1 Reduction
2 ---------
4 Find "normal forms" for the following (that is, reduce them as far as it's possible to reduce
5 them):
7     1. (\x \y. y x) z
8     2. (\x (x x)) z
9     3. (\x (\x x)) z
10     4. (\x (\z x)) z
11     5. (\x (x (\y y))) (\z (z z))
12     6. (\x (x x)) (\x (x x))
13     7. (\x (x x x)) (\x (x x x))
16 Booleans
17 --------
19 Recall our definitions of true and false.
21         "true" defined to be `\t \f. t`
22         "false" defined to be `\t \f. f`
24 In Racket, these can be defined like this:
26         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
27         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
29     8. Define a "neg" operator that negates "true" and "false".
31 Expected behavior:
33     (((neg true) 10) 20)
35 evaluates to 20, and
37     (((neg false) 10) 20)
39 evaluates to 10.
41     9. Define an "and" operator.
43     10. Define an "xor" operator.
45 (If you haven't seen this term before, here's a truth table:
47     true xor true = false
48     true xor false = true
49     false xor true = true
50     false xor false = false
52 )
54     11. Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
55         capable of representing one of the two values "black" or "white".
57 If we have
58 one of those values, call it a black-or-white-value, we should be able to
59 write:
61         the-black-or-white-value if-black if-white
63 (where if-black and if-white are anything), and get back one of if-black or
64 if-white, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
65 a definition for each of "black" and "white". (Do it in both lambda calculus
66 and also in Racket.)
68 12. Now propose a data structure capable of representing one of the three values
69 "red" "green" or "blue," based on the same model. (Do it in both lambda
70 calculus and also in Racket.)
74 Pairs
75 -----
77 Recall our definitions of ordered pairs.
79         the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
81 To extract the first element of a pair p, you write:
83         p (\fst \snd. fst)
85 Here are some defintions in Racket:
87         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
88         (define get-first (lamda (fst) (lambda (snd) fst)))
89         (define get-second (lamda (fst) (lambda (snd) snd)))
91 Now we can write:
93         (define p ((make-pair 10) 20))
94         (p get-first)   ; will evaluate to 10
95         (p get-second)  ; will evaluate to 20
97 If you're bothered by having the pair to the left and the function that operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair is a package that takes a function for operating on its elements as an argument, and returns the result of operating on its elemens with that function. In other words, the pair is also a function.
99 If you like, you can disguise what's going on like this:
101         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
102         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
104 Now you can write:
106         (lifted-get-first p)
110         (p get-first)
112 However, the latter is still what's going on under the hood.
115 13. Define a "swap" function that reverses the elements of a pair.
116 Expected behavior:
118         (define p ((make-pair 10) 20))
119         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
120         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
122 Write out the definition of swap in Racket.
125 14. Define a "dup" function that duplicates its argument to form a pair
126 whose elements are the same.
127 Expected behavior:
129         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
130         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
132 15. Define a "sixteen" function that makes
133 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
134 your choice).
136 16. Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered tripes. That is,
138         (((make-triple M) N) P)
140 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the make-triple function, you have to show how to extraxt elements of your triple. Write a get-first-of-triple function, that does for triples what get-first does for pairs. Also write get-second-of-triple and get-third-of-triple functions.
142 17. Write a function second-plus-third that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
144 You can help yourself to the following definition:
146     (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
148 18. [Super hard, unless you have lots of experience programming] Write a function that reverses the order of the elements in a list.