1 Refunctionalizing zippers: from lists to continuations
2 ------------------------------------------------------
4 If zippers are continuations reified (defuntionalized), then one route
5 to continuations is to re-functionalize a zipper.  Then the
6 concreteness and understandability of the zipper provides a way of
7 understanding and equivalent treatment using continuations.
9 Let's work with lists of chars for a change.  To maximize readability, we'll
10 indulge in an abbreviatory convention that "abSd" abbreviates the
11 list `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`.
13 We will set out to compute a deceptively simple-seeming **task: given a
14 string, replace each occurrence of 'S' in that string with a copy of
15 the string up to that point.**
17 We'll define a function `t` (for "task") that maps strings to their
18 updated version.
20 Expected behavior:
22 <pre>
23 t "abSd" ~~> "ababd"
24 </pre>
27 In linguistic terms, this is a kind of anaphora
28 resolution, where `'S'` is functioning like an anaphoric element, and
29 the preceding string portion is the antecedent.
31 This deceptively simple task gives rise to some mind-bending complexity.
32 Note that it matters which 'S' you target first (the position of the *
33 indicates the targeted 'S'):
35 <pre>
36     t "aSbS"
37         *
38 ~~> t "aabS"
39           *
40 ~~> "aabaab"
41 </pre>
43 versus
45 <pre>
46     t "aSbS"
47           *
48 ~~> t "aSbaSb"
49         *
50 ~~> t "aabaSb"
51            *
52 ~~> "aabaaabab"
53 </pre>
55 versus
57 <pre>
58     t "aSbS"
59           *
60 ~~> t "aSbaSb"
61            *
62 ~~> t "aSbaaSbab"
63             *
64 ~~> t "aSbaaaSbaabab"
65              *
66 ~~> ...
67 </pre>
69 Aparently, this task, as simple as it is, is a form of computation,
70 and the order in which the `'S'`s get evaluated can lead to divergent
71 behavior.
73 For now, we'll agree to always evaluate the leftmost `'S'`, which
74 guarantees termination, and a final string without any `'S'` in it.
76 This is a task well-suited to using a zipper.  We'll define a function
77 `tz` (for task with zippers), which accomplishes the task by mapping a
78 char list zipper to a char list.  We'll call the two parts of the
79 zipper `unzipped` and `zipped`; we start with a fully zipped list, and
80 move elements to the zipped part by pulling the zipped down until the
81 entire list has been unzipped (and so the zipped half of the zipper is empty).
83 <pre>
84 type 'a list_zipper = ('a list) * ('a list);;
86 let rec tz (z:char list_zipper) =
87     match z with (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
88                | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
89                | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
91 # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
92 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
94 # tz ([], ['a'; 'S'; 'b'; 'S']);;
95 - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
96 </pre>
98 Note that this implementation enforces the evaluate-leftmost rule.
101 One way to see exactly what is going on is to watch the zipper in
102 action by tracing the execution of `tz`.  By using the `#trace`
103 directive in the Ocaml interpreter, the system will print out the
104 arguments to `tz` each time it is (recurcively) called.  Note that the
105 lines with left-facing arrows (`<--`) show (recursive) calls to `tz`,
106 giving the value of its argument (a zipper), and the lines with
107 right-facing arrows (`-->`) show the output of each recursive call, a
108 simple list.
110 <pre>
111 # #trace tz;;
112 t1 is now traced.
113 # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
114 tz <-- ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd'])
115 tz <-- (['a'], ['b'; 'S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
116 tz <-- (['b'; 'a'], ['S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
117 tz <-- (['b'; 'a'; 'b'; 'a'], ['d'])    (* Special step *)
118 tz <-- (['d'; 'b'; 'a'; 'b'; 'a'], [])  (* Pull zipper *)
119 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']        (* Output reversed *)
120 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
121 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
122 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
123 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
124 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
125 </pre>
127 The nice thing about computations involving lists is that it's so easy
128 to visualize them as a data structure.  Eventually, we want to get to
129 a place where we can talk about more abstract computations.  In order
130 to get there, we'll first do the exact same thing we just did with
131 concrete zipper using procedures.
133 Think of a list as a procedural recipe: `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`
134 is the result of the computation `a::(b::(S::(d::[])))` (or, in our old
135 style, `makelist a (makelist b (makelist S (makelist c empty)))`).
136 The recipe for constructing the list goes like this:
138 <pre>
139 (0)  Start with the empty list []
140 (1)  make a new list whose first element is 'd' and whose tail is the list constructed in step (0)
141 (2)  make a new list whose first element is 'S' and whose tail is the list constructed in step (1)
142 -----------------------------------------
143 (3)  make a new list whose first element is 'b' and whose tail is the list constructed in step (2)
144 (4)  make a new list whose first element is 'a' and whose tail is the list constructed in step (3)
145 </pre>
147 What is the type of each of these steps?  Well, it will be a function
148 from the result of the previous step (a list) to a new list: it will
149 be a function of type `char list -> char list`.  We'll call each step
150 (or group of steps) a **continuation** of the recipe.  So in this
151 context, a continuation is a function of type `char list -> char
152 list`.  For instance, the continuation corresponding to the portion of
153 the recipe below the horizontal line is the function `fun (tail:char
154 list) -> a::(b::tail)`.
156 This means that we can now represent the unzipped part of our
157 zipper--the part we've already unzipped--as a continuation: a function
158 describing how to finish building the list.  We'll write a new
159 function, `tc` (for task with continuations), that will take an input
160 list (not a zipper!) and a continuation and return a processed list.
161 The structure and the behavior will follow that of `tz` above, with
162 some small but interesting differences.  We've included the orginal
163 `tz` to facilitate detailed comparison:
165 <pre>
166 let rec tz (z:char list_zipper) =
167     match z with (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
168                | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
169                | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
171 let rec tc (l: char list) (c: (char list) -> (char list)) =
172   match l with [] -> List.rev (c [])
173              | 'S'::zipped -> tc zipped (fun x -> c (c x))
174              | target::zipped -> tc zipped (fun x -> target::(c x));;
176 # tc ['a'; 'b'; 'S'; 'd'] (fun x -> x);;
177 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b']
179 # tc ['a'; 'S'; 'b'; 'S'] (fun x -> x);;
180 - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
181 </pre>
183 To emphasize the parallel, I've re-used the names `zipped` and
184 `target`.  The trace of the procedure will show that these variables
185 take on the same values in the same series of steps as they did during
186 the execution of `tz` above.  There will once again be one initial and
187 four recursive calls to `tc`, and `zipped` will take on the values
188 `"bSd"`, `"Sd"`, `"d"`, and `""` (and, once again, on the final call,
189 the first `match` clause will fire, so the the variable `zipper` will
190 not be instantiated).
192 I have not called the functional argument `unzipped`, although that is
193 what the parallel would suggest.  The reason is that `unzipped` is a
194 list, but `c` is a function.  That's the most crucial difference, the
195 point of the excercise, and it should be emphasized.  For instance,
196 you can see this difference in the fact that in `tz`, we have to glue
197 together the two instances of `unzipped` with an explicit (and
198 relatively inefficient) `List.append`.
199 In the `tc` version of the task, we simply compose `c` with itself:
200 `c o c = fun x -> c (c x)`.
202 Why use the identity function as the initial continuation?  Well, if
203 you have already constructed the initial list `"abSd"`, what's the next
204 step in the recipe to produce the desired result, i.e, the very same
205 list, `"abSd"`?  Clearly, the identity continuation.
207 A good way to test your understanding is to figure out what the
208 continuation function `c` must be at the point in the computation when
209 `tc` is called with the first argument `"Sd"`.  Two choices: is it
210 `fun x -> a::b::x`, or it is `fun x -> b::a::x`?  The way to see if
211 you're right is to execute the following command and see what happens:
213     tc ['S'; 'd'] (fun x -> 'a'::'b'::x);;
215 There are a number of interesting directions we can go with this task.
216 The reason this task was chosen is because it can be viewed as a
217 simplified picture of a computation using continuations, where `'S'`
218 plays the role of a control operator with some similarities to what is
219 often called `shift`.  In the analogy, the input list portrays a
220 sequence of functional applications, where `[f1; f2; f3; x]` represents
221 `f1(f2(f3 x))`.  The limitation of the analogy is that it is only
222 possible to represent computations in which the applications are
223 always right-branching, i.e., the computation `((f1 f2) f3) x` cannot
224 be directly represented.
226 One possibile development is that we could add a special symbol `'#'`,
227 and then the task would be to copy from the target `'S'` only back to
228 the closest `'#'`.  This would allow the task to simulate delimited
229 continuations with embedded prompts.
231 The reason the task is well-suited to the list zipper is in part
232 because the list monad has an intimate connection with continuations.
233 The following section explores this connection.  We'll return to the