assignment2.mdwn

   1 For these assignments, you'll probably want to use a "lambda calculator" to check your work. This accepts any grammatical lambda expression and reduces it to normal form, when possible. See the page on [[using the programming languages]] for instructions and links about setting this up.
   2
   3
   4 More Lambda Practice
   5 --------------------
   6
   7 Insert all the implicit `( )`s and <code>&lambda;</code>s into the following abbreviated expressions:
   8
   9 1.      `x x (x x x) x`
  10 2.      `v w (\x y. v x)`
  11 3.      `(\x y. x) u v`
  12 4.      `w (\x y z. x z (y z)) u v`
  13
  14 Mark all occurrences of `x y` in the following terms:
  15
  16 <OL start=5>
  17 <LI>`(\x y. x y) x y`
  18 <LI>`(\x y. x y) (x y)`
  19 <LI> `\x y. x y (x y)`
  20 </OL>
  21
  22 Reduce to beta-normal forms:
  23
  24 <OL start=8>
  25 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v w)`
  26 <LI>`(\x. x (\x. y x)) (v w)`
  27 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v x)`
  28 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v y)`
  29
  30 <LI>`(\x y. x y y) u v`
  31 <LI>`(\x y. y x) (u v) z w`
  32 <LI>`(\x y. x) (\u u)`
  33 <LI>`(\x y z. x z (y z)) (\u v. u)`
  34 </OL>
  35
  36
  37 Lists and Numbers
  38 -----------------
  39
  40 We'll assume the "Version 3" implementation of lists and numbers throughout. So:
  41
  42 <pre><code>zero &equiv; \s z. z
  43 succ &equiv; \n. \s z. s (n s z)
  44 iszero &equiv; \n. n (\x. false) true
  45 add &equiv; \m \n. m succ n
  46 mul &equiv; \m \n. \s. m (n s)</code></pre>
  47
  48 And:
  49
  50 <pre><code>empty &equiv; \f z. z
  51 make-list &equiv; \hd tl. \f z. f hd (tl f z)
  52 isempty &equiv; \lst. lst (\hd sofar. false) true
  53 extract-head &equiv; \lst. lst (\hd sofar. hd) junk</code></pre>
  54
  55 The `junk` in `extract-head` is what you get back if you evaluate:
  56
  57         extract-head empty
  58
  59 As we said, the predecessor and the extract-tail functions are harder to define. We'll just give you one implementation of these, so that you'll be able to test and evaluate lambda-expressions using them in Scheme or OCaml.
  60
  61 <pre><code>predecesor &equiv; (\shift n. n shift (make-pair zero junk) get-second) (\pair. pair (\fst snd. make-pair (successor fst) fst))
  62
  63 extract-tail &equiv; (\shift lst. lst shift (make-pair empty junk) get-second) (\hd pair. pair (\fst snd. make-pair (make-list hd fst) fst))</code></pre>
  64
  65 The `junk` is what you get back if you evaluate:
  66
  67         predecessor zero
  68
  69         extract-tail empty
  70
  71 Alternatively, we might reasonably declare the predecessor of zero to be zero (this is a common construal of the predecessor function in discrete math), and the tail of the empty list to be the empty list.
  72
  73
  74 For these exercises, assume that `LIST` is the result of evaluating:
  75
  76         (make-list a (make-list b (make-list c (make-list d (make-list e empty)))))
  77
  78
  79 <OL start=16>
  80 <LI>What would be the result of evaluating (see [[Assignment 2 hint 1]] for a hint):
  81
  82         LIST make-list empty
  83
  84 <LI>Based on your answer to question 16, how might you implement the **map** function? Expected behavior:
  85
  86         map f LIST <~~> (make-list (f a) (make-list (f b) (make-list (f c) (make-list (f d) (make-list (f e) empty)))))
  87
  88 <LI>Based on your answer to question 16, how might you implement the **filter** function? The expected behavior is that:
  89
  90         filter f LIST
  91
  92 should evaluate to a list containing just those of `a`, `b`, `c`, `d`, and `e` such that `f` applied to them evaluates to `true`.
  93
  94 <LI>What goes wrong when we try to apply these techniques using the version 1 or version 2 implementation of lists?
  95
  96 <LI>Our version 3 implementation of the numbers are usually called "Church numerals". If `m` is a Church numeral, then `m s z` applies the function `s` to the result of applying `s` to ... to `z`, for a total of *m* applications of `s`, where *m* is the number that `m` represents or encodes.
  97
  98 Given the primitive arithmetic functions above, how would you implement the less-than-or-equal function? Here is the expected behavior, where `one` abbreviates `succ zero`, and `two` abbreviates `succ (succ zero)`.
  99
 100         less-than-or-equal zero zero ~~> true
 101         less-than-or-equal zero one ~~> true
 102         less-than-or-equal zero two ~~> true
 103         less-than-or-equal one zero ~~> false
 104         less-than-or-equal one one ~~> true
 105         less-than-or-equal one two ~~> true
 106         less-than-or-equal two zero ~~> false
 107         less-than-or-equal two one ~~> false
 108         less-than-or-equal two two ~~> true
 109
 110 You'll need to make use of the predecessor function, but it's not essential to understand how the implementation we gave above works. You can treat it as a black box.
 111 </OL>
 112