1 Here are a bunch of pre-tested operations for the untyped lambda calculus. In some cases multiple versions are offered.
3         ; booleans
4         let true = \y n. y  in ; aka K
5         let false = \y n. n  in ; aka K I
6         let and = \p q. p q false  in ; or
7         let and = \p q. p q p  in ; aka S C I
8         let or = \p q. p true q  in ; or
9         let or = \p q. p p q  in ; aka M
10         let not = \p. p false true  in ; or
11         let not = \p y n. p n y  in ; aka C
12         let xor = \p q. p (not q) q  in
13         let iff = \p q. not (xor p q)  in ; or
14         let iff = \p q. p q (not q)  in
16         ; pairs
17         let make_pair = \x y f. f x y  in
18         let get_1st = \x y. x  in ; aka true
19         let get_2nd = \x y. y  in ; aka false
21         ; triples
22         let make_triple = \x y z f. f x y z  in
25         ; Church numerals: basic operations
27         let zero = \s z. z  in ; aka false
28         let one = \s z. s z  in ; aka I
29         let succ = \n s z. s (n s z)  in
30         ; for any Church numeral n > zero : n (K y) z ~~> y
31         let iszero = \n. n (\x. false) true  in
34         ; version 3 lists
36         let empty = \f z. z  in
37         let make_list = \h t f z. f h (t f z)  in
38         let isempty = \lst. lst (\h sofar. false) true  in
39         let head = \lst. lst (\h sofar. h) junk  in
40         let tail_empty = empty  in
41         let tail = \lst. (\shift. lst shift (make_pair empty tail_empty) get_2nd)
42                                 ; where shift is
43                                 (\h p. p (\t y. make_pair (make_list h t) t))  in
44         let length = \lst. lst (\h sofar. succ sofar) 0  in
45         let map = \f lst. lst (\h sofar. make_list (f h) sofar) empty  in
46         let filter = \f lst. lst (\h sofar. f h (make_list h sofar) sofar) empty  in ; or
47         let filter = \f lst. lst (\h. f h (make_list h) I) empty  in
48         let singleton = \x f z. f x z  in
49         ; append list2 to list1 with: list1 make_list list2
50         let reverse = \lst. lst (\h sofar. sofar make_list (singleton h)) empty  in
51         ; zip [a;b;c] [x; y; z] ~~> [(a,x);(b,y);(c,z)]
52         let zip = \left right. (\base build. reverse left build base (\x y. reverse x))
53                        ; where base is
54                        (make_pair empty (map (\h u. u h) right))
55                        ; and build is
56                        (\h sofar. sofar (\x y. isempty y
57                                                sofar
58                                                (make_pair (make_list (\u. head y (u h)) x)  (tail y))
59                        ))  in
60         let all = \f lst. lst (\h sofar. and sofar (f h)) true  in
61         let any = \f lst. lst (\h sofar. or sofar (f h)) false  in
64         ; version 1 lists
66         let empty = make_pair true junk  in
67         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t)  in
68         let isempty = \lst. lst get_1st  in
69         let head = \lst. isempty lst err (lst get_2nd get_1st)  in
70         let tail_empty = empty  in
71         let tail = \lst. isempty lst tail_empty (lst get_2nd get_2nd)  in
74         ; more math with Church numerals
76         let add = \m n. m succ n  in ; or
77         let add = \m n s z. m s (n s z)  in
78         let mul = \m n. m (\z. add n z) zero  in ; or
79         let mul = \m n s. m (n s)  in
80         let pow = \b exp. exp (mul b) one  in ; or
81         ; b succ : adds b
82         ; b (b succ) ; adds b b times, ie adds b^2
83         ; b (b (b succ)) ; adds b^2 b times, ie adds b^3
84         ; exp b succ ; adds b^exp
85         let pow = \b exp s z. exp b s z  in
88         ; three strategies for predecessor
89         let pred_zero = zero  in
90         let pred = (\shift n. n shift (make_pair zero pred_zero) get_2nd)
91                 ; where shift is
92                 (\p. p (\x y. make_pair (succ x) x))  in ; or
93         ; from Oleg; observe that for any Church numeral n: n I ~~> I
94         let pred = \n. iszero n zero
95                                         ; else
96                                         (n (\x. x I ; when x is the base term, this will be K zero
97                                                           ; when x is a Church numeral, it will be I
98                                                 (succ x))
99                                           ; base term
100                                           (K (K zero))
101                                         )  in
102         ; from Bunder/Urbanek
103         let pred = \n s z. n (\u v. v (u s)) (K z) I  in ; or
106         ; inefficient but simple comparisons
107         let leq = \m n. iszero (n pred m)  in
108         let lt = \m n. not (leq n m)  in
109         let eq = \m n. and (leq m n) (leq n m)  in ; or
112         ; more efficient comparisons, Oleg's gt provided some simplifications
113         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
114                         ; where base is
115                         (make_pair true junk)
116                         ; and build is
117                         (\p. make_pair false p)
118                         ; and consume is
119                         (\p. p get_1st p (p get_2nd))  in
120         let lt = \m n. not (leq n m)  in
121         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
122                         ; 2nd element of a pair will now be of the form (K sthg) or I
123                         ; we supply the pair being consumed itself as an argument
124                         ; getting back either sthg or the pair we just consumed
125                         ; base is
126                         (make_pair true (K (make_pair false I)))
127                         ; and build is
128                         (\p. make_pair false (K p))
129                         ; and consume is
130                         (\p. p get_2nd p)  in
133         ; -n is a fixedpoint of \x. add (add n x) x
134         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
135         ; instead:
136         let sub = \m n. n pred m  in ; or
137         ; how many times we can succ n until m <= result
138         let sub = \m n. (\base build. m build base (\cur fin sofar. sofar))
139                                 ; where base is
140                                 (make_triple n false zero)
141                                 ; and build is
142                                 (\t. t (\cur fin sofar. or fin (leq m cur)
143                                                 (make_triple cur true sofar) ; enough
144                                                 (make_triple (succ cur) false (succ sofar)) ; continue
145                                 ))  in
146         ; or
147         let sub = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
148                         ; where base is
149                         (make_pair zero I) ; see second defn of eq for explanation of 2nd element
150                         ; and build is
151                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
152                         ; and consume is
153                         (\p. p get_2nd p)  in
156         let min = \m n. sub m (sub m n) in
157         let max = \m n. add n (sub m n) in
160         ; (m/n) is a fixedpoint of \x. add (sub (mul n x) m) x
161         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
162         ; instead:
163         ; how many times we can sub n from m while n <= result
164         let div = \m n. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
165                                 ; where base is
166                                 (make_triple m true zero)
167                                 ; and build is
168                                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq n cur)
169                                                 (make_triple (sub cur n) true (succ sofar)) ; continue
170                                                 (make_triple cur false sofar) ; enough
171                                 ))  in
172     ; what's left after sub n from m while n <= result
173     let mod = \m n. (\base build. m build base (\cur go. cur))
174                 ; where base is
175                 (make_pair m true)
176                 ; and build is
177                 (\p. p (\cur go. and go (leq n cur)
178                         (make_pair (sub cur n) true) ; continue
179                         (make_pair cur false) ; enough
180                 ))  in
182         ; or
183         let divmod = (\base build mtail. \m n.
184                                         (\dhead. m (mtail dhead) (\sel. dhead (sel 0 0)))
185                                                         (n build base (\x y z. z junk))
186                                                         (\t u x y z. make_pair t u) )
187                                 ; where base is
188                                 (make_triple succ (K 0) I) ; see second defn of eq for explanation of 3rd element
189                                 ; and build is
190                         (\t. make_triple I succ (K t))
191                                 ; and mtail is
192                                 (\dhead d. d (\dz mz df mf drest sel. drest dhead (sel (df dz) (mf mz))))
193         in
194         let div = \n d. divmod n d get_1st  in
195         let mod = \n d. divmod n d get_2nd  in
198         ; sqrt n is a fixedpoint of \x. div (div (add n (mul x x)) 2) x
199         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
202         ; (log base b of m) is a fixedpoint of \x. add (sub (pow b x) m) x
203         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
204         ; instead:
205         ; how many times we can mul b by b while result <= m
206         let log = \m b. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
207                 ; where base is
208                 (make_triple b true 0)
209                 ; and build is
210                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq cur m)
211                            (make_triple (mul cur b) true (succ sofar)) ; continue
212                            (make_triple cur false sofar) ; enough
213                 ))  in
216         ; Rosenbloom's fixed point combinator
217         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
218         ; Turing's fixed point combinator
219         let Theta = (\u f. f (u u f)) (\u f. f (u u f))  in
222         ; length for version 1 lists
223         let length = Y (\self lst. isempty lst 0 (succ (self (tail lst))))  in
226         ; numhelper 0 f z ~~> z
227         ; when n > 0: numhelper n f z ~~> f (pred n)
228         ; compare Bunder/Urbanek pred
229         let numhelper = \n. n (\u v. v (u succ)) (K 0) (\p f z. f p)  in
231         ; accepts fixed point combinator as a parameter, so you can use different ones
232         let fact = \y. y (\self n. numhelper n (\p. mul n (self p)) 1)  in
236         fact Theta 3  ; returns 6
239 <!--
240         ; my original efficient comparisons
241         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st (\x. false) true)
242                         ; where base is
243                         (make_pair zero I) ; supplying this pair as an arg to its 2nd term returns the pair
244                         ; and build is
245                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p))) ; supplying the made pair as an arg to its 2nd term returns p (the previous pair)
246                         ; and consume is
247                         (\p. p get_2nd p)  in
248         let lt = \m n. not (leq n m) in
249         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) true (\x. false) true)
250                         ; where base is
251                         (make_pair zero (K (make_pair one I)))
252                         ; and build is
253                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
254                         ; and consume is
255                         (\p. p get_2nd p)  in ; or
256 -->
258 <!--
259         gcd
260         pow_mod
263         show Oleg's definition of integers:
264                 church_to_int = \n sign. n
265                 church_to_negint = \n sign s z. sign (n s z)
267                 ; int_to_church
268                 abs = \int. int I
270                 sign_case = \int ifpos ifzero ifneg. int (K ifneg) (K ifpos) ifzero
272                 negate_int = \int. sign_case int (church_to_negint (abs int)) zero (church_to_int (abs int))
274         for more, see http://okmij.org/ftp/Computation/lambda-arithm-neg.scm
276 -->