1 <!-- λ Λ ∀ ≡ α β ω Ω -->
4 ## Option / Maybe Types ##
6 You've already (in [[assignment1]] and [[/topics/week2 encodings]]) defined and worked with `map` as a function on lists. Now we're going to work instead with the type OCaml defines like this:
8     type ('a) option = None | Some of 'a
10 and Haskell defines like this:
12     data Maybe a = Nothing | Just a
14 That is, instances of this type are either an instance of `'a` (this can be any type), wrapped up in a `Some` or `Just` box, or they are a separate value representing a failure. This is sort of like working with a set or a list guaranteed to be either singleton or empty.
16 In one of the homework meetings, Chris posed the challenge: you know those dividers they use in checkout lines to separate your purchases from the next person's? What if you wanted to buy one of those dividers? How could they tell whether it belonged to your purchases or was separating them from others?
18 The OCaml and Haskell solution is to use not supermarket dividers but instead those gray bins from airport security. If you want to buy something, it goes into a bin. (OCaml's `Some`, Haskell's `Just`). If you want to separate your stuff from the next person, you send an empty bin (OCaml's `None`, Haskell's `Nothing`). If you happen to be buying a bin, OK, you put that into a bin. In OCaml it'd be `Some None` (or `Some (Some stuff)` if the bin you're buying itself contains some stuff); in Haskell `Just Nothing`. This way, we can't confuse a bin that contains a bin with an empty bin. (Not even if the contained bin is itself empty.)
20 1.  Your first problem is to write a `maybe_map` function for these types. Here is the type of the function you should write:
22         (* OCaml *)
23         maybe_map : ('a -> 'b) -> ('a) option -> ('b) option
26         maybe_map :: (a -> b) -> Maybe a -> Maybe b
28     If your `maybe_map` function is given a `None` or `Nothing` as its second argument, that should be what it returns. Otherwise, it should apply the function it got as its first argument to the contents of the `Some` or `Just` bin that it got as its second, and return the result, wrapped back up in a `Some` or `Just`. (Yes, we know that the `fmap` function in Haskell already implements this functionality. Your job is to write it yourself.)
30     One way to extract the contents of an `option`/`Maybe` value is to pattern match on that value, as you did with lists. In OCaml:
32         match m with
33         | None -> ...
34         | Some y -> ...
38         case m of {
39           Nothing -> ...;
40           Just y -> ...
41         }
43     Some other tips: In OCaml you write recursive functions using `let rec`, in Haskell you just use `let` (it's already assumed to be recursive). In OCaml when you finish typing something and want the interpreter to parse it, check and display its type, and evaluate it, type `;;` and then return. In Haskell, if you want to display the type of an expression `expr`, type `:t expr` or `:i expr`.
45     You may want to review [[Rosetta pages|/rosetta1]] and also read some of the tutorials we linked to for [[/learning OCaml]] or [[/learning Haskell]].
47     HERE IS AN OCAML ANSWER:
49         let maybe_map (f: 'a -> 'b) -> (u : 'a option) : 'b option =
50           match u with
51           | Some a -> Some (f a)
52           | None -> None
55 2.  Next write a `maybe_map2` function. Its type should be:
57         (* OCaml *)
58         maybe_map2 : ('a -> 'b -> 'c) -> ('a) option -> ('b) option -> ('c) option
61         maybe_map2 :: (a -> b -> c) -> Maybe a -> Maybe b -> Maybe c
64     HERE IS AN OCAML ANSWER:
66         let maybe_map2 (f : 'a -> 'b -> 'c) (u : 'a option) (v : 'b option) : 'c option =
67           match (u, v) with
68           | Some a, Some b -> Some (f a b)
69           | None, _ -> None
70           | _, None -> None
74 ## Color Trees ##
76 (The questions on Color and Search Trees are adapted from homeworks in Chapters 1 and 2 of Friedman and Wand, *Essentials of Programming Languages*.)
78 Here are type definitions for one kind of binary tree:
80     (* OCaml *)
81     type color = Red | Green | Blue | ... (* you can add as many as you like *)
82     type ('a) color_tree = Leaf of 'a | Branch of 'a color_tree * color * 'a color_tree
85     data Color = Red | Green | Blue | ...  deriving (Eq, Show)
86     data Color_tree a = Leaf a | Branch (Color_tree a) Color (Color_tree a)  deriving (Show)
88 These trees always have colors labeling their inner branching nodes, and will have elements of some type `'a` labeling their leaves. `(int) color_tree`s will have `int`s there, `(bool) color_tree`s will have `bool`s there, and so on. The `deriving (Eq, Show)` part at the end of the Haskell declarations is boilerplate to tell Haskell you want to be able to compare the colors for equality, and also that you want the Haskell interpreter to display colors and trees to you when they are the result of evaluating an expression.
90 Here's how you create an instance of such a tree:
92     (* OCaml *)
93     let t1 = Branch (Leaf 1, Red, Branch (Leaf 2, Green, Leaf 0))
96     let t1 = Branch (Leaf 1) Red (Branch (Leaf 2) Green (Leaf 0))
98 Here's how you pattern match such a tree, binding variables to its components:
100     (* OCaml *)
101     match t with
102     | Leaf n -> false
103     | Branch (_, col, _) -> col = Red
106     case t of {
107       Leaf n -> False;
108       Branch _ col _ -> col == Red
109     }
111 These expressions query whether `t` is a branching `color_tree` (that is, not a leaf) whose root is labeled `Red`.
113 Notice that for equality, you should use single `=` in OCaml and double `==` in Haskell. (Double `==` in OCaml will often give the same results, but it is subtly different in ways we're not yet in a position to explain.) *In*equality is expressed as `<>` in OCaml and `/=` in Haskell.
115 Choose one of these languages and write the following functions.
118 3.  Define a function `tree_map` whose type is (as shown by OCaml): `('a -> 'b) -> ('a) color_tree -> ('b) color_tree`. It expects a function `f` and an `('a) color_tree`, and returns a new tree with the same structure and inner branch colors as the original, but with all of its leaves now having had `f` applied to their original value. So for example, `map (fun x->2*x) t1` would return `t1` with all of its leaf values doubled.
120     HERE IS A DIRECT OCAML ANSWER:
122         let rec tree_map (f: 'a -> 'b) (t: 'a color_tree) : 'b color_tree =
123           match t with
124           | Leaf a -> Leaf (f a)
125           | Branch (l,col,r) ->
126               let l' = tree_map f l in
127               let r' = tree_map f r in
128               Branch(l', col, r')
130     IT MIGHT BE USEFUL TO GENERALIZE THIS PATTERN, LIKE SO:
132         let rec tree_walker (leaf_handler: 'a -> 'h) (joiner : 'h -> color -> 'h -> 'h) (t: 'a color_tree) : 'h =
133           match t with
134           | Leaf a -> leaf_handler a
135           | Branch (l,col,r) ->
136               let lh = tree_walker leaf_handler joiner l in
137               let rh = tree_walker leaf_handler joiner r in
138               joiner lh col rh
140     <!-- traverse (k: a-> Mb) t = Leaf a -> map Leaf (k a) | Branch(l,col,r) -> map3 Branch l' c' r' -->
142     THEN `tree_map f t` can be defined as `tree_walker (fun a -> Leaf (f a)) (fun l' col r' -> Branch(l',col,r')) t`
145 4.  Define a function `tree_foldleft` that accepts an argument `g : 'z -> 'a -> 'z` and a seed value `z : 'z` and a tree  `t : ('a) color_tree`, and returns the result of applying `g` first to `z` and `t`'s leftmost leaf, and then applying `g` to *that result* and `t`'s second-leftmost leaf, and so on, all the way across `t`'s fringe. In our examples, only the leaf values affect the result; the inner branch colors are ignored.
147     HERE IS A DIRECT OCAML ANSWER:
149         let rec tree_foldleft (g: 'z -> 'a -> 'z) (z : 'z) (t: 'a color_tree) : 'z =
150           match t with
151           | Leaf a -> g z a
152           | Branch (l,_,r) ->
153               let z' = tree_foldleft g z l in
154               let z'' = tree_foldleft g z' r in
155               r''
157     HERE IS AN ANSWER THAT RE-USES OUR `tree_walker` FUNCTION FROM THE PREVIOUS ANSWER:
159         let tree_foldleft g z t =
160           let leaf_handler a = fun z -> g z a in
161           let joiner lh _ rh = fun z -> rh (lh z) in
162           let expects_z = tree_walker leaf_handler joiner t in
163           expects_z z
165     <!-- traverse (k: a-> Mb) t = Leaf a -> map Leaf (k a) | Branch(l,col,r) -> map3 Branch l' c' r' -->
166     <!-- linearize (f: a->Mon) t = Leaf a -> f a | Branch(l,col,r) -> l' && [col' &&] r' -->
168     If you look at the definition of `tree_walker` above, you'll see that its interface doesn't supply the `leaf_handler` function with any input like z; the `leaf_handler` only gets the content of each leaf to work on. Thus we're forced to make our `leaf_handler` return a function, that will get its `z` input later. (The strategy used here is like [[the strategy for reversing a list using fold_right in assignment2|assignment2_answers/#cps-reverse]].) Then the `joiner` function chains the results of handling the two branches together, so that when the seed `z` is supplied, we feed it first to `lh` and then the result of that to `rh`. The result of processing any tree then will be a function that expects a `z` argument. Finally, we supply the `z` argument that `tree_foldleft` was invoked with.
171 5.  How would you use the function defined in problem 4 (the previous problem) to sum up the values labeling the leaves of an `(int) color_tree`?
173     ANSWER: `tree_foldleft (fun z a -> z + a) 0 your_tree`
175 6.  How would you use the function defined in problem 4 to enumerate a tree's fringe? (Don't worry about whether it comes out left-to-right or right-to-left.)
177     ANSWER: `tree_foldleft (fun z a -> a :: z) [] your_tree`
179 7.  Write a recursive function to make a copy of a `color_tree` with the same structure and inner branch colors, but where the leftmost leaf is now labeled `0`, the second-leftmost leaf is now labeled `1`, and so on. (Here's a [[hint|assignment5 hint3]], if you need one.)
181     HERE IS A DIRECT OCAML ANSWER, FOLLOWING [[the hint|assignment5_hint3]]:
183         let rec enumerate_from (t:'a color_tree) counter =
184           match t with
185           | Leaf x -> (Leaf counter, counter+1)
186           | Branch (left,col,right) -> let (left',counter') = enumerate_from left counter in
187                                        let (right',counter'') = enumerate_from right counter' in
188                                        (Branch (left',col,right'), counter'')
190         (* then this will be the function we were asked for *)
191         let enumerate t =
192           let (t', _) = enumerate_from t 0 in
193           t'
195     IT WOULD ALSO BE POSSIBLE TO WRITE THIS USING OUR `tree_walker` FUNCTION, USING A TECHNIQUE THAT COMBINES THE STRATEGY USED ABOVE WITH THE ONE USED IN `tree_foldleft`:
197         let enumerate t =
198           let leaf_handler a = fun counter -> (Leaf counter, counter+1) in
199           let joiner lh col rh =
200             fun counter ->
201               let (left',counter') = lh counter in
202               let (right',counter'') = rh counter' in
203               (Branch (left',col,right'), counter'') in
204           fst (tree_walker leaf_handler joiner t 0)
207 8.  (More challenging.) Write a recursive function that makes a copy of a `color_tree` with the same structure and inner branch colors, but replaces each leaf label with the `int` that reports how many of that leaf's ancestors are labeled `Red`. For example, if we give your function a tree:
209     <pre>
210         Red
211         / \
212       Blue \
213       / \  Green
214      a   b  / \
215            c   Red
216                / \
217               d   e
218     </pre>
220     (for any leaf values `a` through `e`), it should return:
222     <pre>
223         Red
224         / \
225       Blue \
226       / \  Green
227      1   1  / \
228            1   Red
229                / \
230               2   2
231     </pre>
233     HERE IS A DIRECT OCAML SOLUTION:
235         let rec tree_red_ancestors_from (cur : int) (t : 'a tree) : int tree =
236           match t with
237           | Leaf a -> Leaf cur
238           | Branch(l, col, r) ->
239               let cur' = if col = Red then cur + 1 else cur in
240               let l' = tree_red_ancestors_from cur' l in
241               let r' = tree_red_ancestors_from cur' r in
242               Branch(l',col,r')
244         (* here is the function we were asked for *)
245         let tree_red_ancestors t = tree_red_ancestors_from 0 t
248     HERE IS HOW TO DO IT USING `tree_walker`:
250         let tree_red_ancestors t =
251           let leaf_handler a = fun cur -> Leaf cur in
252           let joiner lh col rh = fun cur ->
253             let cur' = if col = Red then cur + 1 else cur in
254             Branch(lh cur', col, rh cur') in
255           tree_walker leaf_handler joiner t 0
258 9.  (More challenging.) Assume you have a `color_tree` whose leaves are labeled with `int`s (which may be negative). For this problem, assume also that no color labels multiple `Branch`s (non-leaf nodes). Write a recursive function that reports which color has the greatest "score" when you sum up all the values of its descendent leaves. Since some leaves may have negative values, the answer won't always be the color at the tree root. In the case of ties, you can return whichever of the highest scoring colors you like.
260     HERE IS A DIRECT OCAML SOLUTION:
262         type maybe_leader = (color * int) option
265           match t with
266           | Leaf a -> (None, a)
267           | Branch(l, col, r) ->
270               let my_score = left_score + right_score in
272               | None -> Some(col,my_score), my_score
275         (* Note that the invocations of that function have to return who-is-the-current-leader?
276            plus their OWN score, even if they are not the current leader. Their parents need the
277            second value to calculate whether they should become the current leader. *)
279         (* here is the function we were asked for *)
280         let tree_best t =
281           match tree_best_sofar t None with
283           | None, _ -> failwith "no colors"
286     HERE IS HOW TO DO IT USING `tree_walker`:
288         let tree_best_sofar t =
290           let joiner lh col rh = fun leader ->
293             let my_score = left_score + right_score in
295             | None -> Some(col,my_score), my_score
297           tree_walker leaf_handler joiner t
299     Then `tree_best` could be defined as in the direct answer.
302 ## Search Trees ##
304 (More challenging.) For the next problem, assume the following type definition:
306     (* OCaml *)
307     type search_tree = Nil | Inner of search_tree * int * search_tree
310     data Search_tree = Nil | Inner Search_tree Int Search_tree  deriving (Show)
312 That is, its leaves have no labels and its inner nodes are labeled with `int`s. Additionally, assume that all the `int`s in branches descending to the left from a given node will be less than the `int` of that parent node, and all the `int`s in branches descending to the right will be greater. We can't straightforwardly specify this constraint in OCaml's or Haskell's type definitions. We just have to be sure to maintain it by hand.
314 10. Write a function `search_for` with the following type, as displayed by OCaml:
316         type direction = Left | Right
317         search_for : int -> search_tree -> direction list option
321         data Direction = Left | Right  deriving (Eq, Show)
322         search_for :: Int -> Search_tree -> Maybe [Direction]
324     Your function should search through the tree for the specified `int`. If it's never found, it should return the value OCaml calls `None` and Haskell calls `Nothing`. If it finds the `int` right at the root of the `search_tree`, it should return the value OCaml calls `Some []` and Haskell calls `Just []`. If it finds the `int` by first going down the left branch from the tree root, and then going right twice, it should return `Some [Left; Right; Right]` or `Just [Left, Right, Right]`.
326     HERE IS AN OCAML ANSWER:
328         let search_for (sought : int) (t : search_tree) : direction list option =
329           let rec aux (trace : direction list) t =
330             match t with
331             | Nil -> None
332             | Inner(l,x,r) when sought < x -> aux (Left::trace) l
333             | Inner(l,x,r) when sought > x -> aux (Right::trace) r
334             | _ -> Some(List.rev trace) in
335         aux [] t
338 ## More Map2s ##
340 In question 2 above, you defined `maybe_map2`. [[Before|assignment1]] we encountered `map2` for lists. There are in fact several different approaches to mapping two lists together.
342 11. One approach is to apply the supplied function to the first element of each list, and then to the second element of each list, and so on, until the lists are exhausted. If the lists are of different lengths, you might stop with the shortest, or you might raise an error. Different implementations make different choices about that. Let's call this function:
344         (* OCaml *)
345         map2_zip : ('a -> 'b -> 'c) -> ('a) list -> ('b) list -> ('c) list
347     Write a recursive function that implements this, in Haskell or OCaml. Let's say you can stop when the shorter list runs out, if they're of different lengths. (OCaml and Haskell each already have functions in their standard libraries --- `map2` or `zipWith` -- that do this. And it also corresponds to a list comprehension you can write in Haskell like this:
349         :set -XParallelListComp
350         [ f x y | x <- xs | y <- ys ]
352     <!-- or `f <\$/fmap> ZipList xs <*/ap> ZipList ys`; or `pure f <*> ...`; or `liftA2 f (ZipList xs) (ZipList ys)` -->
353     But we want you to write this function from scratch.)
355     HERE IS AN OCAML ANSWER:
357         let rec map2_zip f xs ys =
358           match xs, ys with
359           | [], _ -> []
360           | _, [] -> []
361           | x'::xs', y'::ys' -> f x' y' :: map2_zip f xs' ys'
363 12. What is the relation between the function you just wrote, and the `maybe_map2` function you wrote for problem 2, above?
365     ANSWER: option/Maybe types are like lists constrained to be of length 0 or 1.
367 13. Another strategy is to take the *cross product* of the two lists. If the function:
369         (* OCaml *)
370         map2_cross : ('a -> 'b -> 'c) -> ('a) list -> ('b) list -> ('c) list
372     is applied to the arguments `f`, `[x0, x1, x2]`, and `[y0, y1]`, then the result should be: `[f x0 y0, f x0 y1, f x1 y0, f x1 y1, f x2 y0, f x2 y1]`. Write this function.
373     <!-- in Haskell, `liftA2 f xs ys` -->
375     HERE IS AN OCAML ANSWER:
377         let rec map2_cross f xs ys =
378           match xs with
379           | [] -> []
380           | x'::xs' -> List.append (List.map (f x') ys) (map2_cross f xs' ys)
382 A similar choice between "zipping" and "crossing" could be made when `map2`-ing two trees. For example, the trees:
384 <pre>
385     0       5
386    / \     / \
387   1   2   6   7
388  / \         / \
389  3  4        8  9
390 </pre>
392 could be "zipped" like this (ignoring any parts of branches on the one tree that extend farther than the corresponding branch on the other):
394 <pre>
395    f 0 5
396    /    \
397 f 1 6  f 2 7
398 </pre>
400 14. You can try defining that if you like, for extra credit.
402 "Crossing" the trees would instead add copies of the second tree as subtrees replacing each leaf of the original tree, with the leaves of that larger tree labeled with `f` applied to `3` and `6`, then `f` applied to `3` and `8`, and so on across the fringe of the second tree; then beginning again (in the subtree that replaces the `4` leaf) with `f` applied to `4` and `6`, and so on.
404 *   In all the plain `map` functions, whether for lists, or for `option`/`Maybe`s, or for trees, the structure of the result exactly matched the structure of the argument.
406 *   In the `map2` functions, whether for lists or for `option`/`Maybe`s or for trees, and whether done in the "zipping" style or in the "crossing" style, the structure of the result may be a bit different from the structure of the arguments. But the *structure* of the arguments is enough to determine the structure of the result; you don't have to look at the specific list elements or labels on a tree's leaves or nodes to know what the *structure* of the result will be.
408 *   We can imagine more radical transformations, where the structure of the result *does* depend on what specific elements the original structure(s) had. For example, what if we had to transform a tree by turning every leaf into a subtree that contained all of those leaf's prime factors? Or consider our problem from [[assignment3]] where you converted `[3, 1, 0, 2]` not into `[[3,3,3], , [], [2,2]]` --- which still has the same structure, that is length, as the original --- but rather into `[3, 3, 3, 1, 2, 2]` --- which doesn't.
409     (Some of you had the idea last week to define this last transformation in Haskell as `[x | x <- [3,1,0,2], y <- [0..(x-1)]]`, which just looks like a cross product, that we counted under the *previous* bullet point. However, in that expression, the second list's structure depends upon the specific values of the elements in the first list. So it's still true, as I said, that you can't specify the structure of the output list without looking at those elements.)
411 These three levels of how radical a transformation you are making to a structure, and the parallels between the transformations to lists, to `option`/`Maybe`s, and to trees, will be ideas we build on in coming weeks.
417 ## Untyped Lambda Terms ##
419 In OCaml, you can define some datatypes that represent terms in the untyped Lambda Calculus like this:
421     type identifier = string
422     type lambda_term = Var of identifier | Abstract of identifier * _____ | App of _____
424 We've left some gaps.
428     type Identifier = String
429     data Lambda_term = Var Identifier | Abstract Identifier _____ | App ________  deriving (Show)
431 Again, we've left some gaps. (The use of `type` for the first line in Haskell and `data` for the second line is not a typo. The first specifies that `Identifier` will be just a shorthand for an already existing type. The second introduces a new datatype, with its own variant/constructor tags.)
433 15. Choose one of these languages and fill in the gaps to complete the definition.
435     HERE IS AN OCAML DEFINITION:
437     type lambda_term = Var of identifier | Abstract of identifier * lambda_term | App of lambda_term * lambda_term
439 16. Write a function `occurs_free` that has the following type:
441         occurs_free : identifier -> lambda_term -> bool
443     That's how OCaml would show it. Haskell would use double colons `::` instead, and would also capitalize all the type names. Your function should tell us whether the supplied identifier ever occurs free in the supplied `lambda_term`.
445     HERE IS AN OCAML DEFINITION:
447         let rec occurs_free (ident : identifier) (term : lambda_term) : bool =
448           match term with
449           | Var var_ident -> ident = var_ident (* `x` is free in Var "x" but not in Var "y" *)
450           | Abstract(bound_ident, body) -> ident <> bound_ident && occurs_free ident body (* `x` is free in \y. x but not in \x. blah or \y. y *)
451           | App (head, arg) -> occurs_free ident head || occurs_free ident arg
455 ## Encoding Booleans, Church numerals, and Right-Fold Lists in System F ##
457 <!-- These questions are adapted from web materials by Umut Acar. Were at <http://www.mpi-sws.org/~umut/>. Now he's moved to <http://www.umut-acar.org/> and I can't find the page anymore. -->
459 (For the System F questions, you can either work on paper, or [download and compile](http://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/tapl/resources.html#checkers) Pierce's evaluator for system F to test your work. Under the "implementations" link on that page, you want to use Pierce's `fullpoly` or the `fullomega` code. The Chapters of Pierce's book *Types and Programming Languages* most relevant to this week's lectures are 22 and 23; though for context we also recommend at least Chapters 8, 9, 11, 20, and 29. We don't expect most of you to follow these recommendations now, or even to be comfortable enough yet with the material to be *able* to. We're providing the pointers as references that some might conceivably pursue now, and others later.)
462 Let's think about the encodings of booleans, numerals and lists in System F,
463 and get datatypes with the same form working in OCaml or Haskell. (Of course, OCaml and Haskell
464 have *native* versions of these types: OCaml's `true`, `1`, and `[1;2;3]`.
465 But the point of our exercise requires that we ignore those.)
467 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus, with this grammar:
469     types ::= constants | α ... | type1 -> type2 | ∀α. type
470     expressions ::= x ... | λx:type. expr | expr1 expr2 | Λα. expr | expr [type]
472 The boolean type, and its two values, may be encoded as follows:
474     Bool ≡ ∀α. α -> α -> α
475     true ≡ Λα. λy:α. λn:α. y
476     false ≡ Λα. λy:α. λn:α. n
478 It's used like this:
480     b [T] res1 res2
482 where `b` is a `Bool` value, and `T` is the shared type of `res1` and `res2`.
485 17. How should we implement the following terms? Note that the result
486 of applying them to the appropriate arguments should also give us a term of
487 type `Bool`.
489     (a) the term `not` that takes an argument of type `Bool` and computes its negation
490     (b) the term `and` that takes two arguments of type `Bool` and computes their conjunction
491     (c) the term `or` that takes two arguments of type `Bool` and computes their disjunction
493 The type `Nat` (for "natural number") may be encoded as follows:
495     Nat ≡ ∀α. (α -> α) -> α -> α
496     zero ≡ Λα. λs:α -> α. λz:α. z
497     succ ≡ λn:Nat. Λα. λs:α -> α. λz:α. s (n [α] s z)
499 A number `n` is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated `n`
500 times. In the polymorphic encoding above, the result of that iteration can be
501 any type `α`, as long as your function is of type `α -> α` and you have a base element of type `α`.
504 18. Translate these encodings of booleans and Church numbers into OCaml or Haskell, implementing versions of `sysf_bool`, `sysf_true`, `sysf_false`, `sysf_nat`, `sysf_zero`, `sysf_iszero` (this is what we'd earlier write as `zero?`, but you can't use `?`s in function names in OCaml or Haskell), `sysf_succ`, and `sysf_pred`. We include the `sysf_` prefixes so as not to collide with any similarly-named native functions or values in these languages. The point of the exercise is to do these things on your own, so avoid using the built-in OCaml or Haskell booleans and integers.
506     Keep in mind the capitalization rules. In OCaml, types are written `sysf_bool`, and in Haskell, they are capitalized `Sysf_bool`. In both languages, variant/constructor tags (like `None` or `Some`) are capitalized, and function names start lowercase. But for this problem, you shouldn't need to use any variant/constructor tags.
508     To get you started, here is how to define `sysf_bool` and `sysf_true` in OCaml:
510         type ('a) sysf_bool = 'a -> 'a -> 'a
511         let sysf_true : ('a) sysf_bool = fun y n -> y
515         type Sysf_bool a = a -> a -> a  -- this is another case where Haskell uses `type` instead of `data`
516         -- To my mind the natural thing to write next would be:
517         let sysf_true :: Sysf_bool a = \y n -> y
518         -- But for complicated reasons, that won't work, and you need to do this instead:
519         let { sysf_true :: Sysf_bool a; sysf_true = \y n -> y }
520         -- Or this:
521         let sysf_true = (\y n -> y) :: Sysf_bool a
523             :set -XExplicitForAll
524         let { sysf_true :: forall a. Sysf_bool a; ... }
525         -- or
526         let { sysf_true :: forall a. a -> a -> a; ... }
528     You can't however, put a `forall a.` in the `type Sysf_bool ...` declaration. The reasons for this are too complicated to explain here.
530     Note also that `sysf_true` can be applied to further arguments directly:
532         sysf_true 10 20
534     You don't do anything like System F's `true [int] 10 20`. The OCaml and Haskell interpreters figure out what type `sysf_true` needs to be specialized to (in this case, to `int`), and do that automatically.
536     It's especially useful for you to implement a version of a System F encoding `pred`, starting with one of the (untyped) versions available in [[assignment3 answers]].
540 Consider the following list type, specified using OCaml or Haskell datatypes:
542     (* OCaml *)
543     type ('t) my_list = Nil | Cons of 't * 't my_list
546      data My_list t = Nil | Cons t (My_list t)  deriving (Show)
548 We can encode that type into System F in terms of its right-fold, just as we did in the untyped Lambda Calculus, like this:
550     list_T ≡ ∀α. (T -> α -> α) -> α -> α
551     nil_T ≡ Λα. λc:T -> α -> α. λn:α. n
552     cons_T ≡ λx:T. λxs:list_T. Λα. λc:T -> α -> α. λn:α. c x (xs [α] c n)
554 As with `Nat`s, the natural recursion on the type is built into our encoding of it.
556 There is some awkwardness here, because System F doesn't have any parameterized types like OCaml's `('t) my_list` or Haskell's `My_list t`. For those, we need to use a more complex system called System F<sub>ω</sub>. System F *can* already define a more polymorphic list type:
558     list ≡ ∀τ. ∀α. (τ -> α -> α) -> α -> α
560 But this is more awkward to work with, because for functions like `map` we want to give them not just the type:
562     (T -> S) -> list -> list
564 but more specifically, the type:
566     (T -> S) -> list [T] -> list [S]
568 Yet we haven't given ourselves the capacity to talk about `list [S]` and so on as a type in System F. Hence, I'll just use the more clumsy, ad hoc specification of `map`'s type as:
570     (T -> S) -> list_T -> list_S
572 <!--
573     = λf:T -> S. λxs:list. xs [T] [list [S]] (λx:T. λys:list [S]. cons [S] (f x) ys) (nil [S])
574 -->
576 *Update: Never mind, don't bother with the next three questions. They proved to be more difficult to implement in OCaml than we expected. Here is [[some explanation|assignment5 hint4]].*
578 19. Convert this list encoding and the `map` function to OCaml or Haskell. Again, call the type `sysf_list`, and the functions `sysf_nil`, `sysf_cons`, and `sysf_map`, to avoid collision with the names for native lists and functions in these languages. (In OCaml and Haskell you *can* say `('t) sysf_list` or `Sysf_list t`.)
580 20. Also give us the type and definition for a `sysf_head` function. Think about what value to give back if its argument is the empty list. It might be cleanest to use the `option`/`Maybe` technique explored in questions 1--2, but for this assignment, just pick a strategy, no matter how clunky.
582 21. Modify your implementation of the predecessor function for Church numerals, above, to implement a `sysf_tail` function for your lists.
584 Be sure to test your proposals with simple lists. (You'll have to `sysf_cons` up a few sample lists yourself; don't expect OCaml or Haskell to magically translate between their native lists and the ones you've just defined.)
591 ## More on Types ##
593 22.  Recall that the **S** combinator is given by `\f g x. f x (g x)`. Give two different typings for this term in OCaml or Haskell. To get you started, here's one typing for **K**:
595         # let k (y:'a) (n:'b) = y ;;
596         val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
597         # k 1 true ;;
598         - : int = 1
600     If you can't understand how one term can have several types, recall our discussion in this week's notes of "principal types".
605 ## Evaluation Order ##
607 Do these last three problems specifically with OCaml in mind, not Haskell. Analogues of the questions exist in Haskell, but because the default evaluation rules for these languages are different, it's too complicated to look at how these questions should be translated into the Haskell setting.
610 23.  Which of the following expressions is well-typed in OCaml? For those that are, give the type of the expression as a whole. For those that are not, why not?
612         let rec f x = f x
613         let rec f x = f f
614         let rec f x = f x in f f
615         let rec f x = f x in f ()
616         let rec f () = f f
617         let rec f () = f ()
618         let rec f () = f () in f f
619         let rec f () = f () in f ()
621 24.  Throughout this problem, assume that we have:
623         let rec blackhole x = blackhole x
625     <!-- Haskell could say: `let blackhole = \x -> fix (\f -> f)` -->
626     All of the following are well-typed. Which ones terminate?  What generalizations can you make?
628         blackhole
629         blackhole ()
630         fun () -> blackhole ()
631         (fun () -> blackhole ()) ()
632         if true then blackhole else blackhole
633         if false then blackhole else blackhole
634         if true then blackhole else blackhole ()
635         if false then blackhole else blackhole ()
636         if true then blackhole () else blackhole
637         if false then blackhole () else blackhole
638         if true then blackhole () else blackhole ()
639         if false then blackhole () else blackhole ()
640         let _ = blackhole in 2
641         let _ = blackhole () in 2
643 25.  This problem aims to get you thinking about how to control order of evaluation.
644 Here is an attempt to make explicit the behavior of `if ... then ... else ...` explored in the previous question.
645 The idea is to define an `if ... then ... else ...` expression using
646 other expression types.  So assume that `yes` is any (possibly complex) OCaml expression,
647 and `no` is any other OCaml expression (of the same type as `yes`!),
648 and that `bool` is any boolean expression.  Then we can try the following:
649 `if bool then yes else no` should be equivalent to
651         let b = bool in
652         let y = yes in
653         let n = no in
654         match b with true -> y | false -> n
656     This almost works.  For instance,
658         if true then 1 else 2
660     evaluates to `1`, and
662         let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
663         match b with true -> y | false -> n
665     also evaluates to `1`.  Likewise,
667         if false then 1 else 2
669     and
671         let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
672         match b with true -> y | false -> n
674     both evaluate to `2`.
676     However,
678         let rec blackhole x = blackhole x in
679         if true then blackhole else blackhole ()
681     terminates, but
683         let rec blackhole x = blackhole x in
684         let b = true in
685         let y = blackhole in
686         let n = blackhole () in
687         match b with true -> y | false -> n
689     does not terminate.  Incidentally, using the shorter `match bool with true -> yes | false -> no` rather than the longer `let b = bool ... in match b with ...` *would* work as we desire. But your assignment is to control the evaluation order *without* using the special evaluation order properties of OCaml's native `if` or of its `match`. That is, you must keep the `let b = ... in match b with ...` structure in your answer, though you are allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
691     Here's a [[hint|assignment5 hint1]].
693 Hint: Use thunks!
695 Further hint: What does
697     let x = (fun () -> 2) in
698     let y = (fun () -> 3) in
699     match true with true -> x | false -> y
701 evaluate to?