lists-to-contin tweaks
[lambda.git] / from_lists_to_continuations.mdwn
1 Refunctionalizing zippers: from lists to continuations
2 ------------------------------------------------------
3
4 If zippers are continuations reified (defuntionalized), then one route
5 to continuations is to re-functionalize a zipper.  Then the
6 concreteness and understandability of the zipper provides a way of
7 understanding and equivalent treatment using continuations.
8
9 Let's work with lists of `char`s for a change.  To maximize readability, we'll
10 indulge in an abbreviatory convention that "abSd" abbreviates the
11 list `['a'; 'b'; 'S'; 'd']`.
12
13 We will set out to compute a deceptively simple-seeming **task: given a
14 string, replace each occurrence of 'S' in that string with a copy of
15 the string up to that point.**
16
17 We'll define a function `t` (for "task") that maps strings to their
18 updated version.
19
20 Expected behavior:
21
22         t "abSd" ~~> "ababd"
23
24
25 In linguistic terms, this is a kind of anaphora
26 resolution, where `'S'` is functioning like an anaphoric element, and
27 the preceding string portion is the antecedent.
28
29 This deceptively simple task gives rise to some mind-bending complexity.
30 Note that it matters which 'S' you target first (the position of the *
31 indicates the targeted 'S'):
32
33             t "aSbS"
34                 *
35         ~~> t "aabS"
36                   *
37         ~~> "aabaab"
38
39 versus
40
41             t "aSbS"
42                   *
43         ~~> t "aSbaSb"
44                 *
45         ~~> t "aabaSb"
46                    *
47         ~~> "aabaaabab"
48
49 versus
50
51             t "aSbS"
52                   *
53         ~~> t "aSbaSb"
54                    *
55         ~~> t "aSbaaSbab"
56                     *
57         ~~> t "aSbaaaSbaabab"
58                      *
59         ~~> ...
60
61 Aparently, this task, as simple as it is, is a form of computation,
62 and the order in which the `'S'`s get evaluated can lead to divergent
63 behavior.
64
65 For now, we'll agree to always evaluate the leftmost `'S'`, which
66 guarantees termination, and a final string without any `'S'` in it.
67
68 This is a task well-suited to using a zipper.  We'll define a function
69 `tz` (for task with zippers), which accomplishes the task by mapping a
70 `char list zipper` to a `char list`.  We'll call the two parts of the
71 zipper `unzipped` and `zipped`; we start with a fully zipped list, and
72 move elements to the zipped part by pulling the zipper down until the
73 entire list has been unzipped (and so the zipped half of the zipper is empty).
74
75         type 'a list_zipper = ('a list) * ('a list);;
76         
77         let rec tz (z : char list_zipper) =
78             match z with
79             | (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
80             | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
81             | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
82         
83         # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
84         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
85         
86         # tz ([], ['a'; 'S'; 'b'; 'S']);;
87         - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
88
89 Note that this implementation enforces the evaluate-leftmost rule.
90 Task completed.
91
92 One way to see exactly what is going on is to watch the zipper in
93 action by tracing the execution of `tz`.  By using the `#trace`
94 directive in the Ocaml interpreter, the system will print out the
95 arguments to `tz` each time it is (recurcively) called.  Note that the
96 lines with left-facing arrows (`<--`) show (recursive) calls to `tz`,
97 giving the value of its argument (a zipper), and the lines with
98 right-facing arrows (`-->`) show the output of each recursive call, a
99 simple list.
100
101         # #trace tz;;
102         t1 is now traced.
103         # tz ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd']);;
104         tz <-- ([], ['a'; 'b'; 'S'; 'd'])
105         tz <-- (['a'], ['b'; 'S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
106         tz <-- (['b'; 'a'], ['S'; 'd'])         (* Pull zipper *)
107         tz <-- (['b'; 'a'; 'b'; 'a'], ['d'])    (* Special step *)
108         tz <-- (['d'; 'b'; 'a'; 'b'; 'a'], [])  (* Pull zipper *)
109         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']        (* Output reversed *)
110         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
111         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
112         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
113         tz --> ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
114         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b'; 'd']
115
116 The nice thing about computations involving lists is that it's so easy
117 to visualize them as a data structure.  Eventually, we want to get to
118 a place where we can talk about more abstract computations.  In order
119 to get there, we'll first do the exact same thing we just did with
120 concrete zipper using procedures.
121
122 Think of a list as a procedural recipe: `['a'; 'b'; 'S'; 'd']` is the result of
123 the computation `'a'::('b'::('S'::('d'::[])))` (or, in our old style,
124 `make_list 'a' (make_list 'b' (make_list 'S' (make_list 'd' empty)))`). The
125 recipe for constructing the list goes like this:
126
127 >       (0)  Start with the empty list []  
128 >       (1)  make a new list whose first element is 'd' and whose tail is the list constructed in step (0)  
129 >       (2)  make a new list whose first element is 'S' and whose tail is the list constructed in step (1)  
130 >       -----------------------------------------  
131 >       (3)  make a new list whose first element is 'b' and whose tail is the list constructed in step (2)  
132 >       (4)  make a new list whose first element is 'a' and whose tail is the list constructed in step (3)
133
134 What is the type of each of these steps?  Well, it will be a function
135 from the result of the previous step (a list) to a new list: it will
136 be a function of type `char list -> char list`.  We'll call each step
137 (or group of steps) a **continuation** of the recipe.  So in this
138 context, a continuation is a function of type `char list -> char
139 list`.  For instance, the continuation corresponding to the portion of
140 the recipe below the horizontal line is the function `fun (tail : char
141 list) -> 'a'::('b'::tail)`.
142
143 This means that we can now represent the unzipped part of our
144 zipper---the part we've already unzipped---as a continuation: a function
145 describing how to finish building the list.  We'll write a new
146 function, `tc` (for task with continuations), that will take an input
147 list (not a zipper!) and a continuation and return a processed list.
148 The structure and the behavior will follow that of `tz` above, with
149 some small but interesting differences.  We've included the orginal
150 `tz` to facilitate detailed comparison:
151
152         let rec tz (z : char list_zipper) =
153             match z with
154             | (unzipped, []) -> List.rev(unzipped) (* Done! *)
155             | (unzipped, 'S'::zipped) -> tz ((List.append unzipped unzipped), zipped)
156             | (unzipped, target::zipped) -> tz (target::unzipped, zipped);; (* Pull zipper *)
157         
158         let rec tc (l: char list) (c: (char list) -> (char list)) =
159             match l with
160             | [] -> List.rev (c [])
161             | 'S'::zipped -> tc zipped (fun x -> c (c x))
162             | target::zipped -> tc zipped (fun x -> target::(c x));;
163         
164         # tc ['a'; 'b'; 'S'; 'd'] (fun x -> x);;
165         - : char list = ['a'; 'b'; 'a'; 'b']
166         
167         # tc ['a'; 'S'; 'b'; 'S'] (fun x -> x);;
168         - : char list = ['a'; 'a'; 'b'; 'a'; 'a'; 'b']
169
170 To emphasize the parallel, I've re-used the names `zipped` and
171 `target`.  The trace of the procedure will show that these variables
172 take on the same values in the same series of steps as they did during
173 the execution of `tz` above.  There will once again be one initial and
174 four recursive calls to `tc`, and `zipped` will take on the values
175 `"bSd"`, `"Sd"`, `"d"`, and `""` (and, once again, on the final call,
176 the first `match` clause will fire, so the the variable `zipper` will
177 not be instantiated).
178
179 I have not called the functional argument `unzipped`, although that is
180 what the parallel would suggest.  The reason is that `unzipped` is a
181 list, but `c` is a function.  That's the most crucial difference, the
182 point of the excercise, and it should be emphasized.  For instance,
183 you can see this difference in the fact that in `tz`, we have to glue
184 together the two instances of `unzipped` with an explicit (and
185 relatively inefficient) `List.append`.
186 In the `tc` version of the task, we simply compose `c` with itself:
187 `c o c = fun x -> c (c x)`.
188
189 Why use the identity function as the initial continuation?  Well, if
190 you have already constructed the initial list `"abSd"`, what's the next
191 step in the recipe to produce the desired result, i.e, the very same
192 list, `"abSd"`?  Clearly, the identity continuation.
193
194 A good way to test your understanding is to figure out what the
195 continuation function `c` must be at the point in the computation when
196 `tc` is called with the first argument `"Sd"`.  Two choices: is it
197 `fun x -> a::b::x`, or it is `fun x -> b::a::x`?  The way to see if
198 you're right is to execute the following command and see what happens:
199
200     tc ['S'; 'd'] (fun x -> 'a'::'b'::x);;
201
202 There are a number of interesting directions we can go with this task.
203 The reason this task was chosen is because it can be viewed as a
204 simplified picture of a computation using continuations, where `'S'`
205 plays the role of a control operator with some similarities to what is
206 often called `shift`.  In the analogy, the input list portrays a
207 sequence of functional applications, where `[f1; f2; f3; x]` represents
208 `f1(f2(f3 x))`.  The limitation of the analogy is that it is only
209 possible to represent computations in which the applications are
210 always right-branching, i.e., the computation `((f1 f2) f3) x` cannot
211 be directly represented.
212
213 One possibile development is that we could add a special symbol `'#'`,
214 and then the task would be to copy from the target `'S'` only back to
215 the closest `'#'`.  This would allow the task to simulate delimited
216 continuations with embedded prompts.
217
218 The reason the task is well-suited to the list zipper is in part
219 because the list monad has an intimate connection with continuations.
220 The following section explores this connection.  We'll return to the
221 list task after talking about generalized quantifiers below.
222
223