1 #What is computation?#
3 The folk notion of computation involves taking a complicated
4 expression and replacing it with an equivalent simpler expression.
6     3 + 4 == 7
8 This equation can be interpreted as expressing the thought that the
9 complex expression `3 + 4` evaluates to `7`.  The evaluation of the
10 expression computing a sum.  There is a clear sense in which the
11 expression `7` is simpler than the expression `3 + 4`: `7` is
12 syntactically simple, and `3 + 4` is syntactically complex.
14 Now let's take this folk notion of computation, and put some pressure
15 on it.
17 ##Church arithmetic##
19 In our system of computing with Church encodings, we have the
20 following representations:
22     3 :=  \f z . f (f (f z))
23     4 :=  \f z . f (f (f (f z)))
24     7 :=  \f z . f (f (f (f (f (f (f z))))))
26 [By the way, those of you who did the extra credit problem on homework
27 2, solving the reverse function with Oleg's holes---do you see the
28 resemblance?]
30 The addition of 3 and 4, then, clearly needs to just tack 4's string
31 of f's onto the end of 3's string of f's.  This suggests the following
32 implementation of the arithmetic addition:
34     + := \lrfz.lf(rfz)
36     + 3 4 == (\lrfz.lf(rfz)) 3 4
37           ~~> \fz.3f(4fz)
38           ==  \fz.(\fz.f(f(fz))) f (4fz)
39           ~~> \fz.f(f(f(4fz)))
40           ==  \fz.f(f(f((\fz.f(f(f(fz))) f z))))
41           ~~> \fz.f(f(f(f(f(f(fz))))))
42           ==  7
44 as desired.  Is there still a sense in which the encoded version of `3
45 + 4` is simpler than the encoded version of `7`?  Well, yes: once the
46 numerals `3` and `4` have been replaced with their encodings, the
47 encoding of `3 + 4` contains more symbols than the encoding of `7`.
49 But now consider multiplication:
51     * := \lrf.l(rf)
52     * 3 4 :=  (\lrf.l(rf)) 3 4
53           ~~> (\rf.3(rf)) 4
54           ~~> \f.3(4f)
55           ==  \f.(\fz.f(f(fz)))(4f)
56           ~~> \fz.(4f)((4f)((4f)z))
57           ==  \fz.((\fz.f(f(f(fz))))f) (((\fz.f(f(f(fz))))f) (((\fz.f(f(f(fz))))f) z))
58           ~~> \fz.((\z.f(f(f(fz)))) ((\z.f(f(f(fz)))) ((\z.f(f(f(fz))))z)))
59           ~~> \fz.((\z.f(f(f(fz)))) ((\z.f(f(f(fz)))) (f(f(f(fz))))))
60           ~~> \fz.((\z.f(f(f(fz)))) (f(f(f(f(f(f(f(fz)))))))))
61           ~~> \fz.f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(fz)))))))))))
62           ==  12
64 Is the final result simpler?  This time, the answer is not so straightfoward.
65 Compare the starting expression with the final expression:
67         *           3             4
68         (\lrf.l(rf))(\fz.f(f(fz)))(\fz.f(f(f(fz))))
69     ~~> 12
70         (\fz.f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(fz))))))))))))
72 And if we choose different numbers, the result is even less clear:
74         *           3             6
75         (\lrf.l(rf))(\fz.f(f(fz)))(\fz.f(f(f(f(f(fz))))))
76     ~~> 18
77         (\fz.f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(fz))))))))))))))))))
79 On the on hand, there are more symbols in the encoding of `18` than in
80 the encoding of `* 3 6`.  On the other hand, there is more complexity
81 (speaking pre-theoretically) in the encoding of `* 3 6`, since the
82 encoding of `18` is just a uniform sequence of nested `f`'s.
84 This example shows that computation can't be just simplicity as
85 measured by the number of symbols in the representation.  There is
86 still some sense in which the evaluated expression is simpler, but the
87 right way to characterize simpler is elusive.
89 One possibility is to define simpler in terms of irreversability.  The
90 reduction rules of the lambda calculus define an asymmetric relation
91 over terms: for any given redex, there is a unique reduced term (up to
92 alphabetic variance).  But for any given term, there are many redexes
93 that reduce to that term.
95     ((\x.xx)y) ~~> yy
96     ((\xx)yy) ~~> yy
97     (y((\xx)y)) ~~> yy
98     etc.
100 In the arithmetic example, there is only one number that corresponds
101 to the sum of 3 and 4 (namely, 7).  But there are many sums that add
102 up to 7: 3+4, 4+3, 5+2, 2+5, 6+1, 1+6, etc.
104 So the unevaluated expression contains information that is missing
105 from the evaluated value: information about *how* that value was
106 arrived at.  So this suggests the following way of thinking about what
107 counts as evaluated:
109     Given two expressions such that one reduced to the other,
110     the more evaluated one is the one that contains less information.
112 This definition is problematic, though, if we try to define the amount
113 of information using, say, [[!wikipedia Komolgorov complexity]].
115 Ultimately, we have to decide that the reduction rules determine what
116 counts as evaluated.  If we're lucky, that will align well with our
117 intuitive desires about what should count as simpler.  But we're not
118 always lucky.  In particular, although beta reduction in general lines
119 up well with our intuitive sense of simplification, there are
120 pathological examples where the results do not align so well:
122     (\x.xx)(\x.xx) ~~> (\x.xx)(\x.xx) ~~> (\x.xx)(\x.xx)
124 In this example, reduction returns the exact same lambda term.  There
125 is no simplification at all.
127     (\x.xxx)(\x.xxx) ~~> ((\x.xxxx)(\x.xxxx)(\x.xxxx))
129 Even worse, in this case, the "reduced" form is longer and more
130 complex by any measure.
132 These are some of the deeper issues to keep in mind as we discuss the
133 ins and outs of reduction strategies.