1 Assignment 5
3 Types and OCaml
4 ---------------
6 0. Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
7    Give two different typings for this function in OCaml.
8    To get you started, here's one typing for K:
10     # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
11     val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
12     # k 1 true;;
13     - : int = 1
16 1. Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
17    For those that are, give the type of the expression as a whole.
18    For those that are not, why not?
20     let rec f x = f x;;
22     let rec f x = f f;;
24     let rec f x = f x in f f;;
26     let rec f x = f x in f ();;
28     let rec f () = f f;;
30     let rec f () = f ();;
32     let rec f () = f () in f f;;
34     let rec f () = f () in f ();;
36 2. Throughout this problem, assume that we have
38     let rec omega x = omega x;;
40    All of the following are well-typed.
41    Which ones terminate?  What are the generalizations?
43     omega;;
45     omega ();;
47     fun () -> omega ();;
49     (fun () -> omega ()) ();;
51     if true then omega else omega;;
53     if false then omega else omega;;
55     if true then omega else omega ();;
57     if false then omega else omega ();;
59     if true then omega () else omega;;
61     if false then omega () else omega;;
63     if true then omega () else omega ();;
65     if false then omega () else omega ();;
67     let _ = omega in 2;;
69     let _ = omega () in 2;;
71 3. This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
72 The following expression is an attempt to make explicit the
73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
80     let b = bool in
81     let y = yes in
82     let n = no in
83     match b with true -> y | false -> n
85 This almost works.  For instance,
87     if true then 1 else 2;;
89 evaluates to 1, and
91     let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
92     match b with true -> y | false -> n;;
94 also evaluates to 1.  Likewise,
96     if false then 1 else 2;;
98 and
100     let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
101     match b with true -> y | false -> n;;
103 both evaluate to 2.
105 However,
107     let rec omega x = omega x in
108     if true then omega else omega ();;
110 terminates, but
112     let rec omega x = omega x in
113     let b = true in
114     let y = omega in
115     let n = omega () in
116     match b with true -> y | false -> n;;
118 does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
119 false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
120 without using the magical evaluation order properties of either `if`
121 or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
122 you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
124 [[Hint assignment 5 problem 3]]
127 -----------
129    Read the lecture notes for week 6, then write a
130    function `lift` that generalized the correspondence between + and
131    `add`: that is, `lift` takes any two-place operation on integers
132    and returns a version that takes arguments of type `int option`
133    instead, returning a result of `int option`.  In other words,
134    `lift` will have type
136      (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
138    so that `lift (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
139    Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
140    You should make use of `bind` in your definition of `lift`:
142     let bind (x: int option) (f: int -> (int option)) =
143       match x with None -> None | Some n -> f n;;
146 Booleans, Church numbers, and Church lists in OCaml
147 ---------------------------------------------------
149 These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar.
150 The idea is to get booleans, Church numbers, "Church" lists, and
151 binary trees working in OCaml.
153    Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
155     τ ::= 'α | τ1 → τ2 | ∀'α. τ | c
156     e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'α. e | e [τ ]
158    Recall that bool may be encoded as follows:
160     bool := ∀α. α → α → α
161     true := Λα. λt:α. λf :α. t
162     false := Λα. λt:α. λf :α. f
164    (where τ indicates the type of e1 and e2)
166    Note that each of the following terms, when applied to the
167    appropriate arguments, return a result of type bool.
169     (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
170     (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
171     (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
173    The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
175     nat := ∀α. α → (α → α) → α
176     zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
177     succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
179    A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
180    encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
181    a function s : α → α.
183    **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
184      including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, and pred.
185      It's especially useful to do a version of pred, starting with one
186      of the (untyped) versions available in the lambda library
187      accessible from the main wiki page.  The point of the excercise
188      is to do these things on your own, so avoid using the built-in
189      OCaml booleans and list predicates.
191    Consider the following list type:
193     type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
195    We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
197     τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
198     nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
199     makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
201    As with nats, recursion is built into the datatype.
203    We can write functions like head, isNil, and map:
205     map : (σ → τ ) → σ list → τ list
207    We've given you the type for map, you only need to give the term.
209    With regard to `head`, think about what value to give back if the
210    argument is the empty list.  Ultimately, we might want to make use
211    of our `'a option` technique, but for this assignment, just pick a
212    strategy, no matter how clunky.
214    Please provide both the terms and the types for each item.