week2.mdwn

   1 Syntactic equality, reduction, convertibility
   2 =============================================
   3
   4 Define T to be `(\x. x y) z`. Then T and `(\x. x y) z` are syntactically equal, and we're counting them as syntactically equal to `(\z. z y) z` as well, which we will write as:
   5
   6 <pre><code>T &equiv; (\x. x y) z &equiv; (\z. z y) z
   7 </code></pre>
   8
   9 [Fussy note: the justification for counting `(\x. x y) z` as
  10 equivalent to `(\z. z y) z` is that when a lambda binds a set of
  11 occurrences, it doesn't matter which variable serves to carry out the
  12 binding.  Either way, the function does the same thing and means the
  13 same thing.  Look in the standard treatments for discussions of alpha
  14 equivalence for more detail.]
  15
  16 This:
  17
  18         T ~~> z y
  19
  20 means that T beta-reduces to `z y`. This:
  21
  22         M <~~> T
  23
  24 means that M and T are beta-convertible, that is, that there's something they both reduce to in zero or more steps.
  25
  26 Combinators and Combinatorial Logic
  27 ===================================
  28
  29 Lambda expressions that have no free variables are known as **combinators**. Here are some common ones:
  30
  31 >       **I** is defined to be `\x x`
  32
  33 >       **K** is defined to be `\x y. x`, That is, it throws away its
  34            second argument. So `K x` is a constant function from any
  35            (further) argument to `x`. ("K" for "constant".) Compare K
  36            to our definition of **true**.
  37
  38 >       **get-first** was our function for extracting the first element of an ordered pair: `\fst snd. fst`. Compare this to **K** and **true** as well.
  39
  40 >       **get-second** was our function for extracting the second element of an ordered pair: `\fst snd. snd`. Compare this to our definition of **false**.
  41
  42 >       **&omega;** is defined to be: `\x. x x`
  43
  44 It's possible to build a logical system equally powerful as the lambda calculus (and readily intertranslatable with it) using just combinators, considered as atomic operations. Such a language doesn't have any variables in it: not just no free variables, but no variables at all.
  45
  46 One can do that with a very spare set of basic combinators. These days the standard base is just three combinators: K and I from above, and also one more, **S**, which behaves the same as the lambda expression  `\f g x. f x (g x)`. behaves. But it's possible to be even more minimalistic, and get by with only a single combinator. (And there are different single-combinator bases you can choose.)
  47
  48 There are some well-known linguistic applications of Combinatory
  49 Logic, due to Anna Szabolcsi, Mark Steedman, and Pauline Jacobson.
  50 Szabolcsi supposed that the meanings of certain expressions could be
  51 insightfully expressed in the form of combinators.  A couple more
  52 combinators:
  53
  54    **C** is defined to be: `\f x y. f y x`  [swap arguments]
  55
  56    **W** is defined to be: `\f x . f x x`  [duplicate argument]
  57
  58 For instance, Szabolcsi argues that reflexive pronouns are argument
  59 duplicators.
  60
  61 ![test](http://lambda.jimpryor.net/szabolcsi-reflexive.jpg)
  62
  63 Notice that the semantic value of *himself* is exactly W.
  64 The reflexive pronoun in direct object position combines first with the transitive verb (through compositional magic we won't go into here).  The result is an intransitive verb phrase that takes a subject argument, duplicates that argument, and feeds the two copies to the transitive verb meaning.
  65
  66 Note that W = S(CI):
  67
  68       S(CI) =
  69       S((\fxy.fyx)(\x.x)) =
  70       S(\xy.(\x.x)yx) =
  71       (\fgx.fx(gx))(\xy.yx) =
  72       \gx.[\xy.yx]x(gx) =
  73       \gx.(gx)x =
  74       W
  75
  76 Ok, here comes a shift in thinking.  Instead of defining combinators as equivalent to certain lambda terms,
  77 we can define combinators by what they do.  If we have the I combinator followed by any expression X,
  78 I will take that expression as its argument and return that same expression as the result.  In pictures,
  79
  80     IX ~~> X
  81
  82 Thinking of this as a reduction rule, we can perform the following computation
  83
  84     II(IX) ~~> IIX ~~> IX ~~> X
  85
  86 The reduction rule for K is also straigtforward:
  87
  88     KXY ~~> X
  89
  90 That is, K throws away its second argument.  The reduction rule for S can be constructed by examining
  91 the defining lambda term:
  92
  93     S = \fgx.fx(gx)
  94
  95 S takes three arguments, duplicates the third argument, and feeds one copy to the first argument and the second copy to the second argument.  So:
  96
  97     SFGX ~~> FX(GX)
  98
  99 If the meaning of a function is nothing more than how it behaves with respect to its arguments,
 100 these reduction rules capture the behavior of the combinators S,K, and I completely.
 101 We can use these rules to compute without resorting to beta reduction.  For instance, we can show how the I combinator is equivalent to a certain crafty combination of S's and K's:
 102
 103     SKKX ~~> KX(KX) ~~> X
 104
 105 So the combinator SKK is equivalent to the combinator I.
 106
 107
 108 These systems are Turing complete. In other words: every computation we know how to describe can be represented in a logical system consisting of only a single primitive operation!
 109
 110 Here's more to read about combinatorial logic.
 111 Surely the most entertaining exposition is Smullyan's [[!wikipedia To_Mock_a_Mockingbird]].
 112 Other sources include
 113
 114 *       [[!wikipedia Combinatory logic]] at Wikipedia
 115 *       [Combinatory logic](http://plato.stanford.edu/entries/logic-combinatory/) at the Stanford Encyclopedia of Philosophy
 116 *       [[!wikipedia SKI combinatory calculus]]
 117 *       [[!wikipedia B,C,K,W system]]
 118 *       [Chris Barker's Iota and Jot](http://semarch.linguistics.fas.nyu.edu/barker/Iota/)
 119 *       Jeroen Fokker, "The Systematic Construction of a One-combinator Basis for Lambda-Terms" <cite>Formal Aspects of Computing</cite> 4 (1992), pp. 776-780.
 120 <http://people.cs.uu.nl/jeroen/article/combinat/combinat.ps>
 121
 122
 123 Evaluation Strategies and Normalization
 124 =======================================
 125
 126 In the assignment we asked you to reduce various expressions until it wasn't possible to reduce them any further. For two of those expressions, this was impossible to do. One of them was this:
 127
 128         (\x. x x) (\x. x x)
 129
 130 As we saw above, each of the halves of this formula are the combinator <code>&omega;</code>; so this can also be written:
 131
 132 <pre><code>&omega; &omega;</code></pre>
 133
 134 This compound expression---the self-application of <code>&omega;</code>---is named &Omega;. It has the form of an application of an abstract (<code>&omega;</code>) to an argument (which also happens to be <code>&omega;</code>), so it's a redex and can be reduced. But when we reduce it, we get <code>&omega; &omega;</code> again. So there's no stage at which this expression has been reduced to a point where it can't be reduced any further. In other words, evaluation of this expression "never terminates." (This is the standard language, however it has the unfortunate connotation that evaluation is a process or operation that is performed in time. You shouldn't think of it like that. Evaluation of this expression "never terminates" in the way that the decimal expansion of &pi; never terminates. These are static, atemporal facts about their mathematical properties.)
 135
 136 There are infinitely many formulas in the lambda calculus that have this same property. &Omega; is the syntactically simplest of them. In our meta-theory, it's common to assign such formulas a special value, <big><code>&perp;</code></big>, pronounced "bottom." When we get to discussing types, you'll see that this value is counted as belonging to every type. To say that a formula has the bottom value means that the computation that formula represents never terminates and so doesn't evaluate to any orthodox, computed value.
 137
 138 From a "Fregean" or "weak Kleene" perspective, if any component of an expression fails to be evaluable (to an orthodox, computed value), then the whole expression should be unevaluable as well.
 139
 140 However, in some such cases it seems *we could* sensibly carry on evaluation. For instance, consider:
 141
 142 <pre><code>
 143 (\x. y) (&omega; &omega;)
 144 </code></pre>
 145
 146 Should we count this as unevaluable, because the reduction of <code>(&omega; &omega;)</code> never terminates? Or should we count it as evaluating to `y`?
 147
 148 This question highlights that there are different choices to make about how evaluation or computation proceeds. It's helpful to think of three questions in this neighborhood:
 149
 150 >       Q1. When arguments are complex, as <code>(&omega; &omega;)</code> is, do we reduce them before substituting them into the abstracts to which they are arguments, or later?
 151
 152 >       Q2. Are we allowed to reduce inside abstracts? That is, can we reduce:
 153
 154 >               (\x y. x z) (\x. x)
 155
 156 >       only this far:
 157
 158 >               \y. (\x. x) z
 159
 160 >       or can we continue reducing to:
 161
 162 >               \y. z
 163
 164 >       Q3. Are we allowed to "eta-reduce"? That is, can we reduce expressions of the form:
 165
 166 >               \x. M x
 167
 168 >       where x does not occur free in `M`, to `M`?
 169
 170 With regard to Q3, it should be intuitively clear that `\x. M x` and `M` will behave the same with respect to any arguments they are given. It can also be proven that no other functions can behave differently with respect to them. However, the logical system you get when eta-reduction is added to the proof theory is importantly different from the one where only beta-reduction is permitted.
 171
 172 MORE on extensionality
 173
 174 If we answer Q2 by permitting reduction inside abstracts, and we also permit eta-reduction, then where neither `y` nor `z` occur in M, this:
 175
 176         \x y z. M y z
 177
 178 will eta-reduce by two steps to:
 179
 180         \x. M
 181
 182 The evaluation strategy which answers Q1 by saying "reduce arguments first" is known as **call-by-value**. The evaluation strategy which answers Q1 by saying "substitute arguments in unreduced" is known as **call-by-name** or **call-by-need** (the difference between these has to do with efficiency, not semantics).
 183
 184 When one has a call-by-value strategy that also permits reduction to continue inside unapplied abstracts, that's known as "applicative order" reduction. When one has a call-by-name strategy that permits reduction inside abstracts, that's known as "normal order" reduction. Consider an expression of the form:
 185
 186         ((A B) (C D)) (E F)
 187
 188 Its syntax has the following tree:
 189
 190           ((A B) (C D)) (E F)
 191                    /     \
 192                   /       \
 193         ((A B) (C D))  \
 194                 /\        (E F)
 195            /  \        /\
 196           /    \      E  F
 197         (A B) (C D)
 198          /\    /\
 199         /  \  /  \
 200         A   B C   D
 201
 202 Applicative order evaluation does what's called a "post-order traversal" of the tree: that is, we always go down when we can, first to the left, and we process a node only after processing all its children. So `(C D)` gets processed before `((A B) (C D))` does, and `(E F)` gets processed before `((A B) (C D)) (E F)` does.
 203
 204 Normal order evaluation, on the other hand, will substitute the expresion `(C D)` into the abstract that `(A B)` evaluates to, without first trying to compute what `(C D)` evaluates to. That computation may be done later.
 205
 206 With normal-order evaluation (or call-by-name more generally), if we have an expression like:
 207
 208         (\x. y) (C D)
 209
 210 the computation of `(C D)` won't ever have to be performed. Instead, `(\x. y) (C D)` reduces directly to `y`. This is so even if `(C D)` is the non-evaluable <code>(&omega; &omega;)</code>!
 211
 212 Call-by-name evaluation is often called "lazy." Call-by-value evaluation is also often called "eager" or "strict". Some authors say these terms all have subtly different technical meanings, but I haven't been able to figure out what it is. Perhaps the technical meaning of "strict" is what I above called the "Fregean" or "weak Kleene" perspective: if any argument of a function is non-evaluable or non-normalizing, so too is the application of the function to that argument.
 213
 214
 215 Most programming languages, including Scheme and OCaml, use the call-by-value evaluation strategy. (But they don't permit evaluation to continue inside an unappplied function.) There are techniques for making them model call-by-name evaluation, when necessary. But by default, arguments will always be evaluated before being bound to the parameters (the `\x`s) of a function.
 216
 217 For languages like Scheme that permit functions to take more than one argument at a time, a further question arises: whether the multiple arguments are evaluated left-to-right, or right-to-left, or nothing is guaranteed about what order they are evaluated in. Different languages make different choices about this.
 218
 219 Some functional programming languages, such as Haskell, use the call-by-name evaluation strategy.
 220
 221 The lambda calculus can be evaluated either way. You have to decide what the rules shall be.
 222
 223 As we'll see in several weeks, there are techniques for *forcing* call-by-value evaluation of a computation, and also techniques for forcing call-by-name evaluation. If you liked, you could even have a nested hierarchy, where blocks at each level were forced to be evaluated in alternating ways.
 224
 225 Call-by-value and call-by-name have different pros and cons.
 226
 227 One important advantage of normal-order evaluation in particular is that it can compute orthodox values for:
 228
 229 <pre><code>
 230 (\x. y) (&omega; &omega;)<p>
 231 \z. (\x. y) (&omega; &omega;)
 232 </code></pre>
 233
 234 Indeed, it's provable that if there's *any* reduction path that delivers a value for a given expression, the normal-order evalutation strategy will terminate with that value.
 235
 236 An expression is said to be in **normal form** when it's not possible to perform any more reductions (not even inside abstracts).
 237 There's a sense in which you *can't get anything more out of* <code>&omega; &omega;</code>, but it's not in normal form because it still has the form of a redex.
 238
 239 A computational system is said to be **confluent**, or to have the **Church-Rosser** or **diamond** property, if, whenever there are multiple possible evaluation paths, those that terminate always terminate in the same value. In such a system, the choice of which sub-expressions to evaluate first will only matter if some of them but not others might lead down a non-terminating path.
 240
 241 The untyped lambda calculus is confluent. So long as a computation terminates, it always terminates in the same way. It doesn't matter which order the sub-expressions are evaluated in.
 242
 243 A computational system is said to be **strongly normalizing** if every permitted evaluation path is guaranteed to terminate. The untyped lambda calculus is not strongly normalizing: <code>&omega; &omega;</code> doesn't terminate by any evaluation path; and <code>(\x. y) (&omega; &omega;)</code> terminates only by some evaluation paths but not by others.
 244
 245 But the untyped lambda calculus enjoys some compensation for this weakness. It's Turing complete! It can represent any computation we know how to describe. (That's the cash value of being Turing complete, not the rigorous definition. There is a rigrous definition. However, we don't know how to rigorously define "any computation we know how to describe.") And in fact, it's been proven that you can't have both. If a computational system is Turing complete, it cannot be strongly normalizing.
 246
 247 A computational system is said to be **weakly normalizing** if there's always guaranteed to be *at least one* evaluation path that terminates. The untyped lambda calculus is not weakly normalizing either, as we've seen.
 248
 249 The *typed* lambda calculus that linguists traditionally work with, on the other hand, is strongly normalizing. (And as a result, is not Turing complete.) It has expressive power (concerning types) that the untyped lambda calculus lacks, but it is also unable to represent some (terminating!) computations that the untyped lambda calculus can represent.
 250
 251 Other more-powerful type systems we'll look at in the course will also fail to be Turing complete, though they will turn out to be pretty powerful.
 252
 253 Further reading:
 254
 255 *       [[!wikipedia Evaluation strategy]]
 256 *       [[!wikipedia Eager evaluation]]
 257 *       [[!wikipedia Lazy evaluation]]
 258 *       [[!wikipedia Strict programming language]]<p>
 259 *       [[!wikipedia Church-Rosser theorem]]
 260 *       [[!wikipedia Normalization property]]
 261 *       [[!wikipedia Turing completeness]]
 262
 263
 264 Decidability
 265 ============
 266
 267 The question whether two formulas are syntactically equal is "decidable": we can construct a computation that's guaranteed to always give us the answer.
 268
 269 What about the question whether two formulas are convertible? Well, to answer that, we just need to reduce them to normal form, if possible, and check whether the results are syntactically equal. The crux is that "if possible." Some computations can't be reduced to normal form. Their evaluation paths never terminate. And if we just kept trying blindly to reduce them, our computation of what they're convertible to would also never terminate.
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 271 So it'd be handy to have some way to check in advance whether a formula has a normal form: whether there's any evaluation path for it that terminates.
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 273 Is it possible to do that? Sure, sometimes. For instance, check whether the formula is syntactically equal to &Omega;. If it is, it never terminates.
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 275 But is there any method for doing this in general---for telling, of any given computation, whether that computation would terminate? Unfortunately, there is not. Church proved this in 1936; Turing also essentially proved it at the same time. Geoff Pullum gives a very reader-friendly outline of the proofs here:
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 277 *       [Scooping the Loop Snooper](http://www.cl.cam.ac.uk/teaching/0910/CompTheory/scooping.pdf), a proof of the undecidability of the halting problem in the style of Dr Seuss by Geoffrey K. Pullum
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 281 ##[[Lists and Numbers]]##
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