1 Evaluation Strategies and Normalization
2 =======================================
4 In the assignment we asked you to reduce various expressions until it wasn't possible to reduce them any further. For two of those expressions, this was impossible to do. One of them was this:
6         (\x. x x) (\x. x x)
8 As we saw above, each of the halves of this formula are the combinator <code>&omega;</code>; so this can also be written:
10 <pre><code>&omega; &omega;</code></pre>
12 This compound expression---the self-application of <code>&omega;</code>---is named &Omega;. It has the form of an application of an abstract (<code>&omega;</code>) to an argument (which also happens to be <code>&omega;</code>), so it's a redex and can be reduced. But when we reduce it, we get <code>&omega; &omega;</code> again. So there's no stage at which this expression has been reduced to a point where it can't be reduced any further. In other words, evaluation of this expression "never terminates." (This is the standard language, however it has the unfortunate connotation that evaluation is a process or operation that is performed in time. You shouldn't think of it like that. Evaluation of this expression "never terminates" in the way that the decimal expansion of &pi; never terminates. These are static, atemporal facts about their mathematical properties.)
14 There are infinitely many formulas in the lambda calculus that have this same property. &Omega; is the syntactically simplest of them. In our meta-theory, it's common to assign such formulas a special value, <big><code>&perp;</code></big>, pronounced "bottom." When we get to discussing types, you'll see that this value is counted as belonging to every type. To say that a formula has the bottom value means that the computation that formula represents never terminates and so doesn't evaluate to any orthodox, computed value.
16 From a "Fregean" or "weak Kleene" perspective, if any component of an expression fails to be evaluable (to an orthodox, computed value), then the whole expression should be unevaluable as well.
18 However, in some such cases it seems *we could* sensibly carry on evaluation. For instance, consider:
20 <pre><code>
21 (\x. y) (&omega; &omega;)
22 </code></pre>
24 Should we count this as unevaluable, because the reduction of <code>(&omega; &omega;)</code> never terminates? Or should we count it as evaluating to `y`?
26 This question highlights that there are different choices to make about how evaluation or computation proceeds. It's helpful to think of three questions in this neighborhood:
28 >       Q1. When arguments are complex, as <code>(&omega; &omega;)</code> is, do we reduce them before substituting them into the abstracts to which they are arguments, or later?
30 >       Q2. Are we allowed to reduce inside abstracts? That is, can we reduce:
32 >               (\x y. x z) (\x. x)
34 >       only this far:
36 >               \y. (\x. x) z
38 >       or can we continue reducing to:
40 >               \y. z
42 >       Q3. Are we allowed to "eta-reduce"? That is, can we reduce expressions of the form:
44 >               \x. M x
46 >       where x does not occur free in `M`, to `M`?
48 With regard to Q3, it should be intuitively clear that `\x. M x` and
49 `M` will behave the same with respect to any arguments they are
50 given. It can also be proven that no other functions can behave
51 differently with respect to them (that is, no function can behave
52 differently depending on whether its argument is `M` versus `\x. M
53 x`).  However, the logical system you get when eta-reduction is added
54 to the proof theory is importantly different from the one where only
55 beta-reduction is permitted.
57 If we answer Q2 by permitting reduction inside abstracts, and we also permit eta-reduction, then where none of <code>y<sub>1</sub>, ..., y<sub>n</sub></code> occur free in M, this:
59 <pre><code>\x y<sub>1</sub>... y<sub>n</sub>. M y<sub>1</sub>... y<sub>n</sub></code></pre>
61 will eta-reduce by n steps to:
63         \x. M
65 When we add eta-reduction to our proof system, we end up reconstruing the meaning of `~~>` and `<~~>` and "normal form", all in terms that permit eta-reduction as well. Sometimes these expressions will be annotated to indicate whether only beta-reduction is allowed (<code>`~~>`<sub>&beta;</sub></code>) or whether both beta- and eta-reduction is allowed (<code>`~~>`<sub>&beta;&eta;</sub></code>).
67 The logical system you get when eta-reduction is added to the proof system has the following property:
69 >       if `M`, `N` are normal forms with no free variables, then <code>M &equiv; N</code> iff `M` and `N` behave the same with respect to every possible sequence of arguments.
71 This implies that, when `M` and `N` are (closed normal forms that are) syntactically distinct, there will always be some sequences of arguments <code>L<sub>1</sub>, ..., L<sub>n</sub></code> such that:
73 <pre><code>M L<sub>1</sub> ... L<sub>n</sub> x y ~~> x
74 N L<sub>1</sub> ... L<sub>n</sub> x y ~~> y
75 </code></pre>
77 So closed beta-plus-eta-normal forms will be syntactically different iff they yield different values for some arguments. That is, iff their extensions differ.
79 So the proof theory with eta-reduction added is called "extensional," because its notion of normal form makes syntactic identity of closed normal forms coincide with extensional equivalence.
81 See Hindley and Seldin, Chapters 7-8 and 14, for discussion of what should count as capturing the "extensionality" of these systems, and some outstanding issues.
84 The evaluation strategy which answers Q1 by saying "reduce arguments first" is known as **call-by-value**. The evaluation strategy which answers Q1 by saying "substitute arguments in unreduced" is known as **call-by-name** or **call-by-need** (the difference between these has to do with efficiency, not semantics).
86 When one has a call-by-value strategy that also permits reduction to continue inside unapplied abstracts, that's known as "applicative order" reduction. When one has a call-by-name strategy that permits reduction inside abstracts, that's known as "normal order" reduction. Consider an expression of the form:
88         ((A B) (C D)) (E F)
90 Its syntax has the following tree:
92           ((A B) (C D)) (E F)
93                    /     \
94                   /       \
95         ((A B) (C D))  \
96                 /\        (E F)
97            /  \        /\
98           /    \      E  F
99         (A B) (C D)
100          /\    /\
101         /  \  /  \
102         A   B C   D
104 Applicative order evaluation does what's called a "post-order traversal" of the tree: that is, we always go down when we can, first to the left, and we process a node only after processing all its children. So `(C D)` gets processed before `((A B) (C D))` does, and `(E F)` gets processed before `((A B) (C D)) (E F)` does.
106 Normal order evaluation, on the other hand, will substitute the expresion `(C D)` into the abstract that `(A B)` evaluates to, without first trying to compute what `(C D)` evaluates to. That computation may be done later.
108 With normal-order evaluation (or call-by-name more generally), if we have an expression like:
110         (\x. y) (C D)
112 the computation of `(C D)` won't ever have to be performed. Instead, `(\x. y) (C D)` reduces directly to `y`. This is so even if `(C D)` is the non-evaluable <code>(&omega; &omega;)</code>!
114 Call-by-name evaluation is often called "lazy." Call-by-value evaluation is also often called "eager" or "strict". Some authors say these terms all have subtly different technical meanings, but I haven't been able to figure out what it is. Perhaps the technical meaning of "strict" is what I above called the "Fregean" or "weak Kleene" perspective: if any argument of a function is non-evaluable or non-normalizing, so too is the application of the function to that argument.
117 Most programming languages, including Scheme and OCaml, use the call-by-value evaluation strategy. (But they don't permit evaluation to continue inside an unappplied function.) There are techniques for making them model call-by-name evaluation, when necessary. But by default, arguments will always be evaluated before being bound to the parameters (the `\x`s) of a function.
119 For languages like Scheme that permit functions to take more than one argument at a time, a further question arises: whether the multiple arguments are evaluated left-to-right, or right-to-left, or nothing is guaranteed about what order they are evaluated in. Different languages make different choices about this.
121 Some functional programming languages, such as Haskell, use the call-by-name evaluation strategy.
123 The lambda calculus can be evaluated either way. You have to decide what the rules shall be.
125 As we'll see in several weeks, there are techniques for *forcing* call-by-value evaluation of a computation, and also techniques for forcing call-by-name evaluation. If you liked, you could even have a nested hierarchy, where blocks at each level were forced to be evaluated in alternating ways.
127 Call-by-value and call-by-name have different pros and cons.
129 One important advantage of normal-order evaluation in particular is
130 that it can compute orthodox values for <code>(\x. y) (&omega;
131 &omega;)</code>.
133 To see how normal-order evaluation delivers a normal
134 form, consider all conceivable evaluation paths of the following term:
136 <pre>
137 (\x.I)((\x.xxx)(\x.xxx))
138  |      \
139  I       (\x.w)((\x.xxx)(\x.xxx)(\x.xxx))
140           /      \
141          I        (\x.w)((\x.xxx)(\x.xxx)(\x.xxx)(\x.xxx))
142                    /       \
143                   I         etc.
144 </pre>
146 If we start by evaluating the leftmost redex, we're done in one step.
147 If we unwisely start by evaluating the rightmost redex, we arrive at a
148 term that still has two redexes.  Once again, we have a choice: either
149 reduce the leftmost redex, in which case we're done.  Or reduce the
150 rightmost redex, creating an even longer term.  Clearly, in this
151 situation, we want to prioritize reducing the leftmost redex in order
152 to arrive at a stable result more quickly.
154 Indeed, it's provable that if there's *any* reduction path that delivers a value for a given expression, the normal-order evalutation strategy will terminate with that value.
156 An expression is said to be in **normal form** when it's not possible to perform any more reductions (not even inside abstracts).
157 There's a sense in which you *can't get anything more out of* <code>&omega; &omega;</code>, but it's not in normal form because it still has the form of a redex.
159 A computational system is said to be **confluent**, or to have the **Church-Rosser** or **diamond** property, if, whenever there are multiple possible evaluation paths, those that terminate always terminate in the same value. In such a system, the choice of which sub-expressions to evaluate first will only matter if some of them but not others might lead down a non-terminating path.
161 The diamond property is named after the shape of diagrams like the following:
163 <pre>
164                      ((\x.x)((\y.y) z))
165                        /      \
166                       /        \
167                      /          \
168                     /            \
169                     ((\y.y) z)   ((\x.x) z)
170                       \             /
171                        \           /
172                         \         /
173                          \       /
174                           \     /
175                            \   /
176                              z
177 </pre>
179 Because the starting term contains more than one redex, we can imagine
180 reducing the leftmost redex first (the left branch of the diagram) or
181 else the rightmost redex (the right branch of the diagram).  But
182 because the lambda calculus is confluent, no matter which lambda you
183 choose to target for reduction first, you end up at the same place.
184 It's like travelling in Manhattan: if you walk uptown first and then
185 head east, you end up in the same place as if you walk east and then
188 The untyped lambda calculus is confluent. So long as a computation terminates, it always terminates in the same way. It doesn't matter which order the sub-expressions are evaluated in.
190 A computational system is said to be **strongly normalizing** if every permitted evaluation path is guaranteed to terminate. The untyped lambda calculus is not strongly normalizing: <code>&omega; &omega;</code> doesn't terminate by any evaluation path; and <code>(\x. y) (&omega; &omega;)</code> terminates only by some evaluation paths but not by others.
192 But the untyped lambda calculus enjoys some compensation for this weakness. It's Turing complete! It can represent any computation we know how to describe. (That's the cash value of being Turing complete, not the rigorous definition. There is a rigrous definition. However, we don't know how to rigorously define "any computation we know how to describe.") And in fact, it's been proven that you can't have both. If a computational system is Turing complete, it cannot be strongly normalizing.
194 A computational system is said to be **weakly normalizing** if there's always guaranteed to be *at least one* evaluation path that terminates. The untyped lambda calculus is not weakly normalizing either, as we've seen.
196 The *typed* lambda calculus that linguists traditionally work with, on the other hand, is strongly normalizing. (And as a result, is not Turing complete.) It has expressive power (concerning types) that the untyped lambda calculus lacks, but it is also unable to represent some (terminating!) computations that the untyped lambda calculus can represent.
198 Other more-powerful type systems we'll look at in the course will also fail to be Turing complete, though they will turn out to be pretty powerful.
202 *       [[!wikipedia Evaluation strategy]]
203 *       [[!wikipedia Eager evaluation]]
204 *       [[!wikipedia Lazy evaluation]]
205 *       [[!wikipedia Strict programming language]]<p>
206 *       [[!wikipedia Church-Rosser theorem]]
207 *       [[!wikipedia Normalization property]]
208 *       [[!wikipedia Turing completeness]]
211 Decidability
212 ============
214 The question whether two formulas are syntactically equal is "decidable": we can construct a computation that's guaranteed to always give us the answer.
216 What about the question whether two formulas are convertible? Well, to answer that, we just need to reduce them to normal form, if possible, and check whether the results are syntactically equal. The crux is that "if possible." Some computations can't be reduced to normal form. Their evaluation paths never terminate. And if we just kept trying blindly to reduce them, our computation of what they're convertible to would also never terminate.
218 So it'd be handy to have some way to check in advance whether a formula has a normal form: whether there's any evaluation path for it that terminates.
220 Is it possible to do that? Sure, sometimes. For instance, check whether the formula is syntactically equal to &Omega;. If it is, it never terminates.
222 But is there any method for doing this in general---for telling, of any given computation, whether that computation would terminate? Unfortunately, there is not. Church proved this in 1936; Turing also essentially proved it at the same time. Geoff Pullum gives a very reader-friendly outline of the proofs here:
224 *       [Scooping the Loop Snooper](http://www.cl.cam.ac.uk/teaching/0910/CompTheory/scooping.pdf), a proof of the undecidability of the halting problem in the style of Dr Seuss by Geoffrey K. Pullum
226 Interestingly, Church also set up an association between the lambda calculus and first-order predicate logic, such that, for arbitrary lambda formulas `M` and `N`, some formula would be provable in predicate logic iff `M` and `N` were convertible. So since the right-hand side is not decidable, questions of provability in first-order predicate logic must not be decidable either. This was the first proof of the undecidability of first-order predicate logic.
228 ## Efficiency
230 Which evaluation strategy you adopt has implications not only for
231 decidability and termination, but for efficiency.  (Later in the
232 course, it will have implications for the order in which side effects
233 occur.)
235 <pre>
236                       ((\x.w)((\y.y) z))
237                         \      \
238                          \      ((\x.w) z)
239                           \       /
240                            \     /
241                             \   /
242                              \ /
243                               w
244 </pre>
246 If a function discards its argument, as `\x.w` does, it makes sense to
247 prioritize redexes in which that function serves as the head, rather
248 than wasting effort reducing the argument only to have the result of
249 all that work thrown away.  So in this situation, the strategy of
250 "always reduce the leftmost reducible lambda" is more efficient.
252 But:
254 <pre>
255                         ((\x.xx)((\y.y) z))
256                           /       \
257      (((\y.y) z)((\y.y) z)         ((\x.xx) z)
258         /         |                  /
259        /          (((\y.y)z)z)      /
260       /              |             /
261      /               |            /
262     /                |           /
263     (z ((\y.y)z))    |          /
264          \           |         /
265           -----------.---------
266                      |
267                      zz
268 </pre>
270 This time, the leftmost function `\x.xx` copies its argument.
271 If we reduce the rightmost lambda first (rightmost branch of the
272 diagram), the argument is already simplified before we do the
273 copying.  We arrive at the normal form (i.e., the form that cannot be
274 further reduced) in two steps.
276 But if we reduce the rightmost lambda first (the two leftmost branches
277 of the diagram), we copy the argument before it has been evaluated.
278 In effect, when we copy the unreduced argument, we double the amount
279 of work we need to do to deal with that argument.
281 So when the function copies its argument, the "always reduce the
282 rightmost reducible lambda" is more efficient.
284 So evaluation strategies have a strong effect on how many reduction
285 steps it takes to arrive at a stopping point (e.g., normal form).