1 Assignment 5
3 Types and OCaml
4 ---------------
6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
7         Give two different typings for this function in OCaml.
8         To get you started, here's one typing for K:
10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
12                 # k 1 true;;
13                 - : int = 1
16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
17         For those that are, give the type of the expression as a whole.
18         For those that are not, why not?
20                 let rec f x = f x;;
22                 let rec f x = f f;;
24                 let rec f x = f x in f f;;
26                 let rec f x = f x in f ();;
28                 let rec f () = f f;;
30                 let rec f () = f ();;
32                 let rec f () = f () in f f;;
34                 let rec f () = f () in f ();;
36 2.      Throughout this problem, assume that we have
38                 let rec blackhole x = blackhole x;;
40         All of the following are well-typed.
41         Which ones terminate?  What are the generalizations?
43                 blackhole;;
45                 blackhole ();;
47                 fun () -> blackhole ();;
49                 (fun () -> blackhole ()) ();;
51                 if true then blackhole else blackhole;;
53                 if false then blackhole else blackhole;;
55                 if true then blackhole else blackhole ();;
57                 if false then blackhole else blackhole ();;
59                 if true then blackhole () else blackhole;;
61                 if false then blackhole () else blackhole;;
63                 if true then blackhole () else blackhole ();;
65                 if false then blackhole () else blackhole ();;
67                 let _ = blackhole in 2;;
69                 let _ = blackhole () in 2;;
71 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
72 The following expression is an attempt to make explicit the
73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
80                 let b = bool in
81                 let y = yes in
82                 let n = no in
83                 match b with true -> y | false -> n
85         This almost works.  For instance,
87                 if true then 1 else 2;;
89         evaluates to 1, and
91                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
92                 match b with true -> y | false -> n;;
94         also evaluates to 1.  Likewise,
96                 if false then 1 else 2;;
98         and
100                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
101                 match b with true -> y | false -> n;;
103         both evaluate to 2.
105         However,
107                 let rec blackhole x = blackhole x in
108                 if true then blackhole else blackhole ();;
110         terminates, but
112                 let rec blackhole x = blackhole x in
113                 let b = true in
114                 let y = blackhole in
115                 let n = blackhole () in
116                 match b with true -> y | false -> n;;
118         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
119         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
120         without using the magical evaluation order properties of either `if`
121         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
122         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
124         [[Hint assignment 5 problem 3]]
127 -----------
129 Read the lecture notes for week 6, then write a
130 function `lift'` that generalized the correspondence between + and
131 `add'`: that is, `lift'` takes any two-place operation on integers
132 and returns a version that takes arguments of type `int option`
133 instead, returning a result of `int option`.  In other words,
134 `lift'` will have type
136         (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
138 so that `lift' (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
139 Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
140 You should make use of `bind'` in your definition of `lift'`:
142         let bind' (x: int option) (f: int -> (int option)) =
143                 match x with None -> None | Some n -> f n;;
146 Booleans, Church numbers, and Church lists in OCaml
147 ---------------------------------------------------
149 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
151 The idea is to get booleans, Church numbers, "Church" lists, and
152 binary trees working in OCaml.
154 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
156         τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
157         e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
159 Recall that bool may be encoded as follows:
161         bool := ∀α. α → α → α
162         true := Λα. λt:α. λf :α. t
163         false := Λα. λt:α. λf :α. f
165 (where τ indicates the type of e1 and e2)
167 Note that each of the following terms, when applied to the
168 appropriate arguments, return a result of type bool.
170 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
171 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
172 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
174 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
176         nat := ∀α. α → (α → α) → α
177         zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
178         succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
180 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
181 encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
182 a function s : α → α.
184 **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
185 including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, add.
187 Consider the following list type:
189         type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
191 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
193         τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
194         nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
195         makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
197 As with nats, recursion is built into the datatype.
199 We can write functions like map:
201         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
202                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
204 **Excercise** convert this function to OCaml.  Also write an `append` function.
205 Test with simple lists.
207 Consider the following simple binary tree type:
209         type ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
211 **Excercise**
212 Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
213 leaves in an int tree.
215 Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
216 may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.