1 Combinators and Combinatorial Logic
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4 Combinatory logic is of interest here in part because it provides a
5 useful computational system that is equivalent to the lambda calculus,
6 but different from it.  In addition, Combinatory Logic has a number of
7 applications in natural language semantics.  Exploring Combinatory
8 Logic will involve defining a difference notion of reduction from the
9 one we have been using for the lambda calculus.  This will provide us
10 with a second parallel example later when we're thinking through
11 such topics as evaluation strategies and recursion.
13 Lambda expressions that have no free variables are known as **combinators**. Here are some common ones:
15 >       **I** is defined to be `\x x`
17 >       **K** is defined to be `\x y. x`. That is, it throws away its
18            second argument. So `K x` is a constant function from any
19            (further) argument to `x`. ("K" for "constant".) Compare K
20            to our definition of `true`.
22 >       **S** is defined to be `\f g x. f x (g x)`.  This is a more
23           complicated operation, but is extremely versatile and useful
24           (see below): it copies its third argument and distributes it
25           over the first two arguments.
27 >       **get-first** was our function for extracting the first element of an ordered pair: `\fst snd. fst`. Compare this to K and `true` as well.
29 >       **get-second** was our function for extracting the second element of an ordered pair: `\fst snd. snd`. Compare this to our definition of `false`.
31 >       **B** is defined to be: `\f g x. f (g x)`. (So `B f g` is the composition `\x. f (g x)` of `f` and `g`.)
33 >   **C** is defined to be: `\f x y. f y x`. (So `C f` is a function like `f` except it expects its first two arguments in swapped order.)
35 >   **W** is defined to be: `\f x . f x x`. (So `W f` accepts one argument and gives it to `f` twice. What is the meaning of `W multiply`?)
37 >       **&omega;** (that is, lower-case omega) is defined to be: `\x. x x`
39 It's possible to build a logical system equally powerful as the lambda calculus (and readily intertranslatable with it) using just combinators, considered as atomic operations. Such a language doesn't have any variables in it: not just no free variables, but no variables at all.
41 One can do that with a very spare set of basic combinators. These days
42 the standard base is just three combinators: S, K, and I.
43 (Though we'll see shortly that the behavior of I can be exactly
44 simulated by a combination of S's and K's.)  But it's possible to be
45 even more minimalistic, and get by with only a single combinator (see
46 links below for details). (And there are different single-combinator
47 bases you can choose.)
49 There are some well-known linguistic applications of Combinatory
50 Logic, due to Anna Szabolcsi, Mark Steedman, and Pauline Jacobson.
51 They claim that natural language semantics is a combinatory system: that every
52 natural language denotation is a combinator.
54 For instance, Szabolcsi 1987 argues that reflexive pronouns are argument
55 duplicators.
57     everyone   hit           himself
58     S/(S!NP)   (S!NP)/NP     (S!NP)!((S!NP)/NP)
59     \fAx[fx]   \y\z[HIT y z] \h\u[huu]
60                ---------------------------------
61                       S!NP     \u[HIT u u]
62     --------------------------------------------
63                       S        Ax[HIT x x]
65 Here, "A" is our crude markdown approximation of the universal quantifier.
66 Notice that the semantic value of *himself* is exactly `W`.
67 The reflexive pronoun in direct object position combines with the transitive verb.  The result is an intransitive verb phrase that takes a subject argument, duplicates that argument, and feeds the two copies to the transitive verb meaning.
69 Note that `W <~~> S(CI)`:
71 <pre><code>S(CI) &equiv;
72 S((\fxy.fyx)(\x.x)) ~~>
73 S(\xy.(\x.x)yx) ~~>
74 S(\xy.yx) &equiv;
75 (\fgx.fx(gx))(\xy.yx) ~~>
76 \gx.(\xy.yx)x(gx) ~~>
77 \gx.(gx)x &equiv;
78 W</code></pre>
80 ###A different set of reduction rules###
82 Ok, here comes a shift in thinking.  Instead of defining combinators as equivalent to certain lambda terms,
83 we can define combinators by what they do.  If we have the I combinator followed by any expression X,
84 I will take that expression as its argument and return that same expression as the result.  In pictures,
86     IX ~~> X
88 Thinking of this as a reduction rule, we can perform the following computation
90     II(IX) ~~> IIX ~~> IX ~~> X
92 The reduction rule for K is also straightforward:
94     KXY ~~> X
96 That is, K throws away its second argument.  The reduction rule for S can be constructed by examining
97 the defining lambda term:
99 <pre><code>S &equiv; \fgx.fx(gx)</code></pre>
101 S takes three arguments, duplicates the third argument, and feeds one copy to the first argument and the second copy to the second argument.  So:
103     SFGX ~~> FX(GX)
105 If the meaning of a function is nothing more than how it behaves with respect to its arguments,
106 these reduction rules capture the behavior of the combinators S, K, and I completely.
107 We can use these rules to compute without resorting to beta reduction.
109 For instance, we can show how the I combinator is equivalent to a
110 certain crafty combination of Ss and Ks:
112     SKKX ~~> KX(KX) ~~> X
114 So the combinator `SKK` is equivalent to the combinator I.
116 These reduction rule have the same status with respect to Combinatory
117 Logic as beta reduction and eta reduction, etc., have with respect to
118 the lambda calculus: they are purely syntactic rules for transforming
119 one sequence of symbols (e.g., a redex) into another (a reduced
120 form).  It's worth noting that the reduction rules for Combinatory
121 Logic are considerably more simple than, say, beta reduction.  Also, since
122 there are no variables in Combiantory Logic, there is no need to worry
125 Combinatory Logic is what you have when you choose a set of combinators and regulate their behavior with a set of reduction rules. As we said, the most common system uses S, K, and I as defined here.
127 ###The equivalence of the untyped lambda calculus and combinatory logic###
129 We've claimed that Combinatory Logic is equivalent to the lambda
130 calculus.  If that's so, then S, K, and I must be enough to accomplish
131 any computational task imaginable.  Actually, S and K must suffice,
132 since we've just seen that we can simulate I using only S and K.  In
133 order to get an intuition about what it takes to be Turing complete,
134 recall our discussion of the lambda calculus in terms of a text editor.
135 A text editor has the power to transform any arbitrary text into any other arbitrary text.  The way it does this is by deleting, copying, and reordering characters.  We've already seen that K deletes its second argument, so we have deletion covered.  S duplicates and reorders, so we have some reason to hope that S and K are enough to define arbitrary functions.
137 We've already established that the behavior of combinatory terms can
138 be perfectly mimicked by lambda terms: just replace each combinator
139 with its equivalent lambda term, i.e., replace I with `\x.x`, replace
140 K with `\fxy.x`, and replace S with `\fgx.fx(gx)`.  So the behavior of
141 any combination of combinators in Combinatory Logic can be exactly
142 reproduced by a lambda term.
144 How about the other direction?  Here is a method for converting an
145 arbitrary lambda term into an equivalent Combinatory Logic term using
146 only S, K, and I.  Besides the intrinsic beauty of this mapping, and
147 the importance of what it says about the nature of binding and
148 computation, it is possible to hear an echo of computing with
149 continuations in this conversion strategy (though you wouldn't be able
150 to hear these echos until we've covered a considerable portion of the
151 rest of the course).  In addition, there is a direct linguistic
152 appliction of this mapping in chapter 17 of Barker and Shan 2014,
153 where it is used to establish a correpsondence between two natural
154 language grammars, one of which is based on lambda-like abstraction,
155 the other of which is based on Combinatory Logic like manipulations.
157 Assume that for any lambda term T, [T] is the equivalent combinatory logic term.  The we can define the [.] mapping as follows:
159      1. [a]               a
160      2. [(M N)]           ([M][N])
161      3. [\a.a]            I
162      4. [\a.M]            K[M]                 assumption: a does not occur free in M
163      5. [\a.(M N)]        S[\a.M][\a.N]
164      6. [\a\b.M]          [\a[\b.M]]
166 It's easy to understand these rules based on what S, K and I do.  The first rule says
167 that variables are mapped to themselves.
168 The second rule says that the way to translate an application is to translate the
169 first element and the second element separately.
170 The third rule should be obvious.
171 The fourth rule should also be fairly self-evident: since what a lambda term such as `\x.y` does it throw away its first argument and return `y`, that's exactly what the combinatory logic translation should do.  And indeed, `Ky` is a function that throws away its argument and returns `y`.
172 The fifth rule deals with an abstract whose body is an application: the S combinator takes its next argument (which will fill the role of the original variable a) and copies it, feeding one copy to the translation of \a.M, and the other copy to the translation of \a.N.  This ensures that any free occurrences of a inside M or N will end up taking on the appropriate value.  Finally, the last rule says that if the body of an abstract is itself an abstract, translate the inner abstract first, and then do the outermost.  (Since the translation of [\b.M] will not have any lambdas in it, we can be sure that we won't end up applying rule 6 again in an infinite loop.)
174 [Fussy notes: if the original lambda term has free variables in it, so will the combinatory logic translation.  Feel free to worry about this, though you should be confident that it makes sense.  You should also convince yourself that if the original lambda term contains no free variables---i.e., is a combinator---then the translation will consist only of S, K, and I (plus parentheses).  One other detail: this translation algorithm builds expressions that combine lambdas with combinators.  For instance, the translation of our boolean false `\x.\y.y` is `[\x[\y.y]] = [\x.I] = KI`.  In the intermediate stage, we have `\x.I`, which mixes combinators in the body of a lambda abstract.  It's possible to avoid this if you want to,  but it takes some careful thought.  See, e.g., Barendregt 1984, page 156.]
176 [Various, slightly differing translation schemes from combinatorial
177 logic to the lambda calculus are also possible. These generate
178 different metatheoretical correspondences between the two
179 calculii. Consult Hindley and Seldin for details. Also, note that the
180 combinatorial proof theory needs to be strengthened with axioms beyond
181 anything we've here described in order to make [M] convertible with
182 [N] whenever the original lambda-terms M and N are convertible.  But
183 then, we've been a bit cavalier about giving the full set of reduction
184 rules for the lambda calculus in a similar way.  For instance, one
185 issue is whether reduction rules (in either the lambda calculus or
186 Combinatory Logic) apply to embedded expressions.  Generally, we want
187 that to happen, but making it happen requires adding explicit axioms.]
189 Let's check that the translation of the false boolean behaves as expected by feeding it two arbitrary arguments:
191     KIXY ~~> IY ~~> Y
193 Throws away the first argument, returns the second argument---yep, it works.
195 Here's a more elaborate example of the translation.  The goal is to establish that combinators can reverse order, so we use the **T** combinator, where  <code>T &equiv; \x\y.yx</code>:
197     [\x\y.yx] = [\x[\y.yx]] = [\x.S[\y.y][\y.x]] = [\x.(SI)(Kx)] = S[\x.SI][\x.Kx] = S(K(SI))(S[\x.K][\x.x]) = S(K(SI))(S(KK)I)
199 We can test this translation by seeing if it behaves like the original lambda term does.
200 The orginal lambda term lifts its first argument (think of it as reversing the order of its two arguments):
202         S(K(SI))(S(KK)I) X Y ~~>
203         (K(SI))X ((S(KK)I) X) Y ~~>
204         SI ((KK)X (IX)) Y ~~>
205         SI (KX) Y ~~>
206         IY (KXY) ~~>
207         Y X
209 Voil&agrave;: the combinator takes any X and Y as arguments, and returns Y applied to X.
211 One very nice property of combinatory logic is that there is no need to worry about alphabetic variance, or
212 variable collision---since there are no (bound) variables, there is no possibility of accidental variable capture,
213 and so reduction can be performed without any fear of variable collision.  We haven't mentioned the intricacies of
214 alpha equivalence or safe variable substitution, but they are in fact quite intricate.  (The best way to gain
215 an appreciation of that intricacy is to write a program that performs lambda reduction.)
217 Back to linguistic applications: one consequence of the equivalence between the lambda calculus and combinatory
218 logic is that anything that can be done by binding variables can just as well be done with combinators.
219 This has given rise to a style of semantic analysis called Variable Free Semantics (in addition to
220 Szabolcsi's papers, see, for instance,
221 Pauline Jacobson's 1999 *Linguistics and Philosophy* paper, "Towards a variable-free Semantics").
223 Somewhat ironically, reading strings of combinators is so difficult that most practitioners of variable-free semantics
224 express their meanings using the lambda-calculus rather than combinatory logic; perhaps they should call their
225 enterprise Free Variable Free Semantics.
227 A philosophical connection: Quine went through a phase in which he developed a variable free logic.
229   Quine, Willard. 1960. "Variables explained away" <cite>Proceedings of the American Philosophical Society</cite>.  Volume 104: 343--347.  Also in W. V. Quine.  1960. <cite>Selected Logical Papers</cite>.  Random House: New
230   York.  227--235.
232 The reason this was important to Quine is similar to the worry that
233 using non-referring expressions such as Santa Claus might commit one
234 to believing in non-existant things.  Quine's slogan was that "to be
235 is to be the value of a variable."  What this was supposed to mean is
236 that if and only if an object could serve as the value of some
237 variable, we are committed to recognizing the existence of that object
238 in our ontology.  Obviously, if there ARE no variables, this slogan
239 has to be rethought.
241 Quine did not appear to appreciate that Shoenfinkel had already invented combinatory logic, though
242 he later wrote an introduction to Shoenfinkel's key paper reprinted in Jean
243 van Heijenoort (ed) 1967 <cite>From Frege to Goedel, a source book in mathematical logic, 1879--1931</cite>.
245 Cresswell has also developed a variable-free approach of some philosophical and linguistic interest
246 in two books in the 1990's.
248 A final linguistic application: Steedman's Combinatory Categorial Grammar, where the "Combinatory" is
249 from combinatory logic (see especially his 2012 book, <cite>Taking Scope</cite>).  Steedman attempts to build
250 a syntax/semantics interface using a small number of combinators, including T &equiv; `\xy.yx`, B &equiv; `\fxy.f(xy)`,
251 and our friend S.  Steedman used Smullyan's fanciful bird
252 names for the combinators, Thrush, Bluebird, and Starling.
254 Many of these combinatory logics, in particular, the SKI system,
255 are Turing complete. In other words: every computation we know how to describe can be represented in a logical system consisting of only a single primitive operation!
257 The combinators K and S correspond to two well-known axioms of sentential logic:
259 ###A connection between Combinatory Logic and logic logic###
261 One way of getting a feel for the power of the SK basis is to note
262 that the following two axioms
264     AK: A --> (B --> A)
265     AS: (A --> (B --> C)) --> ((A --> B) --> (A --> C))
267 when combined with modus ponens (from `A` and `A --> B`, conclude `B`)
268 are complete for the implicational fragment of intuitionistic logic.
269 The way we'll favor for viewing the relationship between these axioms
270 and the S and K combinators is that the axioms correspond to type
271 schemas for the combinators.  Thsi will become more clear once we have
272 a theory of types in view.