 + get_length (tail lst)
79         in get_length [20; 30]
80         (* evaluates to 1 + 99 *)
82 Here the use of `get_length` in `1 + get_length (tail lst)` can clearly be seen to be bound by the outermost `let`.
84 And indeed, if you tried to define `get_length` in the lambda calculus, how would you do it?
86         \lst. (isempty lst) zero (add one (get_length (extract-tail lst)))
88 We've defined all of `isempty`, `zero`, `add`, `one`, and `extract-tail` in earlier discussion. But what about `get_length`? That's not yet defined! In fact, that's the very formula we're trying here to specify.
90 What we really want to do is something like this:
92         \lst. (isempty lst) zero (add one (... (extract-tail lst)))
94 where this very same formula occupies the `...` position:
96         \lst. (isempty lst) zero (add one (
97                 \lst. (isempty lst) zero (add one (... (extract-tail lst)))
98                         (extract-tail lst)))
100 but as you can see, we'd still have to plug the formula back into itself again, and again, and again... No dice.
102 [At this point, some of you will recall the discussion in the first
103 class concerning the conception of functions as sets of ordered pairs.
104 The problem, as you will recall, was that in the untyped lambda
105 calculus, we wanted a function to be capable of taking itself as an
106 argument.  For instance, we wanted to be able to apply the identity
107 function to itself.  And since the identity function always returns
108 its argument unchanged, the value it should return in that case is
109 itself:
111     (\x.x)(\x.x) ~~> (\x.x)
113 If we conceive of a function as a set of ordered pairs, we would start
114 off like this:
116     1 -> 1
117     2 -> 2
118     3 -> 3
119     ...
120     [1 -> 1, 2 -> 2, 3 -> 3, ..., [1 -> 1, 2 -> 2, 3 -> 3, ...,
122 Eventually, we would get to the point where we want to say what the
123 identity function itself gets mapped to.  But in order to say that, we
124 need to write down the identity function in the argument position as a
125 set of ordered pairs.  The need to insert a copy of the entire
126 function definition inside of a copy of the entire function definition
127 inside of... is the same problem as the need to insert a complete
128 graph of the identity function inside of the graph for the identity function.]
130 So how could we do it? And how do OCaml and Scheme manage to do it, with their `let rec` and `letrec`?
132 1.      OCaml and Scheme do it using a trick. Well, not a trick. Actually an impressive, conceptually deep technique, which we haven't yet developed. Since we want to build up all the techniques we're using by hand, then, we shouldn't permit ourselves to rely on `let rec` or `letrec` until we thoroughly understand what's going on under the hood.
134 2.      If you tried this in Scheme:
136                 (define get_length
137                                 (lambda (lst) (if (null? lst) 0 [+ 1 (get_length (cdr lst))] )) )
139                 (get_length (list 20 30))
141         You'd find that it works! This is because `define` in Scheme is really shorthand for `letrec`, not for plain `let` or `let*`. So we should regard this as cheating, too.
143 3.      In fact, it *is* possible to define the `get_length` function in the lambda calculus despite these obstacles. This depends on using the "version 3" implementation of lists, and exploiting its internal structure: that it takes a function and a base value and returns the result of folding that function over the list, with that base value. So we could use this as a definition of `get_length`:
145                 \lst. lst (\x sofar. successor sofar) zero
147         What's happening here? We start with the value zero, then we apply the function `\x sofar. successor sofar` to the two arguments <code>x<sub>n</sub></code> and `zero`, where <code>x<sub>n</sub></code> is the last element of the list. This gives us `successor zero`, or `one`. That's the value we've accumuluted "so far." Then we go apply the function `\x sofar. successor sofar` to the two arguments <code>x<sub>n-1</sub></code> and the value `one` that we've accumulated "so far." This gives us `two`. We continue until we get to the start of the list. The value we've then built up "so far" will be the length of the list.
149 We can use similar techniques to define many recursive operations on lists and numbers. The reason we can do this is that our "version 3," fold-based implementation of lists, and Church's implementations of numbers, have a internal structure that *mirrors* the common recursive operations we'd use lists and numbers for.
151 As we said before, it does take some ingenuity to define functions like `extract-tail` or `predecessor` for these implementations. However it can be done. (And it's not *that* difficult.) Given those functions, we can go on to define other functions like numeric equality, subtraction, and so on, just by exploiting the structure already present in our implementations of lists and numbers.
153 With sufficient ingenuity, a great many functions can be defined in the same way. For example, the factorial function is straightforward. The function which returns the nth term in the Fibonacci series is a bit more difficult, but also achievable.
155 ##However...##
157 Some computable functions are just not definable in this way. We can't, for example, define a function that tells us, for whatever function `f` we supply it, what is the smallest integer `x` where `f x` is `true`.
159 Neither do the resources we've so far developed suffice to define the
160 [[!wikipedia Ackermann function]]:
162         A(m,n) =
163                 | when m == 0 -> n + 1
164                 | else when n == 0 -> A(m-1,1)
165                 | else -> A(m-1, A(m,n-1))
167         A(0,y) = y+1
168         A(1,y) = 2+(y+3) - 3
169         A(2,y) = 2(y+3) - 3
170         A(3,y) = 2^(y+3) - 3
171         A(4,y) = 2^(2^(2^...2)) [where there are y+3 2s] - 3
172         ...
174 Simpler functions always *could* be defined using the resources we've so far developed, although those definitions won't always be very efficient or easily intelligible.
176 But functions like the Ackermann function require us to develop a more general technique for doing recursion---and having developed it, it will often be easier to use it even in the cases where, in principle, we didn't have to.
178 ##How to do recursion with lower-case omega##
180 Recall our initial, abortive attempt above to define the `get_length` function in the lambda calculus. We said "What we really want to do is something like this:
182         \lst. (isempty lst) zero (add one (... (extract-tail lst)))
184 where this very same formula occupies the `...` position."
186 We are not going to exactly that, at least not yet. But we are going to do something close to it.
188 Consider a formula of the following form (don't worry yet about exactly how we'll fill the `...`s):
190         \h \lst. (isempty lst) zero (add one (... (extract-tail lst)))
192 Call that formula `H`. Now what would happen if we applied `H` to itself? Then we'd get back:
194         \lst. (isempty lst) zero (add one (... (extract-tail lst)))
196 where any occurrences of `h` inside the `...` were substituted with `H`. Call this `F`. `F` looks pretty close to what we're after: a function that takes a list and returns zero if it's empty, and so on. And `F` is the result of applying `H` to itself. But now inside `F`, the occurrences of `h` are substituted with the very formula `H` we started with. So if we want to get `F` again, all we have to do is apply `h` to itself---since as we said, the self-application of `H` is how we created `F` in the first place.
198 So, the way `F` should be completed is:
200         \lst. (isempty lst) zero (add one ((h h) (extract-tail lst)))
202 and our original `H` is:
204         \h \lst. (isempty lst) zero (add one ((h h) (extract-tail lst)))
206 The self-application of `H` will give us `F` with `H` substituted in for its free variable `h`.
208 Instead of writing out a long formula twice, we could write:
210         (\x. x x) LONG-FORMULA
212 and the initial `(\x. x x)` is just what we earlier called the <code>&omega;</code> combinator (lower-case omega, not the non-terminating <code>&Omega;</code>). So the self-application of `H` can be written:
214 <pre><code>&omega; (\h \lst. (isempty lst) zero (add one ((h h) (extract-tail lst))))
215 </code></pre>
217 and this will indeed implement the recursive function we couldn't earlier figure out how to define.
219 In broad brush-strokes, `H` is half of the `get_length` function we're seeking, and `H` has the form:
221         \h other-arguments. ... (h h) ...
223 We get the whole `get_length` function by applying `H` to itself. Then `h` is replaced by the half `H`, and when we later apply `h` to itself, we re-create the whole `get_length` again.
225 ##Neat! Can I make it easier to use?##
227 Suppose you wanted to wrap this up in a pretty interface, so that the programmer didn't need to write `(h h)` but could just write `g` for some function `g`. How could you do it?
229 Now the `F`-like expression we'd be aiming for---call it `F*`---would look like this:
231         \lst. (isempty lst) zero (add one (g (extract-tail lst)))
233 or, abbreviating:
235         \lst. ...g...
237 Here we have just a single `g` instead of `(h h)`. We'd want `F*` to be the result of self-applying some `H*`, and then binding to `g` that very self-application of `H*`. We'd get that if `H*` had the form:
239         \h. (\g lst. ...g...) (h h)
241 The self-application of `H*` would be:
243         (\h. (\g lst. ...g...) (h h)) (\h. (\g lst. ...g...) (h h))
245 or:
247         (\f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h))) (\g lst. ...g...)
249 The left-hand side of this is known as **the Y-combinator** and so this could be written more compactly as:
251         Y (\g lst. ...g...)
253 or, replacing the abbreviated bits:
255         Y (\g lst. (isempty lst) zero (add one (g (extract-tail lst))))
257 So this is another way to implement the recursive function we couldn't earlier figure out how to define.
260 ##Generalizing##
262 Let's step back and fill in some theory to help us understand why these tricks work.
264 In general, we call a **fixed point** of a function f any value *x* such that f <em>x</em> is equivalent to *x*. For example, what is a fixed point of the function from natural numbers to their squares? What is a fixed point of the successor function?
266 In the lambda calculus, we say a fixed point of an expression `f` is any formula `X` such that:
268         X <~~> f X
270 What is a fixed point of the identity combinator I?
272 What is a fixed point of the false combinator, KI?
274 It's a theorem of the lambda calculus that every formula has a fixed point. In fact, it will have infinitely many, non-equivalent fixed points. And we don't just know that they exist: for any given formula, we can name many of them.
276 Yes, even the formula that you're using the define the successor function will have a fixed point. Isn't that weird? Think about how it might be true.
278 Well, you might think, only some of the formulas that we might give to the `successor` as arguments would really represent numbers. If we said something like:
280         successor make-pair
282 who knows what we'd get back? Perhaps there's some non-number-representing formula such that when we feed it to `successor` as an argument, we get the same formula back.
284 Yes! That's exactly right. And which formula this is will depend on the particular way you've implemented the successor function.
286 Moreover, the recipes that enable us to name fixed points for any given formula aren't *guaranteed* to give us *terminating* fixed points. They might give us formulas X such that neither `X` nor `f X` have normal forms. (Indeed, what they give us for the square function isn't any of the Church numerals, but is rather an expression with no normal form.) However, if we take care we can ensure that we *do* get terminating fixed points. And this gives us a principled, fully general strategy for doing recursion. It lets us define even functions like the Ackermann function, which were until now out of our reach. It would also let us define arithmetic and list functions on the "version 1" and "version 2" implementations, where it wasn't always clear how to force the computation to "keep going."
288 OK, so how do we make use of this?
290 Recall again our initial, abortive attempt above to define the `get_length` function in the lambda calculus. We said "What we really want to do is something like this:
292         \lst. (isempty lst) zero (add one (... (extract-tail lst)))
294 where this very same formula occupies the `...` position."
296 If we could somehow get ahold of this very formula, as an additional argument, then we could take the argument and plug it into the `...` position. Something like this:
298         \self (\lst. (isempty lst) zero (add one (self (extract-tail lst))) )
300 This is an abstract of the form:
302         \self. BODY
304 where `BODY` is the expression:
306         \lst. (isempty lst) zero (add one (self (extract-tail lst)))
308 containing an occurrence of `self`.
310 Now consider what would be a fixed point of our expression `\self. BODY`? That would be some expression `X` such that:
312         X <~~> (\self.BODY) X
314 Beta-reducing the right-hand side, we get:
316         X <~~> BODY [self := X]
318 Think about what this says. It says if you substitute `X` for `self` in our formula BODY:
320         \lst. (isempty lst) zero (add one (X (extract-tail lst)))
322 what you get is "equivalent" to (that is, convertible with) X itself. That is, the `X` inside the above expression is equivalent to the whole expression. So the expression *does*, in a sense, contain itself!
324 Let's go over that again. If we had a fixed point `X` for our expression `\self. ...self...`, then by the definition of a fixed-point, this has to be true:
326         X <~~> (\self. ...self...) X
328 but beta-reducing the right-hand side, we get something of the form:
330         X <~~> ...X...
332 So on the right-hand side we have a complex expression, that contains some occurrences of whatever our fixed-point `X` is, and `X` is convertible with *that very complex, right-hand side expression.*
334 So we really *can* define `get_length` in the way we were initially attempting, in the bare lambda calculus, where Scheme and OCaml's souped-up `let rec` constructions aren't primitively available. (In fact, what we're doing here is the natural way to implement `let rec`.)
336 This all turns on having a way to generate a fixed-point for our "starting formula":
338         \self (\lst. (isempty lst) zero (add one (self (extract-tail lst))) )
340 Where do we get it?
342 Suppose we have some **fixed-point combinator**
343 <code>&Psi;</code>. That is, some function that returns, for any expression `f` we give it as argument, a fixed point for `f`. In other words:
345 <pre><code>&Psi; f <~~> f (&Psi; f)</code></pre>
347 Then applying <code>&Psi;</code> to the "starting formula" displayed above would give us our fixed point `X` for the starting formula:
349 <pre><code>&Psi; (\self (\lst. (isempty lst) zero (add one (self (extract-tail lst))) ))</code></pre>
351 And this is the fully general strategy for
352 defining recursive functions in the lambda calculus. You begin with a "body formula":
354         ...self...
356 containing free occurrences of `self` that you treat as being equivalent to the body formula itself. In the case we're considering, that was:
358         \lst. (isempty lst) zero (add one (self (extract-tail lst)))
360 You bind the free occurrence of `self` as: `\self. BODY`. And then you generate a fixed point for this larger expression:
362 <pre><code>&Psi; (\self. BODY)</code></pre>
364 using some fixed-point combinator <code>&Psi;</code>.
366 Isn't that cool?
368 ##Okay, then give me a fixed-point combinator, already!##
370 Many fixed-point combinators have been discovered. (And some fixed-point combinators give us models for building infinitely many more, non-equivalent fixed-point combinators.)
372 Two of the simplest:
374 <pre><code>&Theta;&prime; &equiv; (\u f. f (\n. u u f n)) (\u f. f (\n. u u f n))
375 Y&prime; &equiv; \f. (\u. f (\n. u u n)) (\u. f (\n. u u n))</code></pre>
377 <code>&Theta;&prime;</code> has the advantage that <code>f (&Theta;&prime; f)</code> really *reduces to* <code>&Theta;&prime; f</code>. Whereas <code>f (Y&prime; f)</code> is only *convertible with* <code>Y&prime; f</code>; that is, there's a common formula they both reduce to. For most purposes, though, either will do.
379 You may notice that both of these formulas have eta-redexes inside them: why can't we simplify the two `\n. u u f n` inside <code>&Theta;&prime;</code> to just `u u f`? And similarly for <code>Y&prime;</code>?
381 Indeed you can, getting the simpler:
383 <pre><code>&Theta; &equiv; (\u f. f (u u f)) (\u f. f (u u f))
384 Y &equiv; \f. (\u. f (u u)) (\u. f (u u))</code></pre>
386 I stated the more complex formulas for the following reason: in a language whose evaluation order is *call-by-value*, the evaluation of <code>&Theta; (\self. BODY)</code> and `Y (\self. BODY)` will in general not terminate. But evaluation of the eta-unreduced primed versions will.
388 Of course, if you define your `\self. BODY` stupidly, your formula will never terminate. For example, it doesn't matter what fixed point combinator you use for <code>&Psi;</code> in:
390 <pre><code>&Psi; (\self. \n. self n)</code></pre>
392 When you try to evaluate the application of that to some argument `M`, it's going to try to give you back:
394         (\n. self n) M
396 where `self` is equivalent to the very formula `\n. self n` that contains it. So the evaluation will proceed:
398         (\n. self n) M ~~>
399         self M ~~>
400         (\n. self n) M ~~>
401         self M ~~>
402         ...
404 You've written an infinite loop!
406 However, when we evaluate the application of our:
408 <pre><code>&Psi; (\self (\lst. (isempty lst) zero (add one (self (extract-tail lst))) ))</code></pre>
410 to some list `L`, we're not going to go into an infinite evaluation loop of that sort. At each cycle, we're going to be evaluating the application of:
412         \lst. (isempty lst) zero (add one (self (extract-tail lst)))
414 to *the tail* of the list we were evaluating its application to at the previous stage. Assuming our lists are finite (and the implementations we're using don't permit otherwise), at some point one will get a list whose tail is empty, and then the evaluation of that formula to that tail will return `zero`. So the recursion eventually bottoms out in a base value.
416 ##Fixed-point Combinators Are a Bit Intoxicating##
418 ![tatoo](/y-combinator.jpg)
420 There's a tendency for people to say "Y-combinator" to refer to fixed-point combinators generally. We'll probably fall into that usage ourselves. Speaking correctly, though, the Y-combinator is only one of many fixed-point combinators.
422 I used <code>&Psi;</code> above to stand in for an arbitrary fixed-point combinator. I don't know of any broad conventions for this. But this seems a useful one.
424 As we said, there are many other fixed-point combinators as well. For example, Jan Willem Klop pointed out that if we define `L` to be:
426         \a b c d e f g h i j k l m n o p q s t u v w x y z r. (r (t h i s i s a f i x e d p o i n t c o m b i n a t o r))
428 then this is a fixed-point combinator:
430         L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
433 ##Watching Y in action##
435 For those of you who like to watch ultra slow-mo movies of bullets
436 piercing apples, here's a stepwise computation of the application of a
437 recursive function.  We'll use a function `sink`, which takes one
438 argument.  If the argument is boolean true (i.e., `\x y.x`), it
439 returns itself (a copy of `sink`); if the argument is boolean false
440 (`\x y. y`), it returns `I`.  That is, we want the following behavior:
442     sink false ~~> I
443     sink true false ~~> I
444     sink true true false ~~> I
445     sink true true true false ~~> I
447 So we make `sink = Y (\f b. b f I)`:
449     1. sink false
450     2. Y (\fb.bfI) false
451     3. (\f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h))) (\fb.bfI) false
452     4. (\h. [\fb.bfI] (h h)) (\h. [\fb.bfI] (h h)) false
453     5. [\fb.bfI] ((\h. [\fb.bsI] (h h))(\h. [\fb.bsI] (h h))) false
454     6. (\b.b[(\h. [\fb.bsI] (h h))(\h. [\fb.bsI] (h h))]I)  false
455     7. false [(\h. [\fb.bsI] (h h))(\h. [\fb.bsI] (h h))] I
456              --------------------------------------------
457     8. I
459 So far so good.  The crucial thing to note is that as long as we
460 always reduce the outermost redex first, we never have to get around
461 to computing the underlined redex: because `false` ignores its first
462 argument, we can throw it away unreduced.
464 Now we try the next most complex example:
466     1. sink true false
467     2. Y (\fb.bfI) true false
468     3. (\f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h))) (\fb.bfI) true false
469     4. (\h. [\fb.bfI] (h h)) (\h. [\fb.bfI] (h h)) true false
470     5. [\fb.bfI] ((\h. [\fb.bsI] (h h))(\h. [\fb.bsI] (h h))) true false
471     6. (\b.b[(\h. [\fb.bsI] (h h))(\h. [\fb.bsI] (h h))]I)  true false
472     7. true [(\h. [\fb.bsI] (h h))(\h. [\fb.bsI] (h h))] I false
473     8. [(\h. [\fb.bsI] (h h))(\h. [\fb.bsI] (h h))] false
475 We've now arrived at line (4) of the first computation, so the result
476 is again I.
478 You should be able to see that `sink` will consume as many `true`s as
479 we throw at it, then turn into the identity function after it
480 encounters the first `false`.
482 The key to the recursion is that, thanks to Y, the definition of
483 `sink` contains within it the ability to fully regenerate itself as
484 many times as is necessary.  The key to *ending* the recursion is that
485 the behavior of `sink` is sensitive to the nature of the input: if the
486 input is the magic function `false`, the self-regeneration machinery
487 will be discarded, and the recursion will stop.
489 That's about as simple as recursion gets.
491 ##Base cases, and their lack##
493 As any functional programmer quickly learns, writing a recursive
494 function divides into two tasks: figuring out how to handle the
495 recursive case, and remembering to insert a base case.  The
496 interesting and enjoyable part is figuring out the recursive pattern,
497 but the base case cannot be ignored, since leaving out the base case
498 creates a program that runs forever.  For instance, consider computing
499 a factorial: `n!` is `n * (n-1) * (n-2) * ... * 1`.  The recursive
500 case says that the factorial of a number `n` is `n` times the
501 factorial of `n-1`.  But if we leave out the base case, we get
503     3! = 3 * 2! = 3 * 2 * 1! = 3 * 2 * 1 * 0! = 3 * 2 * 1 * 0 * -1! ...
505 That's why it's crucial to declare that 0! = 1, in which case the
506 recursive rule does not apply.  In our terms,
508     fac = Y (\fac n. iszero n 1 (fac (predecessor n)))
510 If `n` is 0, `fac` reduces to 1, without computing the recursive case.
512 There is a well-known problem in philosophy and natural language
513 semantics that has the flavor of a recursive function without a base
516 (1)    This sentence is true.
518 If we assume that the complex demonstrative "this sentence" can refer
519 to (1), then the proposition expressed by (1) will be true just in
520 case the thing referred to by *this sentence* is true.  Thus (1) will
521 be true just in case (1) is true, and (1) is true just in case (1) is
522 true, and so on.  If (1) is true, then (1) is true; but if (1) is not
523 true, then (1) is not true.
525 Without pretending to give a serious analysis of the paradox, let's
526 assume that sentences can have for their meaning boolean functions
527 like the ones we have been working with here.  Then the sentence *John
528 is John* might denote the function `\x y. x`, our `true`.
530 Then (1) denotes a function from whatever the referent of *this
531 sentence* is to a boolean.  So (1) denotes `\f. f true false`, where
532 the argument `f` is the referent of *this sentence*.  Of course, if
533 `f` is a boolean, `f true false <~~> f`, so for our purposes, we can
534 assume that (1) denotes the identity function `I`.
536 If we use (1) in a context in which *this sentence* refers to the
537 sentence in which the demonstrative occurs, then we must find a
538 meaning `m` such that `I m = I`.  But since in this context `m` is the
539 same as the meaning `I`, so we have `m = I m`.  In other words, `m` is
540 a fixed point for the denotation of the sentence (when used in the
541 appropriate context).
543 That means that in a context in which *this sentence* refers to the
544 sentence in which it occurs, the sentence denotes a fixed point for
545 the identity function.  Here's a fixed point for the identity
546 function:
548 <pre><code>Y I
549 (\f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h))) I
550 (\h. I (h h)) (\h. I (h h)))
551 (\h. (h h)) (\h. (h h)))
552 &omega; &omega;
553 &Omega
554 </code></pre>
556 Oh.  Well!  That feels right.  The meaning of *This sentence is true*
557 in a context in which *this sentence* refers to the sentence in which
558 it occurs is <code>&Omega;</code>, our prototypical infinite loop...
562 (2)  This sentence is false.
564 Used in a context in which *this sentence* refers to the utterance of
565 (2) in which it occurs, (2) will denote a fixed point for `\f.neg f`,
566 or `\f l r. f r l`, which is the `C` combinator.  So in such a
567 context, (2) might denote
569      Y C
570      (\f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h))) I
571      (\h. C (h h)) (\h. C (h h)))
572      C ((\h. C (h h)) (\h. C (h h)))
573      C (C ((\h. C (h h))(\h. C (h h))))
574      C (C (C ((\h. C (h h))(\h. C (h h)))))
575      ...
577 And infinite sequence of `C`s, each one negating the remainder of the
578 sequence.  Yep, that feels like a reasonable representation of the
581 See Barwise and Etchemendy's 1987 OUP book, [The Liar: an essay on
582 truth and circularity](http://tinyurl.com/2db62bk) for an approach
583 that is similar, but expressed in terms of non-well-founded sets
584 rather than recursive functions.
586 ##However...##
588 You should be cautious about feeling too comfortable with
589 these results.  Thinking again of the truth-teller paradox, yes,
590 <code>&Omega;</code> is *a* fixed point for `I`, and perhaps it has
591 some a privileged status among all the fixed points for `I`, being the
592 one delivered by Y and all (though it is not obvious why Y should have
593 any special status).
595 But one could ask: look, literally every formula is a fixed point for
596 `I`, since
598     X <~~> I X
600 for any choice of X whatsoever.
602 So the Y combinator is only guaranteed to give us one fixed point out
603 of infinitely many---and not always the intuitively most useful
604 one. (For instance, the squaring function has zero as a fixed point,
605 since 0 * 0 = 0, and 1 as a fixed point, since 1 * 1 = 1, but `Y
606 (\x. mul x x)` doesn't give us 0 or 1.) So with respect to the
607 truth-teller paradox, why in the reasoning we've
608 just gone through should we be reaching for just this fixed point at
609 just this juncture?
611 One obstacle to thinking this through is the fact that a sentence
612 normally has only two truth values.  We might consider instead a noun
613 phrase such as
615 (3)  the entity that this noun phrase refers to
617 The reference of (3) depends on the reference of the embedded noun
618 phrase *this noun phrase*.  It's easy to see that any object is a
619 fixed point for this referential function: if this pen cap is the
620 referent of *this noun phrase*, then it is the referent of (3), and so
621 for any object.
623 The chameleon nature of (3), by the way (a description that is equally
624 good at describing any object), makes it particularly well suited as a
625 gloss on pronouns such as *it*.  In the system of