1 #What is computation?#
3 The folk notion of computation involves taking a complicated
4 expression and replacing it with an equivalent simpler expression.
6     4 + 3 == 7
8 This equation can be interpreted as expressing the thought that the
9 complex expression `4 + 3` evaluates to `7`.  In this case, the
10 evaluation of the expression involves computing a sum.  There is a
11 clear sense in which the expression `7` is simpler than the expression
12 `4 + 3`: `7` is syntactically simple, and `4 + 3` is syntactically
13 complex.
15 It's worth pausing a moment and wondering why we feel that replacing a
16 complex expression like `4 + 3` with a simpler expression like `7`
17 feels like we've accomplished something.  If they really are
18 equivalent, why shouldn't we consider them to be equally valuable, or
19 even to prefer the longer expression?  For instance, should we prefer
20 `2^9`, or `512`?  Likewise, in the realm of logic, why should we ever
21 prefer `B` to the conjunction of `A` with <code>A &sup; B</code>?
23 The question to ask here is whether our intuitions about what counts
24 as more evaluated always tracks simplicity of expression, or whether
25 it tracks what is more useful to us in a given larger situation.
27 But even deciding which expression ought to count as simpler is not
28 always so clear.
30 ##Church arithmetic##
32 In our system of computing with Church encodings, we have the
33 following representations:
35     3 ≡  \f z. f (f (f z))
36     4 ≡  \f z. f (f (f (f z)))
37     7 ≡  \f z. f (f (f (f (f (f (f z))))))
39 <!--
40 By the way, those of you who solved the `reverse` function in homework 2 using the "holes" idea: do you see the resemblance?
41 -->
43 The addition of `4` and `3`, then, clearly needs to just insert `3`'s string
44 of `f`s in front of `4`'s string of `f`s.  That guides our
47     add ≡ \l r. \f z. r f (l f z)
49     add 4 3 ≡ (\l r. \f z. r f (l f z)) 4 3
50           ~~> \f z. 3 f (4 f z)
51             ≡ \f z. (\f z. f (f (f z))) f (4 f z)
52           ~~> \f z. f (f (f (4 f z)))
53             ≡ \f z. f (f (f ((\f z. f (f (f (f z))) f z))))
54           ~~> \f z. f (f (f (f (f (f (f z))))))
55             ≡ 7
57 as desired.  Is there still a sense in which the encoded version of `add 4 3`
58 is simpler than the encoded version of `7`?  Well, yes: once the
59 numerals `4` and `3` have been replaced with their encodings, the
60 encoding of `add 4 3` contains more symbols than the encoding of `7`.
62 But now consider multiplication:
64     mul ≡ \l r. \f z. r (l f) z
66     mul 4 3 ≡ (\l r. \f z. r (l f) z) 4 3
67           ~~> \f z. 3 (4 f) z
68             ≡ \f z. (\f z. f (f (f z))) (4 f) z
69           ~~> \f z. (4 f) ((4 f) (4 f z))
70             ≡ \f z. ((\f z. f (f (f (f z)))) f) (((\f z. f (f (f (f z)))) f) ((\f z. f (f (f (f z)))) f z))
71           ~~> \f z. (\z. f (f (f (f z)))) ((\z. f (f (f (f z)))) (f (f (f (f z)))))
72           ~~> \f z. (\z. f (f (f (f z)))) (f (f (f (f (f (f (f (f z))))))))
73           ~~> \f z. f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f z)))))))))))
74             ≡ 12
76 Is the final result simpler?  This time, the answer is not so straightforward.
77 Compare the starting expression with the final expression:
79         mul                     4                       3
80         (\l r. \f z. r (l f) z) (\f z. f (f (f (f z)))) (\f z. f (f (f z))))
81     ~~> 12
82         (\f z. f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f z))))))))))))
84 And if we choose different numbers, the result is even less clear:
86         mul                     6                                3
87         (\l r. \f z. r (l f) z) (\f z. f ( f (f (f (f (f z)))))) (\f z. f (f (f z))))
88     ~~> 18
89         (\f z. f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f z))))))))))))))))))
91 On the on hand, there are more symbols in the encoding of `18` than in
92 the encoding of `mul 6 3`.  On the other hand, there is more complexity
93 (speaking pre-theoretically) in the encoding of `mul 6 3`, since the
94 encoding of `18` is just a uniform sequence of nested `f`s.
96 This example shows that computation can't be just simplicity as
97 measured by the number of symbols in the representation.  There is
98 still some sense in which the evaluated expression is simpler, but the
99 right way to characterize "simpler" is elusive.
101 One possibility is to define simpler in terms of irreversability.  The
102 reduction rules of the lambda calculus define an non-symmetric relation
103 over terms: for any given redex, there is a unique reduced term (up to
104 alphabetic variance).  But for any given term, there will be many redexes
105 that reduce to that term.
107     ((\x. x x) y) ~~> y y
108     ((\x x) y y) ~~> y y
109     (y ((\x x) y)) ~~> y y
110     etc.
112 Likewise, in the arithmetic example, there is only one number that
113 corresponds to the sum of `4` and `3` (namely, `7`).  But there are many
114 ways to add numbers to get `7`: `4+3`, `3+4`, `5+2`, `2+5`, `6+1`, `1+6`, `7+0` and `0+7`.
115 And that's only looking at sums.
117 So the unevaluated expression contains information that is missing
118 from the evaluated value: information about *how* that value was
119 arrived at.  So this suggests the following way of thinking about what
120 counts as evaluated:
122 > Given two expressions such that one reduces to the other,
123 the more evaluated one is the one that contains less information.
125 This definition is problematic, though, if we try to define the amount
126 of information using, say, [[!wikipedia Komolgorov complexity]].
128 Ultimately, we have to decide that the reduction rules determine what
129 counts as evaluated.  If we're lucky, that will align well with our
130 intuitive desires about what should count as simpler.  But we're not
131 always lucky.  In particular, although beta reduction in general lines
132 up well with our intuitive sense of simplification, there are
133 pathological examples where the results do not align so well:
135     (\x. x x) (\x. x x) ~~> (\x. x x) (\x. x x) ~~> (\x. x x) (\x. x x) ~~> ...
137 In this example, reduction returns the exact same lambda term.  There
138 is no simplification at all. (As we mentioned in class, the term `(\x. x x)` is often referred to in these discussions as (little) <b>&omega;</b>, or sometimes **M**; and its self-application <code>&omega; &omega;</code>, displayed above, is called (big) <b>&Omega;</b>.)
140 Even worse, consider this term:
142     (\x. x x x) (\x. x x x) ~~> (\x. x x x) (\x. x x x) (\x. x x x) ~~> ...
144 Here, the "reduced" form is longer and more
145 complex by any reasonable measure.
147 We may have to settle for the idea that a well-chosen reduction system
148 will characterize our intuitive notion of evaluation in most cases, or
149 in some useful class of non-pathological cases.
151 These are some of the deeper issues to keep in mind as we discuss the
152 ins and outs of reduction strategies.