1 More Lambda Practice
2 --------------------
4 Insert all the implicit `( )`s and <code>&lambda;</code>s into the following abbreviated expressions:
6 1.      `x x (x x x) x`
7 2.      `v w (\x y. v x)`
8 3.      `(\x y. x) u v`
9 4.      `w (\x y z. x z (y z)) u v`
11 Mark all occurrences of `x y` in the following terms:
13 <OL start=5>
14 <LI>`(\x y. x y) x y`
15 <LI>`(\x y. x y) (x y)`
16 <LI> `\x y. x y (x y)`
17 </OL>
19 Reduce to beta-normal forms:
21 <OL start=8>
22 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v w)`
23 <LI>`(\x. x (\x. y x)) (v w)`
24 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v x)`
25 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v y)`
27 <LI>`(\x y. x y y) u v`
28 <LI>`(\x y. y x) (u v) z w`
29 <LI>`(\x y. x) (\u u)`
30 <LI>`(\x y z. x z (y z)) (\u v. u)`
31 </OL>
34 Lists and Numbers
35 -----------------
37 We'll assume the "Version 3" implementation of lists and numbers throughout. So:
39 <pre><code>zero &equiv; \s z. z
40 succ &equiv; \n. \s z. s (n s z)
41 iszero &equiv; \n. n (\x. false) true
42 add &equiv; \m \n. m succ n
43 mul &equiv; \m \n. \s. m (n s)</code></pre>
45 And:
47 <pre><code>empty &equiv; \f z. z
48 make-list &equiv; \hd tl. \f z. f hd (tl f z)
49 isempty &equiv; \lst. lst (\hd sofar. false) true
50 extract-head &equiv; \lst. lst (\hd sofar. hd) junk</code></pre>
52 The `junk` in `extract-head` is what you get back if you evaluate:
56 As we said, the predecessor and the extract-tail functions are harder to define. We'll just give you one implementation of these, so that you'll be able to test and evaluate lambda-expressions using them in Scheme or OCaml.
58 <pre><code>predecesor &equiv; (\shift n. n shift (make-pair zero junk) get-second) (\pair. pair (\fst snd. make-pair (successor fst) fst))
59 extract-tail &equiv; (\shift lst. lst shift (make-pair empty junk) get-second) (\hd pair. pair (\fst snd. make-pair (make-list hd fst) fst))</code></pre>
61 The `junk` is what you get back if you evaluate:
63         predecessor zero
65         extract-tail empty
67 Alternatively, we might reasonably declare the predecessor of zero to be zero (this is a common construal of the predecessor function in discrete math), and the tail of the empty list to be the empty list.
70 For these exercises, assume that `LIST` is the result of evaluating:
72         (make-list a (make-list b (make-list c (make-list d (make-list e empty)))))
75 16.     What would be the result of evaluating:
77                 LIST make-list empty
79         [[Assignment 2 hint 1]]
81 17.     Based on your answer to question 1, how might you implement the **map** function? Expected behavior:
83         <pre><code>map f LIST <~~> (make-list (f a) (make-list (f b) (make-list (f c) (make-list (f d) (make-list (f e) empty)))))</code></pre>
85 18.     Based on your answer to question 1, how might you implement the **filter** function? The expected behavior is that:
87                 filter f LIST
89         should evaluate to a list containing just those of `a`, `b`, `c`, `d`, and `e` such that `f` applied to them evaluates to `true`.
91 4. How would you implement map using the either the version 1 or the version 2 implementation of lists?
93 5. Our version 3 implementation of the numbers are usually called "Church numerals". If `m` is a Church numeral, then `m s z` applies the function `s` to the result of applying `s` to ... to `z`, for a total of *m* applications of `s`, where *m* is the number that `m` represents or encodes.
95         Given the primitive arithmetic functions above, how would you implement the less-than-or-equal function? Here is the expected behavior, where `one` abbreviates `succ zero`, and `two` abbreviates `succ (succ zero)`.
97                 less-than-or-equal zero zero ~~> true
98                 less-than-or-equal zero one ~~> true
99                 less-than-or-equal zero two ~~> true
100                 less-than-or-equal one zero ~~> false
101                 less-than-or-equal one one ~~> true
102                 less-than-or-equal one two ~~> true
103                 less-than-or-equal two zero ~~> false
104                 less-than-or-equal two one ~~> false
105                 less-than-or-equal two two ~~> true
107         You'll need to make use of the predecessor function, but it's not important to understand how the implementation we gave above works. You can treat it as a black box.