assignment1.mdwn

   1 Reduction
   2 ---------
   3
   4 Find "normal forms" for the following---that is, reduce them until no more reductions are possible. We'll write <code>&lambda;x</code> as `\x`.
   5
   6 1. `(\x \y. y x) z`
   7 2. `(\x (x x)) z`
   8 3. `(\x (\x x)) z`
   9 4. `(\x (\z x)) z`
  10 5. `(\x (x (\y y))) (\z (z z))`
  11 6. `(\x (x x)) (\x (x x))`
  12 7. `(\x (x x x)) (\x (x x x))`
  13
  14
  15 Booleans
  16 --------
  17
  18 Recall our definitions of true and false.
  19
  20 >   `true` defined to be `\t \f. t`
  21 >   `false` defined to be `\t \f. f`
  22
  23 In Racket, these can be defined like this:
  24
  25         (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
  26         (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
  27
  28 <OL start=8>
  29 <LI>Define a `neg` operator that negates `true` and `false`.
  30
  31 Expected behavior:
  32
  33     (((neg true) 10) 20)
  34
  35 evaluates to 20, and
  36
  37     (((neg false) 10) 20)
  38
  39 evaluates to 10.
  40
  41 <LI>Define an `and` operator.
  42
  43 <LI>Define an `xor` operator.
  44
  45 If you haven't seen this term before, here's a truth table:
  46
  47     true xor true = false
  48     true xor false = true
  49     false xor true = true
  50     false xor false = false
  51
  52
  53 <LI>Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
  54 capable of representing one of the two values `black` or `white`.
  55 If we have
  56 one of those values, call it a "black-or-white value", we should be able to
  57 write:
  58
  59         the-value if-black if-white
  60
  61 (where `if-black` and `if-white` are anything), and get back one of `if-black` or
  62 `if-white`, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
  63 a definition for each of `black` and `white`. (Do it in both lambda calculus
  64 and also in Racket.)
  65
  66 <LI>Now propose a data structure capable of representing one of the three values
  67 `red` `green` or `blue`, based on the same model. (Do it in both lambda
  68 calculus and also in Racket.)
  69 </OL>
  70
  71
  72
  73 Pairs
  74 -----
  75
  76 Recall our definitions of ordered pairs.
  77
  78 >   the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
  79
  80 To extract the first element of a pair p, you write:
  81
  82         p (\fst \snd. fst)
  83
  84 Here are some definitions in Racket:
  85
  86         (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
  87         (define get-first (lambda (fst) (lambda (snd) fst)))
  88         (define get-second (lambda (fst) (lambda (snd) snd)))
  89
  90 Now we can write:
  91
  92         (define p ((make-pair 10) 20))
  93         (p get-first)   ; will evaluate to 10
  94         (p get-second)  ; will evaluate to 20
  95
  96 If you're bothered by having the pair to the left and the function that
  97 operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair
  98 is a package that takes a function for operating on its elements as an
  99 argument, and returns the result of operating on its elemens with that
 100 function. In other words, the pair is also a function.  (Of course, in the
 101 untyped lambda calculus, absolutely *everything* is a function: functors,
 102 arguments, abstracts, redexes, values---everything.)
 103
 104 If you like, you can disguise what's going on like this:
 105
 106         (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
 107         (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
 108
 109 Now you can write:
 110
 111         (lifted-get-first p)
 112
 113 instead of:
 114
 115         (p get-first)
 116
 117 However, the latter is still what's going on under the hood.
 118
 119
 120 <OL start=13>
 121 <LI>Define a `swap` function that reverses the elements of a pair.
 122
 123 Expected behavior:
 124
 125         (define p ((make-pair 10) 20))
 126         ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
 127         ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
 128
 129 Write out the definition of swap in Racket.
 130
 131
 132 <LI>Define a `dup` function that duplicates its argument to form a pair
 133 whose elements are the same.
 134 Expected behavior:
 135
 136         ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
 137         ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
 138
 139 <LI>Define a `sixteen` function that makes
 140 sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
 141 your choice).
 142
 143 <LI>Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered triples. That is,
 144
 145         (((make-triple M) N) P)
 146
 147 should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the `make-triple` function, you have to show how to extract elements of your triple. Write a `get-first-of-triple` function, that does for triples what `get-first` does for pairs. Also write `get-second-of-triple` and `get-third-of-triple` functions.
 148
 149 <LI>Write a function `second-plus-third` that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
 150
 151 You can help yourself to the following definition:
 152
 153         (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
 154
 155 <!-- Write a function that reverses the order of the elements in a list. [Only attempt this problem if you're feeling frisky, it's super hard unless you have lots of experience programming.]  -->
 156
 157 </OL>
 158