exercises/assignment7.mdwn

   1 # Assignment 7
   2
   3 There is no separate assignment 6. (There was a single big assignment for weeks 5 and 6, and
   4 we're going to keep the assignment numbers in synch with the weeks.)
   5
   6 ## Evaluation order in Combinatory Logic
   7
   8 1. Give a term that the lazy evaluators (either [[the Haskell
   9 evaluator|code/ski_evaluator.hs]], or the lazy version of [[the OCaml
  10 evaluator|code/ski_evaluator.ml]]) do not evaluate all the way to a
  11 normal form, that is, that contains a redex somewhere inside of it after
  12 it has been reduced.
  13
  14 2. One of the [[criteria we established for classifying reduction
  15 strategies|topics/week3_evaluation_order]] strategies is whether they
  16 reduce subterms hidden under lambdas.  That is, for a term like
  17 `(\x y. x z) (\x. x)`, do we reduce to `\y.(\x.x) z` and stop, or do
  18 we reduce further to `\y.z`?  Explain what the corresponding question
  19 would be for CL. Using the eager version of the OCaml CL evaluator (`reduce_try2`),
  20 prove that the evaluator does reduce terms inside of at least
  21 some "functional" CL terms.  Then provide a modified evaluator
  22 that does not perform reductions in those positions. (Just give the
  23 modified version of your recursive reduction function.)
  24
  25
  26 ## Evaluation in the untyped lambda calculus: substitute-and-repeat
  27
  28 Having sketched the issues with a discussion of Combinatory Logic,
  29 we're going to begin to construct an evaluator for a simple language
  30 that includes lambda abstraction.  In this problem set, we're going to
  31 work through the issues twice: once with a function that does
  32 substitution in the obvious way, and keeps reducing-and-repeating until
  33 there are no more eligible redexes. You'll see it's somewhat
  34 complicated.  The complications come from the need to worry about
  35 variable capture. (Seeing these complications should give you an
  36 inkling of why we presented the evaluation order discussion using
  37 Combinatory Logic, since we don't need to worry about variables in
  38 CL.)
  39
  40 We're not going to ask you to write the entire program yourself.
  41 Instead, we're going to give you almost the complete program, with a few gaps
  42 in it that you have to complete. You have to understand enough to
  43 add the last pieces to make the program function.
  44
  45 You can find the skeleton code [[here|/code/untyped_evaluator.ml]].
  46
  47 We've also prepared a much fuller version, that has user-friendly input
  48 and printing of results. We'll provide a link to that shortly. It
  49 will be easiest for you to understand that code if you've
  50 completed the gaps in the simplified skeleton linked above.
  51
  52
  53 ## Evaluation in the untyped lambda calculus: environments
  54
  55 The previous strategy is nice because it corresponds so closely to the
  56 reduction rules we give when specifying our lambda calculus. (Including
  57 specifying evaluation order, which redexes it's allowed to reduce, and
  58 so on.) But keeping track of free and bound variables, computing fresh
  59 variables when needed, that's all a pain.
  60
  61 Here's a better strategy. Instead of keeping all of the information
  62 about which variables have been bound or are still free implicitly
  63 inside of the terms, we'll keep a separate scorecard, which we will call an "environment".  This is a
  64 familiar strategy for philosophers of language and for linguists,
  65 since it amounts to evaluating terms relative to an assignment
  66 function. The difference between the substitute-and-repeat approach
  67 above, and this approach, is one huge step towards monads.
  68
  69 The skeleton code for this is at the [[same link as before|/code/untyped_evaluator.ml]].
  70 This part of the exercise is the "V2" part of that code.
  71
  72
  73 ## Monads
  74
  75 Mappables (functors), MapNables (applicative functors), and Monads
  76 (composables) are ways of lifting computations from unboxed types into
  77 boxed types.  Here, a "boxed type" is a type function with one unsaturated
  78 hole (which may have several occurrences). We can think of the box type
  79 as a function from a type to a type. Call this type function M, and let P, Q, R, and S be schematic variables over types.
  80
  81 Recall that a monad requires a singleton function `mid : P-> MP`, and a
  82 composition operator like `>=> : (P-><u>Q</u>) -> (Q-><u>R</u>) -> (P-><u>R</u>)`.
  83
  84 As we said in the notes, we'll move freely back and forth between using `>=>` and using `<=<` (aka `mcomp`), which
  85 is just `>=>` with its arguments flipped. `<=<` has the virtue that it corresponds more
  86 closely to the ordinary mathematical symbol `○`. But `>=>` has the virtue
  87 that its types flow more naturally from left to right.
  88
  89 Anyway, `mid` and (let's say) `<=<` have to obey the following Monad Laws:
  90
  91     mid <=< k = k
  92     k <=< mid = k
  93     j <=< (k <=< l) = (j <=< k) <=< l
  94
  95 For example, the Identity monad has the identity function `I` for `mid`
  96 and ordinary function composition `○` for `<=<`.  It is easy to prove
  97 that the laws hold for any terms `j`, `k`, and `l` whose types are
  98 suitable for `mid` and `<=<`:
  99
 100     mid <=< k == I ○ k == \p. I (k p) ~~> \p. k p ~~> k
 101     k <=< mid == k ○ I == \p. k (I p) ~~> \p. k p ~~> k
 102
 103     (j <=< k) <=< l == (\p. j (k p)) ○ l == \q. (\p. j (k p)) (l q) ~~> \q. j (k (l q))
 104     j <=< (k <=< l) == j ○ (k ○ l) == j ○ (\p. k (l p)) == \q. j ((\p. k (l p)) q) ~~> \q. j (k (l q))
 105
 106 1.  On a number of occasions, we've used the Option/Maybe type to make our
 107 conceptual world neat and tidy (for instance, think of [[our discussion
 108 of Kaplan's Plexy|topics/week6_plexy]]).  As we learned in class, there is a natural monad
 109 for the Option type. Using the vocabulary of OCaml, let's say that
 110 "`'a option`" is the type of a boxed `'a`, whatever type `'a` is.
 111 More specifically,
 112
 113         type 'a option = None | Some 'a
 114
 115     (If you have trouble keeping straight what is the OCaml terminology for this and what is the Haskell terminology, don't worry, we do too.)
 116
 117     Now the obvious singleton for the Option monad is `\p. Some p`.  Give
 118 (or reconstruct) either of the composition operators `>=>` or `<=<`.
 119 Show that your composition operator obeys the Monad Laws.
 120
 121 2.  Do the same with lists.  That is, given an arbitrary type
 122 `'a`, let the boxed type be `['a]` or `'a list`, that is, lists of objects of type `'a`.  The singleton
 123 is `\p. [p]`, and the composition operator is:
 124
 125         let (>=>) (j : 'a -> 'b list) (k : 'b -> 'c list) : 'a -> 'c list =
 126           fun a -> List.flatten (List.map k (j a))
 127
 128     For example:
 129
 130         let j a = [a; a+1];;
 131         let k b = [b*b; b+b];;
 132         (j >=> k) 7 (* ==> [49; 14; 64; 16] *)