assignment3.mdwn

   1 Assignment 3
   2 ------------
   3
   4 Once again, the lambda evaluator will make working through this
   5 assignment much faster and more secure.
   6
   7 #Writing recursive functions on version 1 style lists#
   8
   9 Recall that version 1 style lists are constructed like this (see
  10 [[lists and numbers]]):
  11
  12 <pre>
  13 ; booleans
  14 let true = \x y. x in
  15 let false = \x y. y in
  16 let and = \l r. l (r true false) false in
  17
  18 ; version 1 lists
  19 let makePair = \f s g. g f s in
  20 let fst = true in
  21 let snd = false in
  22 let nil = makePair true meh in
  23 let isNil = \x. x fst in
  24 let makeList = \h t. makePair false (makePair h t) in
  25 let head = \l. isNil l err (l snd fst) in
  26 let tail = \l. isNil l err (l snd snd) in
  27
  28 ; a list of numbers to experiment on
  29 let mylist = makeList 1 (makeList 2 (makeList 3 nil)) in
  30
  31 ; a fixed-point combinator for defining recursive functions
  32 let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
  33
  34 ; church numerals
  35 let isZero = \n. n (\x. false) true in
  36 let succ = \n s z. s (n s z) in
  37 let mult = \m n s. m (n s) in
  38 let length = Y (\length l. isNil l 0 (succ (length (tail l)))) in
  39 let pred = \n. isZero n 0 (length (tail (n (\p. makeList meh p) nil))) in
  40 let leq = \m n. isZero(n pred m) in
  41 let eq = \m n. and (leq m n)(leq n m) in
  42
  43 eq 2 2 yes no
  44 </pre>
  45
  46
  47 Then `length mylist` evaluates to 3.
  48
  49 1. What does `head (tail (tail mylist))` evaluate to?
  50
  51 2. Using the `length` function as a model, and using the predecessor
  52 function, write a function that computes factorials.  (Recall that n!,
  53 the factorial of n, is n times the factorial of n-1.)
  54
  55 Warning: my browser isn't able to compute factorials of numbers
  56 greater than 2 (it does't provide enough resources for the JavaScript
  57 interpreter; web pages are not supposed to be that computationally
  58 intensive).
  59
  60 3. (Easy) Write a function `listLenEq` that returns true just in case two lists have the
  61 same length.  That is,
  62
  63      listLenEq mylist (makeList meh (makeList meh (makeList meh nil))) ~~> true
  64
  65      listLenEq mylist (makeList meh (makeList meh nil))) ~~> false
  66
  67
  68 4. (Still easy) Now write the same function, but don't use the length function.
  69
  70 5. In assignment 2, we discovered that version 3-type lists (the ones that
  71 work like Church numerals) made it much easier to define operations
  72 like `map` and `filter`.  But now that we have recursion in our toolbox,
  73 reasonable map and filter functions for version 1 lists are within our
  74 reach.  Give definitions for `map` and a `filter` for verson 1 type lists.
  75
  76 #Computing with trees#
  77
  78 Linguists analyze natural language expressions into trees.
  79 We'll need trees in future weeks, and tree structures provide good
  80 opportunities for learning how to write recursive functions.
  81 Making use of the resources we have at the moment, we can approximate
  82 trees as follows: instead of words, we'll use Church numerals.
  83 Then a tree will be a (version 1 type) list in which each element is
  84 itself a tree.  For simplicity, we'll adopt the convention that
  85 a tree of length 1 must contain a number as its only element.
  86 Then we have the following representations:
  87
  88 <pre>
  89    (a)           (b)             (c)
  90     .
  91    /|\            /\              /\
  92   / | \          /\ 3            1 /\
  93   1 2  3        1  2               2 3
  94
  95 [[1];[2];[3]]  [[[1];[2]];[3]]   [[1];[[2];[3]]]
  96 </pre>
  97
  98 Limitations of this scheme include the following: there is no easy way
  99 to label a constituent with a syntactic category (S or NP or VP,
 100 etc.), and there is no way to represent a tree in which a mother has a
 101 single daughter.
 102
 103 When processing a tree, you can test for whether the tree contains
 104 only a numeral (in which case the tree is leaf node) by testing for
 105 whether the length of the list is less than or equal to 1.  This will
 106 be your base case for your recursive functions that operate on these
 107 trees.
 108
 109 1.    Write a function that sums the number of leaves in a tree.
 110
 111 Expected behavior:
 112
 113 <pre>
 114 let t1 = (make-list 1 nil) in
 115 let t2 = (make-list 2 nil) in
 116 let t3 = (make-list 3 nil) in
 117 let t12 = (make-list t1 (make-list t2 nil)) in
 118 let t23 = (make-list t2 (make-list t3 nil)) in
 119 let ta = (make-list t1 t23) in
 120 let tb = (make-list t12 t3) in
 121 let tc = (make-list t1 (make-list t23 nil)) in
 122
 123 count-leaves t1 ~~> 1
 124 count-leaves t2 ~~> 2
 125 count-leaves t3 ~~> 3
 126 count-leaves t12 ~~> 3
 127 count-leaves t23 ~~> 5
 128 count-leaves ta ~~> 6
 129 count-leaves tb ~~> 6
 130 count-leaves tc ~~> 6
 131 </pre>
 132
 133 2.   Write a function that counts the number of leaves.
 134