1 Combinators and Combinatory Logic
2 =================================
4 Combinatory logic is of interest here in part because it provides a
5 useful computational system that is equivalent to the Lambda Calculus,
6 but different from it. In addition, Combinatory Logic has a number of
7 applications in natural language semantics.  Exploring Combinatory
8 Logic will involve defining a notion of reduction different from the
9 one we have been using for the Lambda Calculus.  This will provide us
10 with a second parallel example when we're thinking through
11 topics such as evaluation strategies and recursion.
13 Lambda expressions that have no free variables are known as **combinators**. Here are some common ones:
15 >   **I** is defined to be `\x x`
17 >   **K** is defined to be `\x y. x`. That is, it throws away its
18 second argument. So `K x` is a constant function from any
19 (further) argument to `x`. ("K" for "constant".) Compare `K`
20 to our definition of `true`.
22 >   **S** is defined to be `\f g x. f x (g x)`.  This is a more
23 complicated operation, but is extremely versatile and useful
24 (see below): it copies its third argument and distributes it
25 over the first two arguments.
27 >   **fst** was our function for extracting the first element of an ordered pair: `\a b. a`. Compare this to `K` and `true` as well.
29 >   **snd** was our function for extracting the second element of an ordered pair: `\a b. b`. Compare this to our definition of `false`.
31 >   **B** is defined to be: `\f g x. f (g x)`. (So `B f g` is the composition `\x. f (g x)` of `f` and `g`.)
33 >   **C** is defined to be: `\f x y. f y x`. (So `C f` is a function like `f` except it expects its first two (curried) arguments in flipped order.)
35 >   **T** is defined to be: `\x y. y x`. (So `C` and `T` both reorder arguments, just in different ways.)
37 >   **W** is defined to be: `\f x . f x x`. (So `W f` accepts one argument and gives it to `f` twice. What is the meaning of `W multiply`?) <!-- \x. multiply x x === \x. square x -->
39 >   **ω** (that is, lower-case omega) is defined to be: `\x. x x`. Sometimes this combinator is called **M**. It and `W` both duplicate arguments, just in different ways. <!-- L is \uv.u(vv) -->
42 It's possible to build a logical system equally powerful as the Lambda Calculus
43 (and readily intertranslatable with it) using just combinators, considered as
44 *primitive operations*. (That is, we refrain from defining them in terms of lambda expressions, as we did above.)
45 Such a language doesn't have any variables in it: not just
46 no free variables, but no variables (or "bound positions") at all.
48 One can do that with a very spare set of basic combinators. These days
49 the standard base is just three combinators: `S`, `K`, and `I`.
50 (Though we'll see shortly that the behavior of `I` can be exactly
51 simulated by a combination of `S`'s and `K`'s.)  But it's possible to be
52 even more minimalistic, and get by with only a single combinator (see
53 links below for details). (And there are different single-combinator
54 bases you can choose.) <!-- Schoenfinkel already discovered one of them;
55 did Chris discover his? -->
57 There are some well-known linguistic applications of Combinatory
58 Logic, due to Anna Szabolcsi, Mark Steedman, and Pauline Jacobson.
59 They claim that natural language semantics is a combinatory system: that every
60 natural language denotation is a combinator.
62 For instance, Szabolcsi 1987 argues that reflexive pronouns are argument
63 duplicators.
65     everyone   hit           himself
66     S/(S!NP)   (S!NP)/NP     (S!NP)!((S!NP)/NP)
67     \f∀x[fx]   \y\z[HIT y z] \h\u[huu]
68                --------------------------------- here "hit" is an argument to "himself"
69                       S!NP     \u[HIT u u]
70     -------------------------------------------- here "hit himself" is an argument to "everyone"
71                       S        ∀x[HIT x x]
73 Notice that the semantic value of *himself* is exactly `W`.  The reflexive
74 pronoun in direct object position combines with the transitive verb "hit".  The
75 result is an intransitive verb phrase "hit himself" that takes a subject argument `u`, duplicates
76 that argument, and feeds the two copies to the transitive verb meaning.
78 Note that `W <~~> S(CI)`:
80     S(CI) ≡
81     S ((\f x y. f y x) (\x x)) ~~>
82     S (\x y. (\x x) y x) ~~>
83     S (\x y. y x) ≡
84     (\f g x. f x (g x)) (\x y. y x) ~~>
85     \g x. (\x y. y x) x (g x) ~~>
86     \g x. (g x) x ≡
87     W
89 ###A different set of reduction rules###
91 Instead of defining combinators in terms of antecedently understood lambda terms, we want to consider the view that takes the combinators as primitive, and understands them in terms of *what they do*. If we have the `I` combinator followed by any expression `X`,
92 `I` will take that expression as its argument and return that same expression as the result.  Diagrammatically:
94     IX ~~> X
96 Thinking of this as a reduction rule, we can perform the following computation:
98     II(IX) ~~> I(IX) ~~> IX ~~> X
100 The reduction rule for `K` is also straightforward:
102     KXY ~~> X
104 That is, `K` throws away its second argument.  The reduction rule for `S` can be constructed by examining
105 the defining lambda term:
107     S ≡ \f g x. f x (g x)
109 `S` takes three arguments, duplicates the third argument, and feeds one copy to the first argument and the second copy to the second argument.  So:
111     SFGX ~~> FX(GX)
113 If the meaning of a function is nothing more than how it behaves with respect to its arguments,
114 these reduction rules capture the behavior of the combinators `S`, `K`, and `I` completely.
115 We can use these rules to compute without resorting to beta reduction.
117 For instance, we can show how the `I` combinator's behavior is simulated by a
118 certain crafty combination of `S`s and `K`s:
120     SKKX ~~> KX(KX) ~~> X
122 So the combinator `SKK` is equivalent to the combinator `I`. (Really, it could be `SKY` for any `Y`.)
124 These reduction rule have the same status with respect to Combinatory
125 Logic as beta-reduction and eta-reduction have with respect to
126 the Lambda Calculus: they are purely syntactic rules for transforming
127 one sequence of symbols (e.g., a redex) into another (a reduced
128 form).  It's worth noting that the reduction rules for Combinatory
129 Logic are considerably more simple than, say, beta reduction.  Also, since
130 there are no variables in Combinatory Logic, there is no need to worry
131 about variables colliding when we substitute.
133 Combinatory Logic is what you have when you choose a set of combinators and regulate their behavior with a set of reduction rules. As we said, the most common system uses `S`, `K`, and `I` as defined here.
135 ###The equivalence of the untyped Lambda Calculus and Combinatory Logic###
137 We've claimed that Combinatory Logic is "equivalent to" the Lambda Calculus.  If
138 that's so, then `S`, `K`, and `I` must be enough to accomplish any computational task
139 imaginable.  Actually, `S` and `K` must suffice, since we've just seen that we can
140 simulate `I` using only `S` and `K`.  In order to get an intuition about what it
141 takes to be Turing Complete, <!-- FIXME -->
142 recall our discussion of the Lambda Calculus in
143 terms of a text editor.  A text editor has the power to transform any arbitrary
144 text into any other arbitrary text.
145 The way it does this is by deleting, copying, and reordering characters.  We've
146 already seen that `K` deletes its second argument, so we have deletion covered.
147 `S` duplicates and reorders, so we have some reason to hope that `S` and `K` are
148 enough to define arbitrary functions.
150 We've already established that the behavior of combinatory terms can be
151 perfectly mimicked by lambda terms: just replace each combinator with its
152 equivalent lambda term, i.e., replace `I` with `\x. x`, replace `K` with `\x y. x`,
153 and replace `S` with `\f g x. f x (g x)`.  So the behavior of any combination of
154 combinators in Combinatory Logic can be exactly reproduced by a lambda term.
156 How about the other direction?  Here is a method for converting an arbitrary
157 lambda term into an equivalent Combinatory Logic term using only `S`, `K`, and `I`.
158 Besides the intrinsic beauty of this mapping, and the importance of what it
159 says about the nature of binding and computation, it is possible to hear an
160 echo of computing with continuations in this conversion strategy (though you
161 wouldn't be able to hear these echos until we've covered a considerable portion
162 of the rest of the course).  In addition, there is a direct linguistic
163 application of this mapping in chapter 17 of Barker and Shan 2014, where it is
164 used to establish a correspondence between two natural language grammars, one
165 of which is based on lambda-like abstraction, the other of which is based on
166 Combinatory Logic-like manipulations.
168 Assume that for any lambda term T, [T] is the equivalent Combinatory Logic term.  Then we can define the [.] mapping as follows:
170      1. [a]               a
171      2. [(M N)]           ([M][N])
172      3. [\a.a]            I
173      4. [\a.M]            K[M]                 when a does not occur free in M
174      5. [\a.(M N)]        S[\a.M][\a.N]
175      6. [\a\b.M]          [\a[\b.M]]
177 If the recursive unpacking of these rules ever direct you to "translate" an `S` or a `K` or an `I`, introduced at an earlier stage of translation, those symbols translate themselves.
179 It's easy to understand these rules based on what `S`, `K` and `I` do.
181 The first rule says that variables are mapped to themselves. If the original lambda expression had no free variables in it, then any such translations will only be temporary. The variable will later get eliminated by the application of other rules. (If the original lambda term *does* have free variables in it, so too will the final Combinatory Logic translation.  Feel free to worry about this, though you should be confident that it makes sense.)
183 The second rule says that the way to translate an application is to translate the first element and the second element separately.
185 The third rule should be obvious.
187 The fourth rule should also be fairly self-evident: since what a lambda term such as `\x. y` does it throw away its first argument and return `y`, that's exactly what the Combinatory Logic translation should do.  And indeed, `K y` is a function that throws away its argument and returns `y`.
189 The fifth rule deals with an abstract whose body is an application: the `S` combinator takes its next argument (which will fill the role of the original variable a) and copies it, feeding one copy to the translation of `\a. M`, and the other copy to the translation of `\a. N`.  This ensures that any free occurrences of a inside `M` or `N` will end up taking on the appropriate value.
191 Finally, the last rule says that if the body of an abstract is itself an abstract, translate the inner abstract first, and then do the outermost.  (Since the translation of `[\b. M]` will have eliminated any inner lambdas, we can be sure that we won't end up applying rule 6 again in an infinite loop.)
193 Persuade yourself that if the original lambda term contains no free variables --- i.e., is a combinator --- then the translation will consist only of `S`, `K`, and `I` (plus parentheses).
195 (Fussy note: this translation algorithm builds intermediate expressions that combine lambdas with primitive combinators.  For instance, the translation of our boolean `false` (`\x y. y`) is `[\x [\y. y]] = [\x. I] = KI`.  In the intermediate stage, we have `\x. I`, which has a combinator in the body of a lambda abstract.  It's possible to avoid this if you want to,  but it takes some careful thought.  See, e.g., Barendregt 1984, page 156.)
197 Various, slightly differing translation schemes from Combinatory Logic to the
198 Lambda Calculus are also possible. These generate different metatheoretical
199 correspondences between the two calculi. Consult Hindley and Seldin for
200 details.
202 Also, note that the combinatorial proof theory needs to be
203 strengthened with axioms beyond anything we've here described in order to make
204 [M] convertible with [N] whenever the original lambda-terms M and N are
205 convertible.  But then, we've been a bit cavalier about giving the full set of
206 reduction rules for the Lambda Calculus in a similar way.  <!-- FIXME -->
208 For instance, one
209 issue we mentioned in the notes on [[Reduction Strategies|week3_reduction_strategies]] is whether reduction rules (in either the Lambda Calculus or Combinatory Logic) apply to embedded expressions.  Often, we do want that to happen, but
210 making it happen requires adding explicit axioms.
212 Let's check that the translation of the `false` boolean behaves as expected by feeding it two arbitrary arguments:
214     KIXY ~~> IY ~~> Y
216 Throws away the first argument, returns the second argument---yep, it works.
218 Here's a more elaborate example of the translation.  Let's say we want to establish that combinators can reverse order, so we use the **T** combinator (`\x y. y x`):
220     [\x y. y x] =
221     [\x [\y. y x]] =
222     [\x. S [\y. y] [\y. x]] =
223     [\x. (SI) (K x)] =
224     S [\x. SI] [\x. K x] =
225     S (K(SI)) (S [\x. K] [\x. x]) =
226     S (K(SI)) (S(KK)I)
228 We can test this translation by seeing if it behaves like the original lambda term does.
229 The orginal lambda term lifts its first argument (think of it as reversing the order of its two arguments):
231     S (K(SI)) (S(KK)I) X Y ~~>
232     (K(SI))X ((S(KK)I) X) Y ~~>
233     SI ((KK)X (IX)) Y ~~>
234     SI (K X) Y ~~>
235     IY (KXY) ~~>
236     Y X
238 Voilà: the combinator takes any X and Y as arguments, and returns Y applied to X.
240 One very nice property of Combinatory Logic is that there is no need to worry about alphabetic variance, or
241 variable collision---since there are no (bound) variables, there is no possibility of accidental variable capture,
242 and so reduction can be performed without any fear of variable collision.  We haven't mentioned the intricacies of
243 alpha equivalence or safe variable substitution, but they are in fact quite intricate.  (The best way to gain
244 an appreciation of that intricacy is to write a program that performs lambda reduction.)
246 Back to linguistic applications: one consequence of the equivalence between the Lambda Calculus and Combinatory
247 Logic is that anything that can be done by binding variables can just as well be done with combinators.
248 This has given rise to a style of semantic analysis called Variable-Free Semantics (in addition to
249 Szabolcsi's papers, see, for instance,
250 Pauline Jacobson's 1999 *Linguistics and Philosophy* paper, "Towards a variable-free Semantics").
252 Somewhat ironically, reading strings of combinators is so difficult that most practitioners of variable-free semantics
253 express their meanings using the Lambda Calculus rather than Combinatory Logic. Perhaps they should call their
254 enterprise *Free Variable*-Free Semantics.
256 A philosophical connection: Quine went through a phase in which he developed a variable-free logic.
258 > Quine, Willard. 1960. "Variables explained away" <cite>Proceedings of the American Philosophical Society</cite>.  Volume 104: 343--347.  Also in W. V. Quine.  1960. <cite>Selected Logical Papers</cite>.  Random House: New York.  227--235.
260 The reason this was important to Quine is similar to the worry that using
261 non-referring expressions such as `Santa Claus` might commit one to believing in
262 non-existent things.  Quine's slogan was that "to be is to be the value of a
263 variable."  What this was supposed to mean is that if and only if an object
264 could serve as the value of some variable, we are committed to recognizing the
265 existence of that object in our ontology.  Obviously, if there *are* no
266 variables, this slogan has to be rethought.
268 Quine did not appear to appreciate that Shoenfinkel had already invented Combinatory Logic, though
269 he later wrote an introduction to Shoenfinkel's key paper reprinted in Jean
270 van Heijenoort (ed) 1967 <cite>From Frege to Goedel, a source book in mathematical logic, 1879--1931</cite>.
272 Cresswell also developed a variable-free approach of some philosophical and linguistic interest
273 in two books in the 1990s.
275 A final linguistic application: Steedman's Combinatory Categorial Grammar, where the "Combinatory" is
276 from Combinatory Logic (see especially his 2012 book, <cite>Taking Scope</cite>).  Steedman attempts to build
277 a syntax/semantics interface using a small number of combinators, including `T` (`\x y. y x`), `B` (`\f g x. f (g x)`),
278 and our friend `S`.  Steedman used Smullyan's fanciful bird
279 names for these combinators: Thrush, Bluebird, and Starling.
281 Many of these combinatory logics, in particular, the SKI system,
282 are Turing Complete. In other words: every computation we know how to describe can be represented in a logical system consisting of only primitive combinators, even some systems with only a *single* primitive combinator.
283 <!-- FIXME -->
285 ###A connection between Combinatory Logic and Sentential Logic###
287 The combinators `K` and `S` correspond to two well-known axioms of sentential logic:
289     AK: A ⊃ (B ⊃ A)
290     AS: (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))
292 When these two axiom schemas are combined with the rule of modus ponens (from `A` and `A ⊃ B`, conclude `B`), the resulting proof system
293 is complete for the "implicational fragment" of intuitionistic logic. (That is, the part of intuitionistic logic you get when `⊃` is your only connective. To get a complete proof system for *classical* sentential logic, you
294 need only add one more axiom schema, constraining the behavior of a new connective `¬`.)
295 The way we'll favor viewing the relationship between these axioms
296 and the `S` and `K` combinators is that the axioms correspond to *type
297 schemas* for the combinators. This will become more clear once we have
298 a theory of types in view.
300 Here's more to read about Combinatory Logic. Surely the most entertaining exposition is Smullyan's [[!wikipedia To_Mock_a_Mockingbird]].
301 Other sources include:
303 *   [[!wikipedia Combinatory logic]] at Wikipedia
304 *   [Combinatory logic](http://plato.stanford.edu/entries/logic-combinatory/) at the Stanford Encyclopedia of Philosophy
305 *   [[!wikipedia SKI combinatory calculus]]
306 *   [[!wikipedia B,C,K,W system]]
307 *   [Chris Barker's Iota and Jot](http://semarch.linguistics.fas.nyu.edu/barker/Iota/)
308 *   Jeroen Fokker, "The Systematic Construction of a One-combinator Basis for Lambda-Terms" <cite>Formal Aspects of Computing</cite> 4 (1992), pp. 776-780. <http://people.cs.uu.nl/jeroen/article/combinat/combinat.ps>