1 Combinators and Combinatorial Logic
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4 Lambda expressions that have no free variables are known as **combinators**. Here are some common ones:
6 >       **I** is defined to be `\x x`
8 >       **K** is defined to be `\x y. x`. That is, it throws away its
9            second argument. So `K x` is a constant function from any
10            (further) argument to `x`. ("K" for "constant".) Compare K
11            to our definition of `true`.
13 >       **S** is defined to be `\f g x. f x (g x)`.  This is a more
14           complicated operation, but is extremely versatile and useful
15           (see below): it copies its third argument and distributes it
16           over the first two arguments.
18 >       **get-first** was our function for extracting the first element of an ordered pair: `\fst snd. fst`. Compare this to K and `true` as well.
20 >       **get-second** was our function for extracting the second element of an ordered pair: `\fst snd. snd`. Compare this to our definition of `false`.
22 >       **B** is defined to be: `\f g x. f (g x)`. (So `B f g` is the composition `\x. f (g x)` of `f` and `g`.)
24 >   **C** is defined to be: `\f x y. f y x`. (So `C f` is a function like `f` except it expects its first two arguments in swapped order.)
26 >   **W** is defined to be: `\f x . f x x`. (So `W f` accepts one argument and gives it to `f` twice. What is the meaning of `W multiply`?)
28 >       **&omega;** (that is, lower-case omega) is defined to be: `\x. x x`
30 It's possible to build a logical system equally powerful as the lambda calculus (and readily intertranslatable with it) using just combinators, considered as atomic operations. Such a language doesn't have any variables in it: not just no free variables, but no variables at all.
32 One can do that with a very spare set of basic combinators. These days
33 the standard base is just three combinators: S, K, and I.
34 (Though we'll see shortly that the behavior of I can be exactly
35 simulated by a combination of S's and K's.)  But it's possible to be
36 even more minimalistic, and get by with only a single combinator (see
37 links below for details). (And there are different single-combinator
38 bases you can choose.)
40 There are some well-known linguistic applications of Combinatory
41 Logic, due to Anna Szabolcsi, Mark Steedman, and Pauline Jacobson.
42 They claim that natural language semantics is a combinatory system: that every
43 natural language denotation is a combinator.
45 For instance, Szabolcsi 1987 argues that reflexive pronouns are argument
46 duplicators.
48     everyone   hit           himself
49     S/(S!NP)   (S!NP)/NP     (S!NP)!((S!NP)/NP)
50     \fAx[fx]   \y\z[HIT y z] \h\u[huu]
51                ---------------------------------
52                       S!NP     \u[HIT u u]
53     --------------------------------------------
54                       S        Ax[HIT x x]
56 Here, "A" is our crude markdown approximation of the universal quantifier.
57 Notice that the semantic value of *himself* is exactly `W`.
58 The reflexive pronoun in direct object position combines with the transitive verb.  The result is an intransitive verb phrase that takes a subject argument, duplicates that argument, and feeds the two copies to the transitive verb meaning.
60 Note that `W <~~> S(CI)`:
62 <pre><code>S(CI) &equiv;
63 S((\fxy.fyx)(\x.x)) ~~>
64 S(\xy.(\x.x)yx) ~~>
65 S(\xy.yx) &equiv;
66 (\fgx.fx(gx))(\xy.yx) ~~>
67 \gx.(\xy.yx)x(gx) ~~>
68 \gx.(gx)x &equiv;
69 W</code></pre>
71 Ok, here comes a shift in thinking.  Instead of defining combinators as equivalent to certain lambda terms,
72 we can define combinators by what they do.  If we have the I combinator followed by any expression X,
73 I will take that expression as its argument and return that same expression as the result.  In pictures,
75     IX ~~> X
77 Thinking of this as a reduction rule, we can perform the following computation
79     II(IX) ~~> IIX ~~> IX ~~> X
81 The reduction rule for K is also straightforward:
83     KXY ~~> X
85 That is, K throws away its second argument.  The reduction rule for S can be constructed by examining
86 the defining lambda term:
88 <pre><code>S &equiv; \fgx.fx(gx)</code></pre>
90 S takes three arguments, duplicates the third argument, and feeds one copy to the first argument and the second copy to the second argument.  So:
92     SFGX ~~> FX(GX)
94 If the meaning of a function is nothing more than how it behaves with respect to its arguments,
95 these reduction rules capture the behavior of the combinators S, K, and I completely.
96 We can use these rules to compute without resorting to beta reduction.
98 For instance, we can show how the I combinator is equivalent to a
99 certain crafty combination of Ss and Ks:
101     SKKX ~~> KX(KX) ~~> X
103 So the combinator `SKK` is equivalent to the combinator I.
105 These reduction rule have the same status with respect to Combinatory
106 Logic as beta reduction and eta reduction, etc., have with respect to
107 the lambda calculus: they are purely syntactic rules for transforming
108 one sequence of symbols (e.g., a redex) into another (a reduced
109 form).  It's worth noting that the reduction rules for Combinatory
110 Logic are considerably more simple than, say, beta reduction.  Since
111 there are no variables in Combiantory Logic, there is no need to worry
114 Combinatory Logic is what you have when you choose a set of combinators and regulate their behavior with a set of reduction rules. As we said, the most common system uses S, K, and I as defined here.
116 ###The equivalence of the untyped lambda calculus and combinatory logic###
118 We've claimed that Combinatory Logic is equivalent to the lambda
119 calculus.  If that's so, then S, K, and I must be enough to accomplish
120 any computational task imaginable.  Actually, S and K must suffice,
121 since we've just seen that we can simulate I using only S and K.  In
122 order to get an intuition about what it takes to be Turing complete,
123 recall our discussion of the lambda calculus in terms of a text editor.
124 A text editor has the power to transform any arbitrary text into any other arbitrary text.  The way it does this is by deleting, copying, and reordering characters.  We've already seen that K deletes its second argument, so we have deletion covered.  S duplicates and reorders, so we have some reason to hope that S and K are enough to define arbitrary functions.
126 We've already established that the behavior of combinatory terms can
127 be perfectly mimicked by lambda terms: just replace each combinator
128 with its equivalent lambda term, i.e., replace I with `\x.x`, replace
129 K with `\fxy.x`, and replace S with `\fgx.fx(gx)`.  So the behavior of
130 any combination of combinators in Combinatory Logic can be exactly
131 reproduced by a lambda term.
133 How about the other direction?  Here is a method for converting an
134 arbitrary lambda term into an equivalent Combinatory Logic term using
135 only S, K, and I.  Besides the intrinsic beauty of this mapping, and
136 the importance of what it says about the nature of binding and
137 computation, it is possible to hear an echo of computing with
138 continuations in this conversion strategy (though you wouldn't be able
139 to hear these echos until we've covered a considerable portion of the
140 rest of the course).  In addition, there is a direct linguistic
141 appliction of this mapping in chapter 17 of Barker and Shan 2014,
142 where it is used to establish a correpsondence between two natural
143 language grammars, one of which is based on lambda-like abstraction,
144 the other of which is based on Combinatory Logic like manipulations.
146 Assume that for any lambda term T, [T] is the equivalent combinatory logic term.  The we can define the [.] mapping as follows:
148      1. [a]               a
149      2. [(M N)]           ([M][N])
150      3. [\a.a]            I
151      4. [\a.M]            KM                 assumption: a does not occur free in M
152      5. [\a.(M N)]        S[\a.M][\a.N]
153      6. [\a\b.M]          [\a[\b.M]]
155 It's easy to understand these rules based on what S, K and I do.  The first rule says
156 that variables are mapped to themselves.
157 The second rule says that the way to translate an application is to translate the
158 first element and the second element separately.
159 The third rule should be obvious.
160 The fourth rule should also be fairly self-evident: since what a lambda term such as `\x.y` does it throw away its first argument and return `y`, that's exactly what the combinatory logic translation should do.  And indeed, `Ky` is a function that throws away its argument and returns `y`.
161 The fifth rule deals with an abstract whose body is an application: the S combinator takes its next argument (which will fill the role of the original variable a) and copies it, feeding one copy to the translation of \a.M, and the other copy to the translation of \a.N.  This ensures that any free occurrences of a inside M or N will end up taking on the appropriate value.  Finally, the last rule says that if the body of an abstract is itself an abstract, translate the inner abstract first, and then do the outermost.  (Since the translation of [\b.M] will not have any lambdas in it, we can be sure that we won't end up applying rule 6 again in an infinite loop.)
163 [Fussy notes: if the original lambda term has free variables in it, so will the combinatory logic translation.  Feel free to worry about this, though you should be confident that it makes sense.  You should also convince yourself that if the original lambda term contains no free variables---i.e., is a combinator---then the translation will consist only of S, K, and I (plus parentheses).  One other detail: this translation algorithm builds expressions that combine lambdas with combinators.  For instance, the translation of our boolean false `\x.\y.y` is `[\x[\y.y]] = [\x.I] = KI`.  In the intermediate stage, we have `\x.I`, which mixes combinators in the body of a lambda abstract.  It's possible to avoid this if you want to,  but it takes some careful thought.  See, e.g., Barendregt 1984, page 156.]
165 [Various, slightly differing translation schemes from combinatorial
166 logic to the lambda calculus are also possible. These generate
167 different metatheoretical correspondences between the two
168 calculii. Consult Hindley and Seldin for details. Also, note that the
169 combinatorial proof theory needs to be strengthened with axioms beyond
170 anything we've here described in order to make [M] convertible with
171 [N] whenever the original lambda-terms M and N are convertible.  But
172 then, we've been a bit cavalier about giving the full set of reduction
173 rules for the lambda calculus in a similar way.  For instance, one
174 issue is whether reduction rules (in either the lambda calculus or
175 Combinatory Logic) apply to embedded expressions.  Generally, we want
176 that to happen, but making it happen requires adding explicit axioms.]
178 Let's check that the translation of the false boolean behaves as expected by feeding it two arbitrary arguments:
180     KIXY ~~> IY ~~> Y
182 Throws away the first argument, returns the second argument---yep, it works.
184 Here's a more elaborate example of the translation.  The goal is to establish that combinators can reverse order, so we use the **T** combinator, where  <code>T &equiv; \x\y.yx</code>:
186     [\x\y.yx] = [\x[\y.yx]] = [\x.S[\y.y][\y.x]] = [\x.(SI)(Kx)] = S[\x.SI][\x.Kx] = S(K(SI))(S[\x.K][\x.x]) = S(K(SI))(S(KK)I)
188 We can test this translation by seeing if it behaves like the original lambda term does.
189 The orginal lambda term lifts its first argument (think of it as reversing the order of its two arguments):
191         S(K(SI))(S(KK)I) X Y ~~>
192         (K(SI))X ((S(KK)I) X) Y ~~>
193         SI ((KK)X (IX)) Y ~~>
194         SI (KX) Y ~~>
195         IY (KXY) ~~>
196         Y X
198 Voil&agrave;: the combinator takes any X and Y as arguments, and returns Y applied to X.
200 One very nice property of combinatory logic is that there is no need to worry about alphabetic variance, or
201 variable collision---since there are no (bound) variables, there is no possibility of accidental variable capture,
202 and so reduction can be performed without any fear of variable collision.  We haven't mentioned the intricacies of
203 alpha equivalence or safe variable substitution, but they are in fact quite intricate.  (The best way to gain
204 an appreciation of that intricacy is to write a program that performs lambda reduction.)
206 Back to linguistic applications: one consequence of the equivalence between the lambda calculus and combinatory
207 logic is that anything that can be done by binding variables can just as well be done with combinators.
208 This has given rise to a style of semantic analysis called Variable Free Semantics (in addition to
209 Szabolcsi's papers, see, for instance,
210 Pauline Jacobson's 1999 *Linguistics and Philosophy* paper, "Towards a variable-free Semantics").
211 Somewhat ironically, reading strings of combinators is so difficult that most practitioners of variable-free semantics
212 express their meanings using the lambda-calculus rather than combinatory logic; perhaps they should call their
213 enterprise Free Variable Free Semantics.
215 A philosophical connection: Quine went through a phase in which he developed a variable free logic.
217   Quine, Willard. 1960. "Variables explained away" <cite>Proceedings of the American Philosophical Society</cite>.  Volume 104: 343--347.  Also in W. V. Quine.  1960. <cite>Selected Logical Papers</cite>.  Random House: New
218   York.  227--235.
220 The reason this was important to Quine is similar to the worries that Jim was talking about
221 in the first class in which using non-referring expressions such as Santa Claus might commit
222 one to believing in non-existant things.  Quine's slogan was that "to be is to be the value of a variable."
223 What this was supposed to mean is that if and only if an object could serve as the value of some variable, we
224 are committed to recognizing the existence of that object in our ontology.
225 Obviously, if there ARE no variables, this slogan has to be rethought.
227 Quine did not appear to appreciate that Shoenfinkel had already invented combinatory logic, though
228 he later wrote an introduction to Shoenfinkel's key paper reprinted in Jean
229 van Heijenoort (ed) 1967 <cite>From Frege to Goedel, a source book in mathematical logic, 1879--1931</cite>.
231 Cresswell has also developed a variable-free approach of some philosophical and linguistic interest
232 in two books in the 1990's.
234 A final linguistic application: Steedman's Combinatory Categorial Grammar, where the "Combinatory" is
235 from combinatory logic (see especially his 2000 book, <cite>The Syntactic Processs</cite>).  Steedman attempts to build
236 a syntax/semantics interface using a small number of combinators, including T &equiv; `\xy.yx`, B &equiv; `\fxy.f(xy)`,
237 and our friend S.  Steedman used Smullyan's fanciful bird
238 names for the combinators, Thrush, Bluebird, and Starling.
240 Many of these combinatory logics, in particular, the SKI system,
241 are Turing complete. In other words: every computation we know how to describe can be represented in a logical system consisting of only a single primitive operation!