author Jim Pryor Sun, 3 Oct 2010 22:11:51 +0000 (18:11 -0400) committer Jim Pryor Sun, 3 Oct 2010 22:11:51 +0000 (18:11 -0400)
Signed-off-by: Jim Pryor <profjim@jimpryor.net>
 assignment4.mdwn patch | blob | history hints/assignment_4_hint_2.mdwn [new file with mode: 0644] patch | blob

index cd89a13..cfe621c 100644 (file)
@@ -12,46 +12,73 @@ can use.

#Comparing lists for equality#

+
<OL start=2>
-<LI>blah
+<LI>Suppose you have two lists of integers, left and right. You want to determine whether those lists are equal: that is, whether they have all the same members in the same order. (Equality for the lists we're working with is *extensional*, or parasitic on the equality of their members, and the list structure. Later in the course we'll see lists which aren't extensional in this way.)
+
+How would you implement such a list comparison?
+
+(See [[hints/Assignment 4 hint 2]] if you need some hints.)
</OL>
-<!--
-let list_equal =
-    \left right. left
-                ; here's our f
-                (\hd sofar.
-                    ; deconstruct our sofar-pair
-                    sofar (\might_be_equal right_tail.
-                        ; our new sofar
-                        make_pair
-                        (and (and might_be_equal (not (isempty right_tail))) (eq? hd (head right_tail)))
-                        (tail right_tail)
-                    ))
-                ; here's our z
-                ; we pass along the fold a pair
-                ; (might_for_all_i_know_still_be_equal?, tail_of_reversed_right)
-                ; when left is empty, the lists are equal if right is empty
-                (make_pair
-                    true ; for all we know so far, they might still be equal
-                    (reverse right)
-                )
-                ; when fold is finished, check sofar-pair
-                (\might_be_equal right_tail. and might_be_equal (isempty right_tail))
--->

-#Mutually-recursive functions#
+
+#Enumerating the fringe of a leaf-labeled tree#
+

<OL start=3>
<LI>blah
</OL>

-#Enumerating the fringe of a leaf-labeled tree#
+#Mutually-recursive functions#

-[[Implementing trees]]
+<OL start=4>
+<LI>(Challenging.) One way to define the function even is to have it hand off part of the work to another function odd:

+       let even = \x. iszero x
+                                       ; if x == 0 then result is
+                                       true
+                                       ; else result turns on whether x's pred is odd
+                                       (odd (pred x))

-<OL start=4>
-<LI>blah
+At the same tme, though, it's natural to define odd in such a way that it hands off part of the work to even:
+
+       let odd = \x. iszero x
+                                       ; if x == 0 then result is
+                                       false
+                                       ; else result turns on whether x's pred is even
+                                       (even (pred x))
+
+Such a definition of even and odd is called **mutually recursive**. If you trace through the evaluation of some sample numerical arguments, you can see that eventually we'll always reach a base step. So the recursion should be perfectly well-grounded:
+
+       even 3
+       ~~> iszero 3 true (odd (pred 3))
+       ~~> odd 2
+       ~~> iszero 2 false (even (pred 2))
+       ~~> even 1
+       ~~> iszero 1 true (odd (pred 1))
+       ~~> odd 0
+       ~~> iszero 0 false (even (pred 0))
+       ~~> false
+
+But we don't yet know how to implement this kind of recursion in the lambda calculus.
+
+The fixed point operators we've been working with so far worked like this:
+
+       let X = Y T in
+       X <~~> T X
+
+Suppose we had a pair of fixed point operators, Y1 and Y2, that operated on a *pair* of functions T1 and T2, as follows:
+
+       let X1 = Y1 T1 T2 in
+       let X2 = Y2 T1 T2 in
+       X1 <~~> T1 X1 X2 and
+       X2 <~~> T2 X1 X2
+
+If we gave you such a Y1 and Y2, how would you implement the above definitions of even and odd?
+
+
+<LI>(More challenging.) Using our derivation of Y from the [[Week2]] notes as a model, construct a pair Y1 and Y2 that behave in the way described.
</OL>

diff --git a/hints/assignment_4_hint_2.mdwn b/hints/assignment_4_hint_2.mdwn
new file mode 100644 (file)
index 0000000..6bcd770
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,24 @@
+
+<!--
+let list_equal =
+    \left right. left
+                ; here's our f
+                (\hd sofar.
+                    ; deconstruct our sofar-pair
+                    sofar (\might_be_equal right_tail.
+                        ; our new sofar
+                        make_pair
+                        (and (and might_be_equal (not (isempty right_tail))) (eq? hd (head right_tail)))
+                        (tail right_tail)
+                    ))
+                ; here's our z
+                ; we pass along the fold a pair
+                ; (might_for_all_i_know_still_be_equal?, tail_of_reversed_right)
+                ; when left is empty, the lists are equal if right is empty
+                (make_pair
+                    true ; for all we know so far, they might still be equal
+                    (reverse right)
+                )
+                ; when fold is finished, check sofar-pair
+                (\might_be_equal right_tail. and might_be_equal (isempty right_tail))
+-->