from_lists_to_continuations.mdwn

   1 Refunctionalizing zippers: from lists to continuations
   2 ------------------------------------------------------
   3
   4 If zippers are continuations reified (defuntionalized), then one route
   5 to continuations is to re-functionalize a zipper.  Then the
   6 concreteness and understandability of the zipper provides a way of
   7 understanding and equivalent treatment using continuations.
   8
   9 Let's work with lists of chars for a change.  To maximize readability, we'll
  10 indulge in an abbreviatory convention that "abSd" abbreviates the
  11 list `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`.
  12
  13 We will set out to compute a deceptively simple-seeming **task: given a
  14 string, replace each occurrence of 'S' in that string with a copy of
  15 the string up to that point.**
  16
  17 We'll define a function `t` (for "task") that maps strings to their
  18 updated version.
  19
  20 Expected behavior:
  21
  22 <pre>
  23 t "abSd" ~~> "ababd"
  24 </pre>
  25
  26
  27 In linguistic terms, this is a kind of anaphora
  28 resolution, where `'S'` is functioning like an anaphoric element, and
  29 the preceding string portion is the antecedent.
  30
  31 This simple task gives rise to considerable complexity.
  32 Note that it matters which 'S' you target first (the position of the *
  33 indicates the targeted 'S'):
  34
  35 <pre>
  36     t "aSbS"
  37         *
  38 ~~> t "aabS"
  39           *
  40 ~~> "aabaab"
  41 </pre>
  42
  43 versus
  44
  45 <pre>
  46     t "aSbS"
  47           *
  48 ~~> t "aSbaSb"
  49         *
  50 ~~> t "aabaSb"
  51            *
  52 ~~> "aabaaabab"
  53 </pre>
  54
  55 versus
  56
  57 <pre>
  58     t "aSbS"
  59           *
  60 ~~> t "aSbaSb"
  61            *
  62 ~~> t "aSbaaSbab"
  63             *
  64 ~~> t "aSbaaaSbaabab"
  65              *
  66 ~~> ...
  67 </pre>
  68
  69 Apparently, this task, as simple as it is, is a form of computation,
  70 and the order in which the `'S'`s get evaluated can lead to divergent
  71 behavior.
  72
  73 For now, we'll agree to always evaluate the leftmost `'S'`, which
  74 guarantees termination, and a final string without any `'S'` in it.
  75
  76 This is a task well-suited to using a zipper.  We'll define a function
  77 `tz` (for task with zippers), which accomplishes the task by mapping a
  78 char list zipper to a char list.  We'll call the two parts of the
  79 zipper `unzipped` and `zipped`; we start with a fully zipped list, and
  80 move elements from the zipped part to the unzipped part by pulling the
  81 zipper down until the entire list has been unzipped (at which point
  82 the zipped half of the zipper will be empty).
  83
  84 <pre>
  85 type 'a list_zipper = ('a list) * ('a list);;
  86
  87 let rec tz (z:char list_zipper) =
  88   match z with (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
  89              | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
  90              | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
  91
  92 # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
  93 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
  94
  95 # tz ([], ['a'; 'S'; 'b'; 'S']);;
  96 - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
  97 </pre>
  98
  99 Note that this implementation enforces the evaluate-leftmost rule.
 100 Task completed.
 101
 102 One way to see exactly what is going on is to watch the zipper in
 103 action by tracing the execution of `tz`.  By using the `#trace`
 104 directive in the Ocaml interpreter, the system will print out the
 105 arguments to `tz` each time it is (recursively) called.  Note that the
 106 lines with left-facing arrows (`<--`) show (recursive) calls to `tz`,
 107 giving the value of its argument (a zipper), and the lines with
 108 right-facing arrows (`-->`) show the output of each recursive call, a
 109 simple list.
 110
 111 <pre>
 112 # #trace tz;;
 113 t1 is now traced.
 114 # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
 115 tz <-- ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd'])
 116 tz <-- (['a'], ['b'; 'S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
 117 tz <-- (['b'; 'a'], ['S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
 118 tz <-- (['b'; 'a'; 'b'; 'a'], ['d'])    (* Special step *)
 119 tz <-- (['d'; 'b'; 'a'; 'b'; 'a'], [])  (* Pull zipper *)
 120 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']        (* Output reversed *)
 121 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 122 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 123 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 124 tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 125 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 126 </pre>
 127
 128 The nice thing about computations involving lists is that it's so easy
 129 to visualize them as a data structure.  Eventually, we want to get to
 130 a place where we can talk about more abstract computations.  In order
 131 to get there, we'll first do the exact same thing we just did with
 132 concrete zippers using procedures instead.
 133
 134 Think of a list as a procedural recipe: `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`
 135 is the result of the computation `a::(b::(S::(d::[])))` (or, in our old
 136 style, `makelist 'a' (makelist 'b' (makelist 'S' (makelist 'c' empty)))`).
 137 The recipe for constructing the list goes like this:
 138
 139 <pre>
 140 (0)  Start with the empty list []
 141 (1)  make a new list whose first element is 'd' and whose tail is the list constructed in step (0)
 142 (2)  make a new list whose first element is 'S' and whose tail is the list constructed in step (1)
 143 -----------------------------------------
 144 (3)  make a new list whose first element is 'b' and whose tail is the list constructed in step (2)
 145 (4)  make a new list whose first element is 'a' and whose tail is the list constructed in step (3)
 146 </pre>
 147
 148 What is the type of each of these steps?  Well, it will be a function
 149 from the result of the previous step (a list) to a new list: it will
 150 be a function of type `char list -> char list`.  We'll call each step
 151 (or group of steps) a **continuation** of the recipe.  So in this
 152 context, a continuation is a function of type `char list -> char
 153 list`.  For instance, the continuation corresponding to the portion of
 154 the recipe below the horizontal line is the function `fun (tail:char
 155 list) -> a::(b::tail)`.
 156
 157 This means that we can now represent the unzipped part of our zipper
 158 as a continuation: a function describing how to finish building the
 159 list.  We'll write a new function, `tc` (for task with continuations),
 160 that will take an input list (not a zipper!) and a continuation and
 161 return a processed list.  The structure and the behavior will follow
 162 that of `tz` above, with some small but interesting differences.
 163 We've included the orginal `tz` to facilitate detailed comparison:
 164
 165 <pre>
 166 let rec tz (z:char list_zipper) =
 167   match z with (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
 168              | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
 169              | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
 170
 171 let rec tc (l: char list) (c: (char list) -> (char list)) =
 172   match l with [] -> List.rev (c [])
 173              | 'S'::zipped -> tc zipped (fun x -> c (c x))
 174              | target::zipped -> tc zipped (fun x -> target::(c x));;
 175
 176 # tc ['a'; 'b'; 'S'; 'd'] (fun x -> x);;
 177 - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
 178
 179 # tc ['a'; 'S'; 'b'; 'S'] (fun x -> x);;
 180 - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
 181 </pre>
 182
 183 To emphasize the parallel, we've re-used the names `zipped` and
 184 `target`.  The trace of the procedure will show that these variables
 185 take on the same values in the same series of steps as they did during
 186 the execution of `tz` above.  There will once again be one initial and
 187 four recursive calls to `tc`, and `zipped` will take on the values
 188 `"bSd"`, `"Sd"`, `"d"`, and `""` (and, once again, on the final call,
 189 the first `match` clause will fire, so the the variable `zipper` will
 190 not be instantiated).
 191
 192 I have not called the functional argument `unzipped`, although that is
 193 what the parallel would suggest.  The reason is that `unzipped` (in
 194 `tz`) is a list, but `c` (in `tc`) is a function.  ('c' stands for
 195 'continuation', of course.)  That's the most crucial difference, the
 196 point of the excercise, and it should be emphasized.  For instance,
 197 you can see this difference in the fact that in `tz`, we have to glue
 198 together the two instances of `unzipped` with an explicit (and
 199 relatively computationally inefficient) `List.append`.  In the `tc`
 200 version of the task, we simply compose `c` with itself: `c o c = fun x
 201 -> c (c x)`.
 202
 203 Why use the identity function as the initial continuation?  Well, if
 204 you have already constructed the initial list `"abSd"`, what's the next
 205 step in the recipe to produce the desired result, i.e, the very same
 206 list, `"abSd"`?  Clearly, the identity continuation.
 207
 208 A good way to test your understanding is to figure out what the
 209 continuation function `c` must be at the point in the computation when
 210 `tc` is called with the first argument `"Sd"`.  Two choices: is it
 211 `fun x -> a::b::x`, or it is `fun x -> b::a::x`?  The way to see if
 212 you're right is to execute the following command and see what happens:
 213
 214     tc ['S'; 'd'] (fun x -> 'a'::'b'::x);;
 215
 216 There are a number of interesting directions we can go with this task.
 217 The reason this task was chosen is because it can be viewed as a
 218 simplified picture of a computation using continuations, where `'S'`
 219 plays the role of a control operator with some similarities to what is
 220 often called `shift`.  In the analogy, the input list portrays a
 221 sequence of functional applications, where `[f1; f2; f3; x]` represents
 222 `f1(f2(f3 x))`.  The limitation of the analogy is that it is only
 223 possible to represent computations in which the applications are
 224 always right-branching, i.e., the computation `((f1 f2) f3) x` cannot
 225 be directly represented.
 226
 227 One possibile development is that we could add a special symbol `'#'`,
 228 and then the task would be to copy from the target `'S'` only back to
 229 the closest `'#'`.  This would allow the task to simulate delimited
 230 continuations with embedded prompts.
 231
 232 The reason the task is well-suited to the list zipper is in part
 233 because the list monad has an intimate connection with continuations.
 234 The following section explores this connection.  We'll return to the
 235 list task after talking about generalized quantifiers below.
 236
 237
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