1 Reduction
2 ---------
4 Find "normal forms" for the following (that is, reduce them until no more reductions are possible):
6     1. (\x \y. y x) z
7     2. (\x (x x)) z
8     3. (\x (\x x)) z
9     4. (\x (\z x)) z
10     5. (\x (x (\y y))) (\z (z z))
11     6. (\x (x x)) (\x (x x))
12     7. (\x (x x x)) (\x (x x x))
15 Booleans
16 --------
18 Recall our definitions of true and false.
20         "true" defined to be `\t \f. t`
21         "false" defined to be `\t \f. f`
23 In Racket, these can be defined like this:
25         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
26         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
28 * Define a "neg" operator that negates "true" and "false".
30 Expected behavior:
32     (((neg true) 10) 20)
34 evaluates to 20, and
36     (((neg false) 10) 20)
38 evaluates to 10.
40 * Define an "and" operator.
42 * Define an "xor" operator.
44 (If you haven't seen this term before, here's a truth table:
46     true xor true = false
47     true xor false = true
48     false xor true = true
49     false xor false = false
51 )
53 * Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
54 capable of representing one of the two values "black" or "white".
55 If we have
56 one of those values, call it a black-or-white-value, we should be able to
57 write:
59         the-black-or-white-value if-black if-white
61 (where if-black and if-white are anything), and get back one of if-black or
62 if-white, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
63 a definition for each of "black" and "white". (Do it in both lambda calculus
64 and also in Racket.)
66 * Now propose a data structure capable of representing one of the three values
67 "red" "green" or "blue," based on the same model. (Do it in both lambda
68 calculus and also in Racket.)
72 Pairs
73 -----
75 Recall our definitions of ordered pairs.
77         the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
79 To extract the first element of a pair p, you write:
81         p (\fst \snd. fst)
83 Here are some definitions in Racket:
85         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
86         (define get-first (lambda (fst) (lambda (snd) fst)))
87         (define get-second (lambda (fst) (lambda (snd) snd)))
89 Now we can write:
91         (define p ((make-pair 10) 20))
92         (p get-first)   ; will evaluate to 10
93         (p get-second)  ; will evaluate to 20
95 If you're bothered by having the pair to the left and the function that operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair is a package that takes a function for operating on its elements as an argument, and returns the result of operating on its elemens with that function. In other words, the pair is also a function.  (Of course, in the untyped lambda calculus, absolutely *everything* is a function: functors, arguments, abstracts, redexes, values---everything.)
97 If you like, you can disguise what's going on like this:
99         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
100         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
102 Now you can write:
104         (lifted-get-first p)
108         (p get-first)
110 However, the latter is still what's going on under the hood.
113 * Define a "swap" function that reverses the elements of a pair.
115 Expected behavior:
117         (define p ((make-pair 10) 20))
118         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
119         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
121 Write out the definition of swap in Racket.
124 * Define a "dup" function that duplicates its argument to form a pair
125 whose elements are the same.
126 Expected behavior:
128         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
129         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
131 * Define a "sixteen" function that makes
132 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
133 your choice).
135 * Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered tripes. That is,
137         (((make-triple M) N) P)
139 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the make-triple function, you have to show how to extract elements of your triple. Write a get-first-of-triple function, that does for triples what get-first does for pairs. Also write get-second-of-triple and get-third-of-triple functions.
141 * Write a function second-plus-third that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
143 You can help yourself to the following definition:
145     (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
147 * Write a function that reverses the order of the elements in a list. [Only attempt this problem if you're feeling frisky, it's super hard unless you have lots of experience programming.]