1 Assignment 3
2 ------------
4 Once again, the lambda evaluator will make working through this
5 assignment much faster and more secure.
7 #Writing recursive functions on version 1 style lists#
9 Recall that version 1 style lists are constructed like this (see
10 [[lists and numbers]]):
12         ; booleans
13         let true = \x y. x in
14         let false = \x y. y in
15         let and = \l r. l (r true false) false in
17         ; version 1 lists
18         let make_pair = \f s g. g f s in
19         let fst = true in
20         let snd = false in
21         let empty = make_pair true junk in
22         let isempty = \x. x fst in
23         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t) in
24         let head = \l. isempty l err (l snd fst) in
25         let tail = \l. isempty l err (l snd snd) in
27         ; a list of numbers to experiment on
28         let mylist = make_list 1 (make_list 2 (make_list 3 empty)) in
30         ; a fixed-point combinator for defining recursive functions
31         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
33         ; church numerals
34         let iszero = \n. n (\x. false) true in
35         let succ = \n s z. s (n s z) in
36         let mult = \m n s. m (n s) in
37         let length = Y (\length l. isempty l 0 (succ (length (tail l)))) in
38         let pred = \n. iszero n 0 (length (tail (n (\p. make_list junk p) empty)))
39         in
40         let leq = \m n. iszero(n pred m) in
41         let eq = \m n. and (leq m n)(leq n m) in
43         eq 2 2 yes no
46 Then `length mylist` evaluates to 3.
48 1. What does `head (tail (tail mylist))` evaluate to?
50 2. Using the `length` function as a model, and using the predecessor
51 function, write a function that computes factorials.  (Recall that n!,
52 the factorial of n, is n times the factorial of n-1.)
54 Warning: it takes a long time for my browser to compute factorials larger than 4!
56 3. (Easy) Write a function `equal_length` that returns true just in case
57 two lists have the same length.  That is,
59                 equal_length mylist (make_list junk (make_list junk (make_list junk empty))) ~~> true
61                 equal_length mylist (make_list junk (make_list junk empty))) ~~> false
64 4. (Still easy) Now write the same function, but don't use the length
65 function.
67 5. In assignment 2, we discovered that version 3-type lists (the ones
68 that
69 work like Church numerals) made it much easier to define operations
70 like `map` and `filter`.  But now that we have recursion in our
71 toolbox,
72 reasonable map and filter functions for version 1 lists are within our
73 reach.  Give definitions for `map` and a `filter` for verson 1 type
74 lists.
76 #Computing with trees#
78 Linguists analyze natural language expressions into trees.
80 We'll need trees in future weeks, and tree structures provide good
81 opportunities for learning how to write recursive functions.
82 Making use of the resources we have at the moment, we can approximate
83 trees as follows: instead of words, we'll use Church numerals.
84 Then a tree will be a (version 1 type) list in which each element is
85 itself a tree.  For simplicity, we'll adopt the convention that
86 a tree of length 1 must contain a number as its only element.
88 Then we have the following representations:
90 <pre>
91    (a)           (b)             (c)
92     .
93    /|\            /\              /\
94   / | \          /\ 3            1 /\
95   1 2  3        1  2               2 3
97 [;;]  [[;];]   [;[;]]
98 </pre>
100 Limitations of this scheme include the following: there is no easy way
101 to label a constituent with a syntactic category (S or NP or VP,
102 etc.), and there is no way to represent a tree in which a mother has a
103 single daughter.
105 When processing a tree, you can test for whether the tree contains
106 only a numeral (in which case the tree is leaf node) by testing for
107 whether the length of the list is less than or equal to 1.  This will
108 be your base case for your recursive functions that operate on these
109 trees.
111 1.    Write a function that sums the number of leaves in a tree.
113 Expected behavior:
115         let t1 = (make_list 1 empty) in
116         let t2 = (make_list 2 empty) in
117         let t3 = (make_list 3 empty) in
118         let t12 = (make_list t1 (make_list t2 empty)) in
119         let t23 = (make_list t2 (make_list t3 empty)) in
120         let ta = (make_list t1 t23) in
121         let tb = (make_list t12 t3) in
122         let tc = (make_list t1 (make_list t23 empty)) in
124         sum-leaves t1 ~~> 1
125         sum-leaves t2 ~~> 2
126         sum-leaves t3 ~~> 3
127         sum-leaves t12 ~~> 3
128         sum-leaves t23 ~~> 5
129         sum-leaves ta ~~> 6
130         sum-leaves tb ~~> 6
131         sum-leaves tc ~~> 6
134 2.   Write a function that counts the number of leaves.