1 For these assignments, you'll probably want to use a "lambda calculator" to check your work. This accepts any grammatical lambda expression and reduces it to normal form, when possible. See the page on [[using the programming languages]] for instructions and links about setting this up.
4 More Lambda Practice
5 --------------------
7 Insert all the implicit `( )`s and <code>&lambda;</code>s into the following abbreviated expressions:
9 1.      `x x (x x x) x`
10 2.      `v w (\x y. v x)`
11 3.      `(\x y. x) u v`
12 4.      `w (\x y z. x z (y z)) u v`
14 Mark all occurrences of `x y` in the following terms:
16 <OL start=5>
17 <LI>`(\x y. x y) x y`
18 <LI>`(\x y. x y) (x y)`
19 <LI> `\x y. x y (x y)`
20 </OL>
22 Reduce to beta-normal forms:
24 <OL start=8>
25 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v w)`
26 <LI>`(\x. x (\x. y x)) (v w)`
27 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v x)`
28 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v y)`
30 <LI>`(\x y. x y y) u v`
31 <LI>`(\x y. y x) (u v) z w`
32 <LI>`(\x y. x) (\u u)`
33 <LI>`(\x y z. x z (y z)) (\u v. u)`
34 </OL>
37 Lists and Numbers
38 -----------------
40 We'll assume the "Version 3" implementation of lists and numbers throughout. So:
42 <pre><code>zero &equiv; \s z. z
43 succ &equiv; \n. \s z. s (n s z)
44 iszero &equiv; \n. n (\x. false) true
45 add &equiv; \m \n. m succ n
46 mul &equiv; \m \n. \s. m (n s)</code></pre>
48 And:
50 <pre><code>empty &equiv; \f z. z
51 make-list &equiv; \hd tl. \f z. f hd (tl f z)
52 isempty &equiv; \lst. lst (\hd sofar. false) true
53 extract-head &equiv; \lst. lst (\hd sofar. hd) junk</code></pre>
55 The `junk` in `extract-head` is what you get back if you evaluate:
59 As we said, the predecessor and the extract-tail functions are harder to define. We'll just give you one implementation of these, so that you'll be able to test and evaluate lambda-expressions using them in Scheme or OCaml.
61 <pre><code>predecesor &equiv; (\shift n. n shift (make-pair zero junk) get-second) (\pair. pair (\fst snd. make-pair (successor fst) fst))
63 extract-tail &equiv; (\shift lst. lst shift (make-pair empty junk) get-second) (\hd pair. pair (\fst snd. make-pair (make-list hd fst) fst))</code></pre>
65 The `junk` is what you get back if you evaluate:
67         predecessor zero
69         extract-tail empty
71 Alternatively, we might reasonably declare the predecessor of zero to be zero (this is a common construal of the predecessor function in discrete math), and the tail of the empty list to be the empty list.
74 For these exercises, assume that `LIST` is the result of evaluating:
76         (make-list a (make-list b (make-list c (make-list d (make-list e empty)))))
79 <OL start=16>
80 <LI>What would be the result of evaluating (see [[Assignment 2 hint 1]] for a hint):
82         LIST make-list empty
84 <LI>Based on your answer to question 16, how might you implement the **map** function? Expected behavior:
86         map f LIST <~~> (make-list (f a) (make-list (f b) (make-list (f c) (make-list (f d) (make-list (f e) empty)))))
88 <LI>Based on your answer to question 16, how might you implement the **filter** function? The expected behavior is that:
90         filter f LIST
92 should evaluate to a list containing just those of `a`, `b`, `c`, `d`, and `e` such that `f` applied to them evaluates to `true`.
94 <LI>What goes wrong when we try to apply these techniques using the version 1 or version 2 implementation of lists?
96 <LI>Our version 3 implementation of the numbers are usually called "Church numerals". If `m` is a Church numeral, then `m s z` applies the function `s` to the result of applying `s` to ... to `z`, for a total of *m* applications of `s`, where *m* is the number that `m` represents or encodes.
98 Given the primitive arithmetic functions above, how would you implement the less-than-or-equal function? Here is the expected behavior, where `one` abbreviates `succ zero`, and `two` abbreviates `succ (succ zero)`.
100         less-than-or-equal zero zero ~~> true
101         less-than-or-equal zero one ~~> true
102         less-than-or-equal zero two ~~> true
103         less-than-or-equal one zero ~~> false
104         less-than-or-equal one one ~~> true
105         less-than-or-equal one two ~~> true
106         less-than-or-equal two zero ~~> false
107         less-than-or-equal two one ~~> false
108         less-than-or-equal two two ~~> true
110 You'll need to make use of the predecessor function, but it's not essential to understand how the implementation we gave above works. You can treat it as a black box.
111 </OL>