assignment1.mdwn

   1 Reduction
   2 ---------
   3
   4 Find "normal forms" for the following (that is, reduce them as far as it's possible to reduce
   5 them):
   6
   7     1. (\x \y. y x) z
   8     2. (\x (x x)) z
   9     3. (\x (\x x)) z
  10     4. (\x (\z x)) z
  11     5. (\x (x (\y y))) (\z (z z))
  12     6. (\x (x x)) (\x (x x))
  13     7. (\x (x x x)) (\x (x x x))
  14
  15
  16 Booleans
  17 --------
  18
  19 Recall our definitions of true and false.
  20
  21         "true" defined to be `\t \f. t`
  22         "false" defined to be `\t \f. f`
  23
  24 In Racket, these can be defined like this:
  25
  26         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  27         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  28
  29     8. Define a "neg" operator that negates "true" and "false".
  30
  31 Expected behavior:
  32
  33     (((neg true) 10) 20)
  34
  35 evaluates to 20, and
  36
  37     (((neg false) 10) 20)
  38
  39 evaluates to 10.
  40
  41     9. Define an "and" operator.
  42
  43     10. Define an "xor" operator.
  44
  45 (If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  46
  47     true xor true = false
  48     true xor false = true
  49     false xor true = true
  50     false xor false = false
  51
  52 )
  53
  54     11. Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
  55         capable of representing one of the two values "black" or "white".
  56
  57 If we have
  58 one of those values, call it a black-or-white-value, we should be able to
  59 write:
  60
  61         the-black-or-white-value if-black if-white
  62
  63 (where if-black and if-white are anything), and get back one of if-black or
  64 if-white, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
  65 a definition for each of "black" and "white". (Do it in both lambda calculus
  66 and also in Racket.)
  67
  68 12. Now propose a data structure capable of representing one of the three values
  69 "red" "green" or "blue," based on the same model. (Do it in both lambda
  70 calculus and also in Racket.)
  71
  72
  73
  74 Pairs
  75 -----
  76
  77 Recall our definitions of ordered pairs.
  78
  79         the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
  80
  81 To extract the first element of a pair p, you write:
  82
  83         p (\fst \snd. fst)
  84
  85 Here are some defintions in Racket:
  86
  87         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
  88         (define get-first (lamda (fst) (lambda (snd) fst)))
  89         (define get-second (lamda (fst) (lambda (snd) snd)))
  90
  91 Now we can write:
  92
  93         (define p ((make-pair 10) 20))
  94         (p get-first)   ; will evaluate to 10
  95         (p get-second)  ; will evaluate to 20
  96
  97 If you're bothered by having the pair to the left and the function that operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair is a package that takes a function for operating on its elements as an argument, and returns the result of operating on its elemens with that function. In other words, the pair is also a function.
  98
  99 If you like, you can disguise what's going on like this:
 100
 101         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
 102         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
 103
 104 Now you can write:
 105
 106         (lifted-get-first p)
 107
 108 instead of:
 109
 110         (p get-first)
 111
 112 However, the latter is still what's going on under the hood.
 113
 114
 115 13. Define a "swap" function that reverses the elements of a pair.
 116 Expected behavior:
 117
 118         (define p ((make-pair 10) 20))
 119         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
 120         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
 121
 122 Write out the definition of swap in Racket.
 123
 124
 125 14. Define a "dup" function that duplicates its argument to form a pair
 126 whose elements are the same.
 127 Expected behavior:
 128
 129         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
 130         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
 131
 132 15. Define a "sixteen" function that makes
 133 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
 134 your choice).
 135
 136 16. Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered tripes. That is,
 137
 138         (((make-triple M) N) P)
 139
 140 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the make-triple function, you have to show how to extraxt elements of your triple. Write a get-first-of-triple function, that does for triples what get-first does for pairs. Also write get-second-of-triple and get-third-of-triple functions.
 141
 142 17. Write a function second-plus-third that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
 143
 144 You can help yourself to the following definition:
 145
 146     (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
 147
 148 18. [Super hard, unless you have lots of experience programming] Write a function that reverses the order of the elements in a list.