1 #What is computation?#
3 The folk notion of computation involves taking a complicated
4 expression and replacing it with an equivalent simpler expression.
6     3 + 4 == 7
8 This equation can be interpreted as expressing the thought that the
10 complex expression `3 + 4` evaluates to `7`.  The evaluation of the
11 expression computing a sum.  There is a clear sense in which the
12 expression `7` is simpler than the expression `3 + 4`: `7` is
13 syntactically simple, and `3 + 4` is syntactically complex.
15 Now let's take this folk notion of computation, and put some pressure
16 on it.
17 =======
18 complex expression `3 + 4` evaluates to `7`.  In this case, the
19 evaluation of the expression involves computing a sum.  There is a
20 clear sense in which the expression `7` is simpler than the expression
21 `3 + 4`: `7` is syntactically simple, and `3 + 4` is syntactically
22 complex.
24 It's worth pausing a moment and wondering why we feel that replacing a
25 complex expression like `3 + 4` with a simplex expression like `7`
26 feels like we've accomplished something.  If they really are
27 equivalent, why shouldn't we consider them to be equally valuable, or
28 even to prefer the longer expression?  For instance, should we prefer
29 2^9, or 512?  Likewise, in the realm of logic, why shold we ever
30 prefer `B` to the conjunction of `A` with `A --> B`?
32 The question to ask here is whether our intuitions about what counts
33 as more evaluated always tracks simplicity of expression, or whether
34 it tracks what is more useful to us in a given larger situation.
36 But even deciding which expression ought to count as simpler is not
37 always so clear.
38 >>>>>>> working:topics/week3_what_is_computation.mdwn
40 ##Church arithmetic##
42 In our system of computing with Church encodings, we have the
43 following representations:
45     3 :=  \f z . f (f (f z))
46     4 :=  \f z . f (f (f (f z)))
47     7 :=  \f z . f (f (f (f (f (f (f z))))))
49 [By the way, those of you who did the extra credit problem on homework
50 2, solving the reverse function with Oleg's holes---do you see the
51 resemblance?]
53 The addition of 3 and 4, then, clearly needs to just tack 4's string
54 of f's onto the end of 3's string of f's.  This suggests the following
55 implementation of the arithmetic addition:
57     + := \lrfz.lf(rfz)
59     + 3 4 == (\lrfz.lf(rfz)) 3 4
60           ~~> \fz.3f(4fz)
61           ==  \fz.(\fz.f(f(fz))) f (4fz)
62           ~~> \fz.f(f(f(4fz)))
63           ==  \fz.f(f(f((\fz.f(f(f(fz))) f z))))
64           ~~> \fz.f(f(f(f(f(f(fz))))))
65           ==  7
67 as desired.  Is there still a sense in which the encoded version of `3
68 + 4` is simpler than the encoded version of `7`?  Well, yes: once the
69 numerals `3` and `4` have been replaced with their encodings, the
70 encoding of `3 + 4` contains more symbols than the encoding of `7`.
72 But now consider multiplication:
74     * := \lrf.l(rf)
75     * 3 4 :=  (\lrf.l(rf)) 3 4
76           ~~> (\rf.3(rf)) 4
77           ~~> \f.3(4f)
78           ==  \f.(\fz.f(f(fz)))(4f)
79           ~~> \fz.(4f)((4f)((4f)z))
80           ==  \fz.((\fz.f(f(f(fz))))f) (((\fz.f(f(f(fz))))f) (((\fz.f(f(f(fz))))f) z))
81           ~~> \fz.((\z.f(f(f(fz)))) ((\z.f(f(f(fz)))) ((\z.f(f(f(fz))))z)))
82           ~~> \fz.((\z.f(f(f(fz)))) ((\z.f(f(f(fz)))) (f(f(f(fz))))))
83           ~~> \fz.((\z.f(f(f(fz)))) (f(f(f(f(f(f(f(fz)))))))))
84           ~~> \fz.f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(fz)))))))))))
85           ==  12
87 Is the final result simpler?  This time, the answer is not so straightfoward.
88 Compare the starting expression with the final expression:
90         *           3             4
91         (\lrf.l(rf))(\fz.f(f(fz)))(\fz.f(f(f(fz))))
92     ~~> 12
93         (\fz.f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(fz))))))))))))
95 And if we choose different numbers, the result is even less clear:
97         *           3             6
98         (\lrf.l(rf))(\fz.f(f(fz)))(\fz.f(f(f(f(f(fz))))))
99     ~~> 18
100         (\fz.f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(fz))))))))))))))))))
102 On the on hand, there are more symbols in the encoding of `18` than in
103 the encoding of `* 3 6`.  On the other hand, there is more complexity
104 (speaking pre-theoretically) in the encoding of `* 3 6`, since the
105 encoding of `18` is just a uniform sequence of nested `f`'s.
107 This example shows that computation can't be just simplicity as
108 measured by the number of symbols in the representation.  There is
109 still some sense in which the evaluated expression is simpler, but the
110 right way to characterize "simpler" is elusive.
112 One possibility is to define simpler in terms of irreversability.  The
113 reduction rules of the lambda calculus define an asymmetric relation
114 over terms: for any given redex, there is a unique reduced term (up to
115 alphabetic variance).  But for any given term, there are many redexes
116 that reduce to that term.
118     ((\x.xx)y) ~~> yy
119     ((\xx)yy) ~~> yy
120     (y((\xx)y)) ~~> yy
121     etc.
124 In the arithmetic example, there is only one number that corresponds
125 to the sum of 3 and 4 (namely, 7).  But there are many sums that add
126 up to 7: 3+4, 4+3, 5+2, 2+5, 6+1, 1+6, etc.
127 =======
128 Likewise, in the arithmetic example, there is only one number that
129 corresponds to the sum of 3 and 4 (namely, 7).  But there are many
130 sums that add up to 7: 3+4, 4+3, 5+2, 2+5, 6+1, 1+6, etc.
131 >>>>>>> working:topics/week3_what_is_computation.mdwn
133 So the unevaluated expression contains information that is missing
134 from the evaluated value: information about *how* that value was
135 arrived at.  So this suggests the following way of thinking about what
136 counts as evaluated:
138     Given two expressions such that one reduces to the other,
139     the more evaluated one is the one that contains less information.
141 This definition is problematic, though, if we try to define the amount
142 of information using, say, [[!wikipedia Komolgorov complexity]].
144 Ultimately, we have to decide that the reduction rules determine what
145 counts as evaluated.  If we're lucky, that will align well with our
146 intuitive desires about what should count as simpler.  But we're not
147 always lucky.  In particular, although beta reduction in general lines
148 up well with our intuitive sense of simplification, there are
149 pathological examples where the results do not align so well:
151     (\x.xx)(\x.xx) ~~> (\x.xx)(\x.xx) ~~> (\x.xx)(\x.xx)
153 In this example, reduction returns the exact same lambda term.  There
154 is no simplification at all.
156     (\x.xxx)(\x.xxx) ~~> ((\x.xxxx)(\x.xxxx)(\x.xxxx))
158 Even worse, in this case, the "reduced" form is longer and more
159 complex by any measure.
161 We may have to settle for the idea that a well-chosen reduction system
162 will characterize our intuitive notion of evaluation in most cases, or
163 in some useful class of non-pathological cases.
165 These are some of the deeper issues to keep in mind as we discuss the
166 ins and outs of reduction strategies.