1 Combinators and Combinatory Logic
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4 Combinatory logic is of interest here in part because it provides a
5 useful computational system that is equivalent to the Lambda Calculus,
6 but different from it.  In addition, Combinatory Logic has a number of
7 applications in natural language semantics.  Exploring Combinatory
8 Logic will involve defining a difference notion of reduction from the
9 one we have been using for the Lambda Calculus.  This will provide us
10 with a second parallel example later when we're thinking through
11 such topics as evaluation strategies and recursion.
13 Lambda expressions that have no free variables are known as **combinators**. Here are some common ones:
15 >   **I** is defined to be `\x x`
17 >   **K** is defined to be `\x y. x`. That is, it throws away its
18 second argument. So `K x` is a constant function from any
19 (further) argument to `x`. ("K" for "constant".) Compare `K`
20 to our definition of `true`.
22 >   **S** is defined to be `\f g x. f x (g x)`.  This is a more
23 complicated operation, but is extremely versatile and useful
24 (see below): it copies its third argument and distributes it
25 over the first two arguments.
27 >   **get-first** was our function for extracting the first element of an ordered pair: `\fst snd. fst`. Compare this to `K` and `true` as well.
29 >   **get-second** was our function for extracting the second element of an ordered pair: `\fst snd. snd`. Compare this to our definition of `false`.
31 >   **B** is defined to be: `\f g x. f (g x)`. (So `B f g` is the composition `\x. f (g x)` of `f` and `g`.)
33 >   **C** is defined to be: `\f x y. f y x`. (So `C f` is a function like `f` except it expects its first two (curried) arguments in flipped order.)
35 >   **W** is defined to be: `\f x . f x x`. (So `W f` accepts one argument and gives it to `f` twice. What is the meaning of `W multiply`?) <!-- \x. multiply x x === \x. square x -->
37 >   **&omega;** (that is, lower-case omega) is defined to be: `\x. x x`. Sometimes this combinator is called **M**.
39 <!--
40 omitted: T, L
42 duplicate argument
43 W is \uv.uvv
44 M/omega is \x.xx; L is \uv.u(vv)
46 reorder arguments
47 C is \uvx.uxv (curried_flip)
48 T is \xy.yx
50 S, K, I, B also known
51 -->
54 It's possible to build a logical system equally powerful as the Lambda Calculus
55 (and readily intertranslatable with it) using just combinators, considered as
56 atomic operations. Such a language doesn't have any variables in it: not just
57 no free variables, but no variables (or "bound positions") at all.
59 One can do that with a very spare set of basic combinators. These days
60 the standard base is just three combinators: `S`, `K`, and `I`.
61 (Though we'll see shortly that the behavior of `I` can be exactly
62 simulated by a combination of `S`'s and `K`'s.)  But it's possible to be
63 even more minimalistic, and get by with only a single combinator (see
64 links below for details). (And there are different single-combinator
65 bases you can choose.) <!-- Schoenfinkel already discovered one of them;
66 did Chris discover his? -->
68 There are some well-known linguistic applications of Combinatory
69 Logic, due to Anna Szabolcsi, Mark Steedman, and Pauline Jacobson.
70 They claim that natural language semantics is a combinatory system: that every
71 natural language denotation is a combinator.
73 For instance, Szabolcsi 1987 argues that reflexive pronouns are argument
74 duplicators.
76 <pre><code>
77 everyone   hit           himself
78 S/(S!NP)   (S!NP)/NP     (S!NP)!((S!NP)/NP)
79 \fAx[fx]   \y\z[HIT y z] \h\u[huu]
80            ---------------------------------
81                   S!NP     \u[HIT u u]
82 --------------------------------------------
83                   S        &forall;x[HIT x x]
84 </code></pre>
86 Notice that the semantic value of *himself* is exactly `W`.  The reflexive
87 pronoun in direct object position combines with the transitive verb.  The
88 result is an intransitive verb phrase that takes a subject argument, duplicates
89 that argument, and feeds the two copies to the transitive verb meaning.
91 Note that `W <~~> S(CI)`:
93 <pre><code>S(CI) &equiv;
94 S((\fxy.fyx)(\x.x)) ~~>
95 S(\xy.(\x.x)yx) ~~>
96 S(\xy.yx) &equiv;
97 (\fgx.fx(gx))(\xy.yx) ~~>
98 \gx.(\xy.yx)x(gx) ~~>
99 \gx.(gx)x &equiv;
100 W</code></pre>
102 ###A different set of reduction rules###
104 Ok, here comes a shift in thinking.  Instead of defining combinators as equivalent to certain lambda terms,
105 we can define combinators by what they do.  If we have the `I` combinator followed by any expression X,
106 `I` will take that expression as its argument and return that same expression as the result.  In pictures,
108     IX ~~> X
110 Thinking of this as a reduction rule, we can perform the following computation
112     II(IX) ~~> I(IX) ~~> IX ~~> X
114 The reduction rule for `K` is also straightforward:
116     KXY ~~> X
118 That is, `K` throws away its second argument.  The reduction rule for `S` can be constructed by examining
119 the defining lambda term:
121 <pre><code>S &equiv; \fgx.fx(gx)</code></pre>
123 `S` takes three arguments, duplicates the third argument, and feeds one copy to the first argument and the second copy to the second argument.  So:
125     SFGX ~~> FX(GX)
127 If the meaning of a function is nothing more than how it behaves with respect to its arguments,
128 these reduction rules capture the behavior of the combinators `S`, `K`, and `I` completely.
129 We can use these rules to compute without resorting to beta reduction.
131 For instance, we can show how the `I` combinator's behavior is simulated by a
132 certain crafty combination of `S`s and `K`s:
134     SKKX ~~> KX(KX) ~~> X
136 So the combinator `SKK` is equivalent to the combinator `I`. (Really, it could be `SKX` for any `X`.)
138 These reduction rule have the same status with respect to Combinatory
139 Logic as beta reduction and eta reduction, etc., have with respect to
140 the Lambda Calculus: they are purely syntactic rules for transforming
141 one sequence of symbols (e.g., a redex) into another (a reduced
142 form).  It's worth noting that the reduction rules for Combinatory
143 Logic are considerably more simple than, say, beta reduction.  Also, since
144 there are no variables in Combiantory Logic, there is no need to worry
145 about variables colliding when we substitute.
147 Combinatory Logic is what you have when you choose a set of combinators and regulate their behavior with a set of reduction rules. As we said, the most common system uses `S`, `K`, and `I` as defined here.
149 ###The equivalence of the untyped Lambda Calculus and Combinatory Logic###
151 We've claimed that Combinatory Logic is equivalent to the Lambda Calculus.  If
152 that's so, then `S`, `K`, and `I` must be enough to accomplish any computational task
153 imaginable.  Actually, `S` and `K` must suffice, since we've just seen that we can
154 simulate `I` using only `S` and `K`.  In order to get an intuition about what it
155 takes to be Turing complete, recall our discussion of the Lambda Calculus in
156 terms of a text editor.  A text editor has the power to transform any arbitrary
157 text into any other arbitrary text.
158 The way it does this is by deleting, copying, and reordering characters.  We've
159 already seen that `K` deletes its second argument, so we have deletion covered.
160 `S` duplicates and reorders, so we have some reason to hope that `S` and `K` are
161 enough to define arbitrary functions.
163 We've already established that the behavior of combinatory terms can be
164 perfectly mimicked by lambda terms: just replace each combinator with its
165 equivalent lambda term, i.e., replace `I` with `\x.x`, replace `K` with `\xy.x`,
166 and replace `S` with `\fgx.fx(gx)`.  So the behavior of any combination of
167 combinators in Combinatory Logic can be exactly reproduced by a lambda term.
169 How about the other direction?  Here is a method for converting an arbitrary
170 lambda term into an equivalent Combinatory Logic term using only `S`, `K`, and `I`.
171 Besides the intrinsic beauty of this mapping, and the importance of what it
172 says about the nature of binding and computation, it is possible to hear an
173 echo of computing with continuations in this conversion strategy (though you
174 wouldn't be able to hear these echos until we've covered a considerable portion
175 of the rest of the course).  In addition, there is a direct linguistic
176 appliction of this mapping in chapter 17 of Barker and Shan 2014, where it is
177 used to establish a correpsondence between two natural language grammars, one
178 of which is based on lambda-like abstraction, the other of which is based on
179 Combinatory Logic like manipulations.
181 Assume that for any lambda term T, [T] is the equivalent Combinatory Logic term.  The we can define the [.] mapping as follows:
183      1. [a]               a
184      2. [(M N)]           ([M][N])
185      3. [\a.a]            I
186      4. [\a.M]            K[M]                 when a does not occur free in M
187      5. [\a.(M N)]        S[\a.M][\a.N]
188      6. [\a\b.M]          [\a[\b.M]]
190 It's easy to understand these rules based on what `S`, `K` and `I` do.  The first rule says
191 that variables are mapped to themselves.
192 The second rule says that the way to translate an application is to translate the
193 first element and the second element separately.
194 The third rule should be obvious.
195 The fourth rule should also be fairly self-evident: since what a lambda term such as `\x.y` does it throw away its first argument and return `y`, that's exactly what the Combinatory Logic translation should do.  And indeed, `Ky` is a function that throws away its argument and returns `y`.
196 The fifth rule deals with an abstract whose body is an application: the `S` combinator takes its next argument (which will fill the role of the original variable a) and copies it, feeding one copy to the translation of \a.M, and the other copy to the translation of \a.N.  This ensures that any free occurrences of a inside M or N will end up taking on the appropriate value.  Finally, the last rule says that if the body of an abstract is itself an abstract, translate the inner abstract first, and then do the outermost.  (Since the translation of [\b.M] will not have any lambdas in it, we can be sure that we won't end up applying rule 6 again in an infinite loop.)
198 (*Fussy notes:* if the original lambda term has free variables in it, so will the Combinatory Logic translation.  Feel free to worry about this, though you should be confident that it makes sense.  You should also convince yourself that if the original lambda term contains no free variables---i.e., is a combinator---then the translation will consist only of `S`, `K`, and `I` (plus parentheses).  One other detail: this translation algorithm builds expressions that combine lambdas with combinators.  For instance, the translation of our boolean false `\x.\y.y` is `[\x[\y.y]] = [\x.I] = KI`.  In the intermediate stage, we have `\x.I`, which mixes combinators in the body of a lambda abstract.  It's possible to avoid this if you want to,  but it takes some careful thought.  See, e.g., Barendregt 1984, page 156.)
200 (Various, slightly differing translation schemes from Combinatory Logic to the
201 Lambda Calculus are also possible. These generate different metatheoretical
202 correspondences between the two calculii. Consult Hindley and Seldin for
203 details. Also, note that the combinatorial proof theory needs to be
204 strengthened with axioms beyond anything we've here described in order to make
205 [M] convertible with [N] whenever the original lambda-terms M and N are
206 convertible.  But then, we've been a bit cavalier about giving the full set of
207 reduction rules for the Lambda Calculus in a similar way.  For instance, one
208 issue is whether reduction rules (in either the Lambda Calculus or Combinatory
209 Logic) apply to embedded expressions.  Generally, we want that to happen, but
210 making it happen requires adding explicit axioms.)
212 Let's check that the translation of the `false` boolean behaves as expected by feeding it two arbitrary arguments:
214     KIXY ~~> IY ~~> Y
216 Throws away the first argument, returns the second argument---yep, it works.
218 Here's a more elaborate example of the translation.  The goal is to establish that combinators can reverse order, so we use the **T** combinator, where  <code>T &equiv; \x\y.yx</code>:
220     [\x\y.yx] = [\x[\y.yx]] = [\x.S[\y.y][\y.x]] = [\x.(SI)(Kx)] = S[\x.SI][\x.Kx] = S(K(SI))(S[\x.K][\x.x]) = S(K(SI))(S(KK)I)
222 We can test this translation by seeing if it behaves like the original lambda term does.
223 The orginal lambda term lifts its first argument (think of it as reversing the order of its two arguments):
225         S(K(SI))(S(KK)I) X Y ~~>
226         (K(SI))X ((S(KK)I) X) Y ~~>
227         SI ((KK)X (IX)) Y ~~>
228         SI (KX) Y ~~>
229         IY (KXY) ~~>
230         Y X
232 Voil&agrave;: the combinator takes any X and Y as arguments, and returns Y applied to X.
234 One very nice property of Combinatory Logic is that there is no need to worry about alphabetic variance, or
235 variable collision---since there are no (bound) variables, there is no possibility of accidental variable capture,
236 and so reduction can be performed without any fear of variable collision.  We haven't mentioned the intricacies of
237 alpha equivalence or safe variable substitution, but they are in fact quite intricate.  (The best way to gain
238 an appreciation of that intricacy is to write a program that performs lambda reduction.)
240 Back to linguistic applications: one consequence of the equivalence between the Lambda Calculus and Combinatory
241 Logic is that anything that can be done by binding variables can just as well be done with combinators.
242 This has given rise to a style of semantic analysis called Variable Free Semantics (in addition to
243 Szabolcsi's papers, see, for instance,
244 Pauline Jacobson's 1999 *Linguistics and Philosophy* paper, "Towards a variable-free Semantics").
246 Somewhat ironically, reading strings of combinators is so difficult that most practitioners of variable-free semantics
247 express their meanings using the Lambda Calculus rather than Combinatory Logic; perhaps they should call their
248 enterprise Free Variable Free Semantics.
250 A philosophical connection: Quine went through a phase in which he developed a variable free logic.
252   Quine, Willard. 1960. "Variables explained away" <cite>Proceedings of the American Philosophical Society</cite>.  Volume 104: 343--347.  Also in W. V. Quine.  1960. <cite>Selected Logical Papers</cite>.  Random House: New
253   York.  227--235.
255 The reason this was important to Quine is similar to the worry that using
256 non-referring expressions such as Santa Claus might commit one to believing in
257 non-existant things.  Quine's slogan was that "to be is to be the value of a
258 variable."  What this was supposed to mean is that if and only if an object
259 could serve as the value of some variable, we are committed to recognizing the
260 existence of that object in our ontology.  Obviously, if there ARE no
261 variables, this slogan has to be rethought.
263 Quine did not appear to appreciate that Shoenfinkel had already invented Combinatory Logic, though
264 he later wrote an introduction to Shoenfinkel's key paper reprinted in Jean
265 van Heijenoort (ed) 1967 <cite>From Frege to Goedel, a source book in mathematical logic, 1879--1931</cite>.
267 Cresswell has also developed a variable-free approach of some philosophical and linguistic interest
268 in two books in the 1990's.
270 A final linguistic application: Steedman's Combinatory Categorial Grammar, where the "Combinatory" is
271 from Combinatory Logic (see especially his 2012 book, <cite>Taking Scope</cite>).  Steedman attempts to build
272 a syntax/semantics interface using a small number of combinators, including `T` &equiv; `\xy.yx`, `B` &equiv; `\fxy.f(xy)`,
273 and our friend `S`.  Steedman used Smullyan's fanciful bird
274 names for the combinators, Thrush, Bluebird, and Starling.
276 Many of these combinatory logics, in particular, the SKI system,
277 are Turing complete. In other words: every computation we know how to describe can be represented in a logical system consisting of only a single primitive operation!
279 The combinators `K` and `S` correspond to two well-known axioms of sentential logic:
281 ###A connection between Combinatory Logic and Sentential Logic###
283 One way of getting a feel for the power of the SK basis is to note
284 that the following two axioms
286     AK: A --> (B --> A)
287     AS: (A --> (B --> C)) --> ((A --> B) --> (A --> C))
289 when combined with modus ponens (from `A` and `A --> B`, conclude `B`)
290 are complete for the implicational fragment of intuitionistic logic.
291 (To get a complete proof theory for *classical* sentential logic, you
292 need only add one more axiom, constraining the behavior of a new connective "not".)
293 The way we'll favor for viewing the relationship between these axioms
294 and the `S` and `K` combinators is that the axioms correspond to type
295 schemas for the combinators.  This will become more clear once we have
296 a theory of types in view.