author Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 13:13:26 +0000 (09:13 -0400) committer Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 13:13:26 +0000 (09:13 -0400)
Signed-off-by: Jim Pryor <profjim@jimpryor.net>

index a6165e9..966fc95 100644 (file)
@@ -202,20 +202,25 @@ Let <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> be members of `T`, that is they

Since composition is associative I don't specify the order of composition on the rhs.

-In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes its written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; <=< &phi;</code>.)
+In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes it's written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code>.)

-<code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'` which = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; <=< &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.
+<code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'`, where the latter = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.

Now we can specify the "monad laws" governing a monad as follows:

(T, <=<, unit) constitute a monoid

-That's it. Well, there may be a wrinkle here. I don't know whether the definition of a monoid requires the operation to be defined for every pair in its set. In the present case, <code>&gamma; <=< &phi;</code> isn't fully defined on `T`, but only when `F` is a functor to `MF'` and `G` is a functor from `F'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws are satisfied:
+That's it. Well, there may be a wrinkle here. I don't know whether the definition of a monoid requires the operation to be defined for every pair in its set. In the present case, <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> isn't fully defined on `T`, but only when <code>&phi;</code> is a transformation to some `MF'` and <code>&gamma;</code> is a transformation from `F'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws are satisfied:

+<pre>
(i) &gamma; <=< &phi; is also in T
+
(ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
+
(iii.1) unit <=< &phi;  =  &phi;                 (here &phi; has to be a natural transformation to M(1C))
+
(iii.2)                &phi;  =  &phi; <=< unit  (here &phi; has to be a natural transformation from 1C)
+</pre>

If <code>&phi;</code> is a natural transformation from `F` to `M(1C)` and <code>&gamma;</code> is <code>(&phi; G')</code>, that is, a natural transformation from `FG` to `MG`, then we can extend (iii.1) as follows:

@@ -229,7 +234,7 @@ If <code>&phi;</code> is a natural transformation from `F` to `M(1C)` and <code>

where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from some `FG'` to `MG'`.

-Similarly, if &phi; is a natural transformation from `1C` to `MF'`, and &gamma; is `(&phi; G)`, that is, a natural transformation from `G` to `MF'G`, then we can extend (iii.2) as follows:
+Similarly, if <code>&phi;</code> is a natural transformation from `1C` to `MF'`, and <code>&gamma;</code> is <code>(&phi; G)</code>, that is, a natural transformation from `G` to `MF'G`, then we can extend (iii.2) as follows:

&gamma; = (&phi; G)
= ((&phi; <=< unit) G)
@@ -239,7 +244,7 @@ Similarly, if &phi; is a natural transformation from `1C` to `MF'`, and &gamma;
??
= &gamma; <=< (unit G)

-where as we said &gamma; is a natural transformation from `G` to some `MF'G`.
+where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from `G` to some `MF'G`.