damn formatting
[lambda.git] / week1.mdwn
1 Here's what we did in seminar on Monday 9/13,
2
3 Sometimes these notes will expand on things mentioned only briefly in class, or discuss useful tangents that didn't even make it into class. These notes expand on *a lot*, and some of this material will be reviewed next week.
4
5 Applications
6 ============
7
8 We mentioned a number of linguistic and philosophical applications of the tools that we'd be helping you learn in the seminar. (We really do mean "helping you learn," not "teaching you." You'll need to aggressively browse and experiment with the material yourself, or nothing we do in a few two-hour sessions will succeed in inducing mastery of it.)
9
10 From linguistics
11 ----------------
12
13 *       generalized quantifiers are a special case of operating on continuations
14
15 *       (Chris: fill in other applications...)
16
17 *       expressives -- at the end of the seminar we gave a demonstration of modeling [[damn]] using continuations...see the [summary](/damn) for more explanation and elaboration
18
19 From philosophy
20 ---------------
21
22 *       the natural semantics for positive free logic is thought by some to have objectionable ontological commitments; Jim says that thought turns on not understanding the notion of a "union type", and conflating the folk notion of "naming" with the technical notion of semantic value. We'll discuss this in due course.
23
24 *       those issues may bear on Russell's Gray's Elegy argument in "On Denoting"
25
26 *       and on discussion of the difference between the meaning of "is beautiful" and "beauty," and the difference between the meaning of "that snow is white" and "the proposition that snow is white."
27
28 *       the apparatus of monads, and techniques for statically representing the semantics of an imperatival language quite generally, are explicitly or implicitly invoked in dynamic semantics
29
30 *       the semantics for mutation will enable us to make sense of a difference between numerical and qualitative identity---for purely mathematical objects!
31
32 *       issues in that same neighborhood will help us better understand proposals like Kit Fine's that semantics is essentially coordinated, and that `R a a` and `R a b` can differ in interpretation even when `a` and `b` don't
33
34
35
36
37 Basics of Lambda Calculus
38 =========================
39
40 The lambda calculus we'll be focusing on for the first part of the course has no types. (Some prefer to say it instead has a single type---but if you say that, you have to say that functions from this type to this type also belong to this type. Which is weird.)
41
42 Here is its syntax:
43
44 <blockquote>
45 <strong>Variables</strong>: <code>x</code>, <code>y</code>, <code>z</code>...
46 </blockquote>
47
48 Each variable is an expression. For any expressions M and N and variable a, the following are also expressions:
49
50 <blockquote>
51 <strong>Abstract</strong>: <code>(&lambda;a M)</code>
52 </blockquote>
53
54 We'll tend to write <code>(&lambda;a M)</code> as just `(\a M)`, so we don't have to write out the markup code for the <code>&lambda;</code>. You can yourself write <code>(&lambda;a M)</code> or `(\a M)` or `(lambda a M)`.
55
56 <blockquote>
57 <strong>Application</strong>: <code>(M N)</code>
58 </blockquote>
59
60 Some authors reserve the term "term" for just variables and abstracts. We'll probably just say "term" and "expression" indiscriminately for expressions of any of these three forms.
61
62 Examples of expressions:
63
64         x
65         (y x)
66         (x x)
67         (\x y)
68         (\x x)
69         (\x (\y x))
70         (x (\x x))
71         ((\x (x x)) (\x (x x)))
72
73 The lambda calculus has an associated proof theory. For now, we can regard the
74 proof theory as having just one rule, called the rule of **beta-reduction** or
75 "beta-contraction". Suppose you have some expression of the form:
76
77         ((\a M) N)
78
79 that is, an application of an abstract to some other expression. This compound form is called a **redex**, meaning it's a "beta-reducible expression." `(\a M)` is called the **head** of the redex; `N` is called the **argument**, and `M` is called the **body**.
80
81 The rule of beta-reduction permits a transition from that expression to the following:
82
83         M [a:=N]
84
85 What this means is just `M`, with any *free occurrences* inside `M` of the variable `a` replaced with the term `N`.
86
87 What is a free occurrence?
88
89 >       An occurrence of a variable `a` is **bound** in T if T has the form `(\a N)`.
90
91 >       If T has the form `(M N)`, any occurrences of `a` that are bound in `M` are also bound in T, and so too any occurrences of `a` that are bound in `N`.
92
93 >       An occurrence of a variable is **free** if it's not bound.
94
95 For instance:
96
97
98 >       T is defined to be `(x (\x (\y (x (y z)))))`
99
100 The first occurrence of `x` in T is free.  The `\x` we won't regard as being an occurrence of `x`. The next occurrence of `x` occurs within a form that begins with `\x`, so it is bound as well. The occurrence of `y` is bound; and the occurrence of `z` is free.
101
102 Here's an example of beta-reduction:
103
104         ((\x (y x)) z)
105
106 beta-reduces to:
107
108         (y z)
109
110 We'll write that like this:
111
112         ((\x (y x)) z) ~~> (y z)
113
114 Different authors use different notations. Some authors use the term "contraction" for a single reduction step, and reserve the term "reduction" for the reflexive transitive closure of that, that is, for zero or more reduction steps. Informally, it seems easiest to us to say "reduction" for one or more reduction steps. So when we write:
115
116         M ~~> N
117
118 We'll mean that you can get from M to N by one or more reduction steps. Hankin uses the symbol <code><big><big>&rarr;</big></big></code> for one-step contraction, and the symbol <code><big><big>&#8608;</big></big></code> for zero-or-more step reduction. Hindley and Seldin use <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big><sub>1</sub></code> and <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big></code>.
119
120 When M and N are such that there's some P that M reduces to by zero or more steps, and that N also reduces to by zero or more steps, then we say that M and N are **beta-convertible**. We'll write that like this:
121
122         M <~~> N
123
124 This is what plays the role of equality in the lambda calculus. Hankin uses the symbol `=` for this. So too do Hindley and Seldin. Personally, I keep confusing that with the relation to be described next, so let's use this notation instead. Note that `M <~~> N` doesn't mean that each of `M` and `N` are reducible to each other; that only holds when `M` and `N` are the same expression. (Or, with our convention of only saying "reducible" for one or more reduction steps, it never holds.)
125
126 In the metatheory, it's also sometimes useful to talk about formulas that are syntactically equivalent *before any reductions take place*. Hankin uses the symbol <code>&equiv;</code> for this. So too do Hindley and Seldin. We'll use that too, and will avoid using `=` when discussing metatheory for the lambda calculus. Instead we'll use `<~~>` as we said above. When we want to introduce a stipulative definition, we'll write it out longhand, as in:
127
128 >       T is defined to be `(M N)`.
129
130 We'll regard the following two expressions:
131
132         (\x (x y))
133
134         (\z (z y))
135
136 as syntactically equivalent, since they only involve a typographic change of a bound variable. Read Hankin section 2.3 for discussion of different attitudes one can take about this.
137
138 Note that neither of those expressions are identical to:
139
140         (\x (x w))
141
142 because here it's a free variable that's been changed. Nor are they identical to:
143
144         (\y (y y))
145
146 because here the second occurrence of `y` is no longer free.
147
148 There is plenty of discussion of this, and the fine points of how substitution works, in Hankin and in various of the tutorials we've linked to about the lambda calculus. We expect you have a good intuitive understanding of what to do already, though, even if you're not able to articulate it rigorously.
149
150
151 Shorthand
152 ---------
153
154 The grammar we gave for the lambda calculus leads to some verbosity. There are several informal conventions in widespread use, which enable the language to be written more compactly. (If you like, you could instead articulate a formal grammar which incorporates these additional conventions. Instead of showing it to you, we'll leave it as an exercise for those so inclined.)
155
156
157 **Parentheses** Outermost parentheses around applications can be dropped. Moreover, applications will associate to the left, so `M N P` will be understood as `((M N) P)`. Finally, you can drop parentheses around abstracts, but not when they're part of an application. So you can abbreviate:
158
159         (\x (x y))
160
161 as:
162
163         \x (x y)
164
165 but you should include the parentheses in:
166
167         (\x (x y)) z
168
169 and:
170
171         z (\x (x y))
172
173
174 **Dot notation** Dot means "put a left paren here, and put the right
175 paren as far the right as possible without creating unbalanced
176 parentheses". So:
177
178         \x (\y (x y))
179
180 can be abbreviated as:
181
182         \x (\y. x y)
183
184 and that as:
185
186         \x. \y. x y
187
188 This:
189
190         \x. \y. (x y) x
191
192 abbreviates:
193
194         \x (\y ((x y) x))
195
196 This on the other hand:
197
198         (\x. \y. (x y)) x
199
200 abbreviates:
201
202         ((\x (\y (x y))) x)
203
204
205 **Merging lambdas** An expression of the form `(\x (\y M))`, or equivalently, `(\x. \y. M)`, can be abbreviated as:
206
207         (\x y. M)
208
209 Similarly, `(\x (\y (\z M)))` can be abbreviated as:
210
211         (\x y z. M)
212
213
214 Lambda terms represent functions
215 --------------------------------
216
217 All (recursively computable) functions can be represented by lambda
218 terms (the untyped lambda calculus is Turing complete). For some lambda terms, it is easy to see what function they represent:
219
220 >       `(\x x)` represents the identity function: given any argument `M`, this function
221 simply returns `M`: `((\x x) M) ~~> M`.
222
223 >       `(\x (x x))` duplicates its argument:
224 `((\x (x x)) M) ~~> (M M)`
225
226 >       `(\x (\y x))` throws away its second argument:
227 `(((\x (\y x)) M) N) ~~> M`
228
229 and so on.
230
231 It is easy to see that distinct lambda expressions can represent the same
232 function, considered as a mapping from input to outputs. Obviously:
233
234         (\x x)
235
236 and:
237
238         (\z z)
239
240 both represent the same function, the identity function. However, we said above that we would be regarding these expressions as synactically equivalent, so they aren't yet really examples of *distinct* lambda expressions representing a single function. However, all three of these are distinct lambda expressions:
241
242         (\y x. y x) (\z z)
243
244         (\x. (\z z) x)
245
246         (\z z)
247
248 yet when applied to any argument M, all of these will always return M. So they have the same extension. It's also true, though you may not yet be in a position to see, that no other function can differentiate between them when they're supplied as an argument to it. However, these expressions are all syntactically distinct.
249
250 The first two expressions are *convertible*: in particular the first reduces to the second. So they can be regarded as proof-theoretically equivalent even though they're not syntactically identical. However, the proof theory we've given so far doesn't permit you to reduce the second expression to the third. So these lambda expressions are non-equivalent.
251
252 There's an extension of the proof-theory we've presented so far which does permit this further move. And in that extended proof theory, all computable functions with the same extension do turn out to be equivalent (convertible). However, at that point, we still won't be working with the traditional mathematical notion of a function as a set of ordered pairs. One reason is that the latter but not the former permits uncomputable functions. A second reason is that the latter but not the former prohibits functions from applying to themselves. We discussed this some at the end of Monday's meeting (and further discussion is best pursued in person).
253
254
255
256 Booleans and pairs
257 ==================
258
259 Our definition of these is reviewed in [[Assignment1]].
260
261
262 It's possible to do the assignment without using a Scheme interpreter, however
263 you should take this opportunity to [get Scheme installed on your
264 computer](/how_to_get_the_programming_languages_running_on_your_computer), and
265 [get started learning Scheme](/learning_scheme). It will help you test out
266 proposed answers to the assignment.
267
268
269
270
271
272
273 Declarative/functional vs Imperatival/dynamic models of computation
274 ===================================================================
275
276 Many of you, like us, will have grown up thinking the paradigm of computation is a sequence of changes. Let go of that. It will take some care to separate the operative notion of "sequencing" here from other notions close to it, but once that's done, you'll see that languages that have no significant notions of sequencing or changes are Turing complete: they can perform any computation we know how to describe. In itself, that only puts them on equal footing with more mainstream, imperatival programming languages like C and Java and Python, which are also Turing complete. But further, the languages we want you to become familiar with can reasonably be understood to be more fundamental. They embody the elemental building blocks that computer scientists use when reasoning about and designing other languages.
277
278 Jim offered the metaphor: think of imperatival languages, which include "mutation" and "side-effects" (we'll flesh out these keywords as we proceeed), as the p&acirc;t&eacute; of computation. We want to teach you about the meat and potatoes, where as it turns out there is no sequencing and no changes. There's just the evaluation or simplification of complex expressions.
279
280 Now, when you ask the Scheme interpreter to simplify an expression for you, that's a kind of dynamic interaction between you and the interpreter. You may wonder then why these languages should not also be understood imperatively. The difference is that in a purely declarative or functional language, there are no dynamic effects in the language itself. It's just a static semantic fact about the language that one expression reduces to another. You may have verified that fact through your dynamic interactions with the Scheme interpreter, but that's different from saying that there are dynamic effects in the language itself.
281
282 What the latter would amount to will become clearer as we build our way up to languages which are genuinely imperatival or dynamic.
283
284 Many of the slogans and keywords we'll encounter in discussions of these issues call for careful interpretation. They mean various different things.
285
286 For example, you'll encounter the claim that declarative languages are distinguished by their **referential transparency.** What's meant by this is not always exactly the same, and as a cluster, it's related to but not the same as this means for philosophers and linguists.
287
288 The notion of **function** that we'll be working with will be one that, by default, sometimes counts as non-identical functions that map all their inputs to the very same outputs. For example, two functions from jumbled decks of cards to sorted decks of cards may use different algorithms and hence be different functions.
289
290 It's possible to enhance the lambda calculus so that functions do get identified when they map all the same inputs to the same outputs. This is called making the calculus **extensional**. Church called languages which didn't do this **intensional**. If you try to understand that kind of "intensionality" in terms of functions from worlds to extensions (an idea also associated with Church), you may hurt yourself. So too if you try to understand it in terms of mental stereotypes, another notion sometimes designated by "intension."
291
292 It's often said that dynamic systems are distinguished because they are the ones in which **order matters**. However, there are many ways in which order can matter. If we have a trivalent boolean system, for example---easily had in a purely functional calculus---we might choose to give a truth-table like this for "and":
293
294         true and true   = true
295         true and *      = *
296         true and false  = false
297         * and true      = *
298         * and *         = *
299         * and false     = *
300         false and true  = false
301         false and *     = false
302         false and false = false
303
304 And then we'd notice that `* and false` has a different intepretation than `false and *`. (The same phenomenon is already present with the material conditional in bivalent logics; but seeing that a non-symmetric semantics for `and` is available even for functional languages is instructive.)
305
306 Another way in which order can matter that's present even in functional languages is that the interpretation of some complex expressions can depend on the order in which sub-expressions are evaluated. Evaluated in one order, the computations might never terminate (and so semantically we interpret them as having "the bottom value"---we'll discuss this). Evaluated in another order, they might have a perfectly mundane value. Here's an example, though we'll reserve discussion of it until later:
307
308         (\x. y) ((\x. x x) (\x. x x))
309
310 Again, these facts are all part of the metatheory of purely functional languages. But *there is* a different sense of "order matters" such that it's only in imperatival languages that order so matters.
311
312         x := 2
313         x := x + 1
314         x == 3
315
316 Here the comparison in the last line will evaluate to true.
317
318         x := x + 1
319         x := 2
320         x == 3
321
322 Here the comparison in the last line will evaluate to false.
323
324 One of our goals for this course is to get you to understand *what is* that new
325 sense such that only so matters in imperatival languages.
326
327 Finally, you'll see the term **dynamic** used in a variety of ways in the literature for this course:
328
329 *       dynamic versus static typing
330
331 *       dynamic versus lexical scoping
332
333 *       dynamic versus static control operators
334
335 *       finally, we're used ourselves to talking about dynamic versus static semantics
336
337 For the most part, these uses are only loosely connected to each other. We'll tend to use "imperatival" to describe the kinds of semantic properties made available in dynamic semantics, languages which have robust notions of sequencing changes, and so on.
338
339 Map
340 ===
341
342 <table>
343 <tr>
344 <td width=30%>Scheme (functional part)</td>
345 <td width=30%>OCaml (functional part)</td>
346 <td width=30%>C, Java, Pasval<br>
347 Scheme (imperative part)<br>
348 OCaml (imperative part)</td>
349 <tr>
350 <td width=30%>lambda calculus<br>
351 combinatorial logic</td>
352 <tr>
353 <td colspan=3 align=center>--------------------------------------------------- Turing complete ---------------------------------------------------</td>
354 <tr>
355 <td width=30%>&nbsp;
356 <td width=30%>more advanced type systems, such as polymorphic types
357 <td width=30%>&nbsp;
358 <tr>
359 <td width=30%>&nbsp;
360 <td width=30%>simply-typed lambda calculus (what linguists mostly use)
361 <td width=30%>&nbsp;
362 </table>
363
364
365 Rosetta Stone
366 =============
367
368 Here's how it looks to say the same thing in various of these languages.
369
370 1.      Binding suitable values to the variables `three` and `two`, and adding them.
371
372         In Scheme:
373
374                 (let* ((three 3))
375                           (let ((two 2))
376                                    (+ three two)))
377
378         In OCaml:
379
380                 let three = 3 in
381                         let two = 2 in
382                                 three + two
383
384         Notice OCaml lets you write the `+` in between the `three` and `two`, as you're accustomed to. However most functions need to come leftmost, even if they're binary. And you can do this with `+` too, if you enclose it in parentheses so that the OCaml parser doesn't get confused by your syntax:
385
386                 let three = 3 in
387                         let two = 2 in
388                                 ( + ) three two
389
390         In the lambda calculus: here we're on our own, we don't have predefined constants like `+` and `3` and `2` to work with. We've got to build up everything from scratch. We'll be seeing how to do that over the next weeks.
391
392         But supposing you had constructed appropriate values for `+` and `3` and `2`, you'd place them in the ellided positions in:
393
394                 (((\three (\two ((... three) two))) ...) ...)
395         
396         In an ordinary imperatival language like C:
397
398                 int three = 3;
399                 int two = 2;
400                 three + two;
401
402 2.      Mutation
403
404         In C this looks almost the same as what we had before:
405
406                 int x = 3;
407                 x = 2;
408
409         Here we first initialize `x` to hold the value 3; then we mutate `x` to hold a new value.
410
411         In (the imperatival part of) Scheme, this could be done as:
412
413                 (let ((x (box 3)))
414                          (set-box! x 2))
415
416         In general, mutating operations in Scheme are named with a trailing `!`. There are other imperatival constructions, though, like `(print ...)`, that don't follow that convention.
417
418         In (the imperatival part of) OCaml, this could be done as:
419
420                 let x = ref 3 in
421                         x := 2
422
423         Of course you don't need to remember any of this syntax. We're just illustrating it so that you see that in Scheme and OCaml it looks somewhat different than we had above. The difference is much more obvious than it is in C.
424
425         In the lambda calculus: sorry, you can't do mutation. At least, not natively. Later in the term we'll be learning how in fact, really, you can embed mutation inside the lambda calculus even though the lambda calculus has no primitive facilities for mutation.
426
427
428
429
430
431 3.      Anonymous functions
432
433         Functions are "first-class values" in the lambda calculus, in Scheme, and in OCaml. What that means is that they can be arguments to other functions. They can be the results of the application of other functions to some arguments. They can be stored in data structures. And so on.
434
435         First, we'll show what "anonymous" functions look like. These are functions that have not been bound as values to any variables. That is, there are no variables whose value they are.
436
437         In the lambda calculus:
438
439                 (\x M)
440
441         is always anonymous! Here `M` stands for any expression of the language, simple or complex. It's only when you do
442
443                 ((\y N) (\x M))
444
445         that `(\x M)` has a "name" (it's named `y` during the evaluation of `N`).
446
447         In Scheme, the same thing is written:
448
449                 (lambda (x) M)
450
451         Not very different, right? For example, if `M` stands for `(+ 3 x)`, then this is an anonymous function that adds 3 to whatever argument it's given:
452
453                 (lambda (x) (+ 3 x))
454
455         Scheme uses a lot of parentheses, and they are always significant, never optional. In `(+ 3 x)` the parentheses mean "apply the function `+` to the arguments `3` and `x`. In `(lambda (x) ...)` the parentheses have a different meaning: they mark where the anonymous function you're defining begins and ends, and so on. As you'll see, parentheses have yet further roles in Scheme. I know it's confusing.
456
457         In OCaml, we write our anonymous function like this:
458
459                 fun x -> (3 + x)
460
461         or:
462
463                 fun x -> (( + ) 3 x)
464
465         In OCaml, parentheses only serve a grouping function and they often can be omitted. Or more could be added. For instance, we could equally well say:
466
467                 fun x -> ( + ) 3 x
468
469         or:
470
471                 (fun x -> (( + ) (3) (x)))
472
473         As we saw above, parentheses can often be omitted in the lambda calculus too. But not in Scheme. Every parentheses has a specific role.
474
475 4.      Supplying an argument to an anonymous function
476
477         Just because the functions we built aren't named doesn't mean we can't do anything with them. We can give them arguments. For example, in Scheme we can say:
478
479                 ((lambda (x) (+ 3 x)) 2)
480
481         The outermost parentheses here mean "apply the function `(lambda (x) (+ 3 x))` to the argument `2`.
482
483         In OCaml:
484
485                 (fun x -> ( + ) 3 x) 2
486
487
488 5.      Binding variables to values with "let"
489
490         Let's go back and re-consider this Scheme expression:
491
492                 (let* ((three 3))
493                           (let ((two 2))
494                                    (+ three two)))
495
496         Scheme also has a simple `let` (without the ` *`), and it permits you to group several variable bindings together in a single `let`- or `let*`-statement, like this:
497
498                 (let* ((three 3) (two 2))
499                           (+ three two))
500
501         Often you'll get the same results whether you use `let*` or `let`. However, there are cases where it makes a difference, and in those cases, `let*` behaves more like you'd expect. So you should just get into the habit of consistently using that. It's also good discipline for this seminar, especially while you're learning, to write things out the longer way, like this:
502
503                 (let* ((three 3))
504                           (let ((two 2))
505                                    (+ three two)))
506
507         However, here you've got the double parentheses in `(let* ((three 3)) ...)`. They're doubled because the syntax permits more assignments than just the assignment of the value `3` to the variable `three`. Myself I tend to use `[` and `]` for the outer of these parentheses: `(let* [(three 3)] ...)`. Scheme can be configured to parse `[...]` as if they're just more `(...)`.
508
509         Someone asked in seminar if the `3` could be replaced by a more complex expression. The answer is "yes". You could also write:
510
511                 (let* [(three (+ 1 2))]
512                           (let [(two 2)]
513                                    (+ three two)))
514         
515         The question also came up whether the `(+ 1 2)` computation would be performed before or after it was bound to the variable `three`. That's a terrific question. Let's say this: both strategies could be reasonable designs for a language. We are going to discuss this carefully in coming weeks. In fact Scheme and OCaml make the same design choice. But you should think of the underlying form of the `let`-statement as not settling this by itself.
516
517         Repeating our starting point for reference:
518
519                 (let* [(three 3)]
520                           (let [(two 2)]
521                                    (+ three two)))
522
523         Recall in OCaml this same computation was written:
524
525                 let three = 3 in
526                         let two = 2 in
527                                 ( + ) three two
528
529 6.      Binding with "let" is the same as supplying an argument to a lambda
530
531         The preceding expression in Scheme is exactly equivalent to:
532
533                 (((lambda (three) (lambda (two) (+ three two))) 3) 2)
534
535         The preceding expression in OCaml is exactly equivalent to:
536
537                 (fun three -> (fun two -> ( + ) three two)) 3 2
538
539         Read this several times until you understand it.
540
541 7.      Functions can also be bound to variables (and hence, cease being "anonymous").
542
543         In Scheme:
544
545                 (let* [(bar (lambda (x) B))] M)
546
547         then wherever `bar` occurs in `M` (and isn't rebound by a more local `let` or `lambda`), it will be interpreted as the function `(lambda (x) B)`.
548
549         Similarly, in OCaml:
550
551                 let bar = fun x -> B in
552                         M
553
554         This in Scheme:
555
556                 (let* [(bar (lambda (x) B))] (bar A))
557
558         as we've said, means the same as:
559
560                 ((lambda (bar) (bar A)) (lambda (x) B))
561
562         which, as we'll see, is equivalent to:
563
564                 ((lambda (x) B) A)
565
566         and that means the same as:
567
568                 (let* [(x A)] B)
569
570         in other words: evaluate `B` with `x` assigned to the value `A`.
571
572         Similarly, this in OCaml:
573
574                 let bar = fun x -> B in
575                         bar A
576
577         is equivalent to:
578
579                 (fun x -> B) A
580
581         and that means the same as:
582
583                 let x = A in
584                         B
585
586 8.      Pushing a "let"-binding from now until the end
587
588         What if you want to do something like this, in Scheme?
589
590                 (let* [(x A)] ... for the rest of the file or interactive session ...)
591
592         or this, in OCaml:
593
594                 let x = A in
595                         ... for the rest of the file or interactive session ...
596
597         Scheme and OCaml have syntactic shorthands for doing this. In Scheme it's written like this:
598
599                 (define x A)
600                 ... rest of the file or interactive session ...
601
602         In OCaml it's written like this:
603
604                 let x = A;;
605                 ... rest of the file or interactive session ...
606
607         It's easy to be lulled into thinking this is a kind of imperative construction. *But it's not!* It's really just a shorthand for the compound `let`-expressions we've already been looking at, taking the maximum syntactically permissible scope. (Compare the "dot" convention in the lambda calculus, discussed above.)
608
609 9.      Some shorthand
610
611         OCaml permits you to abbreviate:
612
613                 let bar = fun x -> B in
614                         M
615
616         as:
617
618                 let bar x = B in
619                         M
620
621         It also permits you to abbreviate:
622
623                 let bar = fun x -> B;;
624
625         as:
626
627                 let bar x = B;;
628
629         Similarly, Scheme permits you to abbreviate:
630
631                 (define bar (lambda (x) B))
632
633         as:
634
635                 (define (bar x) B)
636
637         and this is the form you'll most often see Scheme definitions written in.
638
639         However, conceptually you should think backwards through the abbreviations and equivalences we've just presented.
640
641                 (define (bar x) B)
642
643         just means:
644
645                 (define bar (lambda (x) B))
646
647         which just means:
648
649                 (let* [(bar (lambda (x) B))] ... rest of the file or interactive session ...)
650
651         which just means:
652
653                 (lambda (bar) ... rest of the file or interactive session ...) (lambda (x) B)
654
655         or in other words, interpret the rest of the file or interactive session with `bar` assigned the function `(lambda (x) B)`.
656
657
658 10.     Shadowing
659
660         You can override a binding with a more inner binding to the same variable. For instance the following expression in OCaml:
661
662                 let x = 3 in
663                         let x = 2 in
664                                 x
665
666         will evaluate to 2, not to 3. It's easy to be lulled into thinking this is the same as what happens when we say in C:
667
668                 int x = 3;
669                 x = 2;
670         
671         <em>but it's not the same!</em> In the latter case we have mutation, in the former case we don't. You will learn to recognize the difference as we proceed.
672
673         The OCaml expression just means:
674
675                 (fun x -> ((fun x -> x) 2) 3)
676
677         and there's no more mutation going on there than there is in:
678
679         <pre><code>&forall;x. (F x or &forall;x (not (F x)))
680         </code></pre>
681
682         When a previously-bound variable is rebound in the way we see here, that's called **shadowing**: the outer binding is shadowed during the scope of the inner binding.
683
684
685 Some more comparisons between Scheme and OCaml
686 ----------------------------------------------
687
688 11.     Simple predefined values
689
690         Numbers in Scheme: `2`, `3`  
691         In OCaml: `2`, `3`
692
693         Booleans in Scheme: `#t`, `#f`  
694         In OCaml: `true`, `false`
695
696         The eighth letter in the Latin alphabet, in Scheme: `#\h`  
697         In OCaml: `'h'`
698
699 12.     Compound values
700
701         These are values which are built up out of (zero or more) simple values.
702
703         Ordered pairs in Scheme: `'(2 . 3)`  
704         In OCaml: `(2, 3)`
705
706         Lists in Scheme: `'(2 3)`  
707         In OCaml: `[2; 3]`  
708         We'll be explaining the difference between pairs and lists next week.
709
710         The empty list, in Scheme: `'()`  
711         In OCaml: `[]`
712
713         The string consisting just of the eighth letter of the Latin alphabet, in Scheme: `"h"`  
714         In OCaml: `"h"`
715
716         A longer string, in Scheme: `"horse"`  
717         In OCaml: `"horse"`
718
719         A shorter string, in Scheme: `""`  
720         In OCaml: `""`
721
722 13.     Function application
723
724         Binary functions in OCaml: `foo 2 3`
725         
726         Or: `( + ) 2 3`
727
728         These are the same as: `((foo 2) 3)`. In other words, functions in OCaml are "curried". `foo 2` returns a `2`-fooer, which waits for an argument like `3` and then foos `2` to it. `( + ) 2` returns a `2`-adder, which waits for an argument like `3` and then adds `2` to it.
729
730         In Scheme, on the other hand, there's a difference between `((foo 2) 3)` and `(foo 2 3)`. Scheme distinguishes between unary functions that return unary functions and binary functions. For our seminar purposes, it will be easiest if you confine yourself to unary functions in Scheme as much as possible.
731
732         Additionally, as said above, Scheme is very sensitive to parentheses and whenever you want a function applied to any number of arguments, you need to wrap the function and its arguments in a parentheses.
733
734
735 What "sequencing" is and isn't
736 ------------------------------
737
738 We mentioned before the idea that computation is a sequencing of some changes. I said we'd be discussing (fragments of, and in some cases, entire) languages that have no native notion of change.
739
740 Neither do they have any useful notion of sequencing. But what this would be takes some care to identify.
741
742 First off, the mere concatenation of expressions isn't what we mean by sequencing. Concatenation of expressions is how you build syntactically complex expressions out of simpler ones. The complex expressions often express a computation where a function is applied to one (or more) arguments,
743
744 Second, the kind of rebinding we called "shadowing" doesn't involve any changes or sequencing. All the precedence facts about that kind of rebinding are just consequences of the compound syntactic structures in which it occurs.
745
746 Third, the kinds of bindings we see in:
747
748         (define foo A)
749         (foo 2)
750
751 Or even:
752
753         (define foo A)
754         (define foo B)
755         (foo 2)
756
757 don't involve any changes or sequencing in the sense we're trying to identify. As we said, these programs are just syntactic variants of (single) compound syntactic structures involving `let`s and `lambda`s.
758
759 Since Scheme and OCaml also do permit imperatival constructions, they do have syntax for genuine sequencing. In Scheme it looks like this:
760
761         (begin A B C)
762
763 In OCaml it looks like this:
764
765         begin A; B; C end
766
767 Or this:
768
769         (A; B; C)
770
771 In the presence of imperatival elements, sequencing order is very relevant. For example, these will behave differently:
772
773         (begin (print "under") (print "water"))
774         
775         (begin (print "water") (print "under"))
776
777 And so too these:
778
779         begin x := 3; x := 2; x end
780
781         begin x := 2; x := 3; x end
782
783 However, if A and B are purely functional, non-imperatival expressions, then:
784
785         begin A; B; C end
786
787 just evaluates to C (so long as A and B evaluate to something at all). So:
788
789         begin A; B; C end
790
791 contributes no more to a larger context in which it's embedded than C does. This is the sense in which functional languages have no serious notion of sequencing.
792
793 We'll discuss this more as the seminar proceeds.
794
795
796
797