author Jim Pryor Wed, 1 Dec 2010 08:37:18 +0000 (03:37 -0500) committer Jim Pryor Wed, 1 Dec 2010 08:37:18 +0000 (03:37 -0500)
Signed-off-by: Jim Pryor <profjim@jimpryor.net>

@@ -46,7 +46,7 @@ Our first task will be to replace each leaf with its double:

let rec treemap (newleaf : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
match t with
-           | Leaf x -> Leaf (newleaf x)
+           | Leaf i -> Leaf (newleaf i)
| Node (l, r) -> Node (treemap newleaf l,
treemap newleaf r);;

@@ -76,7 +76,7 @@ decide to do something else to the leaves without needing to rewrite
`treemap`.  For instance, we can easily square each leaf instead by
supplying the appropriate `int -> int` operation in place of `double`:

-       let square x = x * x;;
+       let square i = i * i;;
treemap square t1;;
- : int tree =ppp
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
@@ -107,7 +107,7 @@ updated tree.
That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
tree`) into a reader object of type `(int -> int) -> int tree`: something
that, when you apply it to an `int -> int` function `f` returns an `int
-tree` in which each leaf `x` has been replaced with `f x`.
+tree` in which each leaf `i` has been replaced with `f i`.

With previous readers, we always knew which kind of environment to
expect: either an assignment function (the original calculator
@@ -132,7 +132,7 @@ function of type `int -> int` to.

let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
match t with
-           | Leaf x -> reader_bind (f x) (fun x' -> reader_unit (Leaf x'))
+           | Leaf i -> reader_bind (f i) (fun i' -> reader_unit (Leaf i'))
| Node (l, r) -> reader_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
@@ -164,8 +164,8 @@ For instance, we can use a state monad to count the number of nodes in
the tree.

type 'a state = int -> 'a * int;;
-       let state_unit a = fun i -> (a, i);;
-       let state_bind u f = fun i -> let (a, i') = u i in f a (i' + 1);;
+       let state_unit a = fun s -> (a, s);;
+       let state_bind_and_count u f = fun s -> let (a, s') = u s in f a (s' + 1);;

Gratifyingly, we can use the `treemonadizer` function without any
modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type
@@ -173,9 +173,9 @@ modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type

let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
match t with
-           | Leaf x -> state_bind (f x) (fun x' -> state_unit (Leaf x'))
-           | Node (l, r) -> state_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
-                              state_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
+           | Leaf i -> state_bind_and_count (f i) (fun i' -> state_unit (Leaf i'))
+           | Node (l, r) -> state_bind_and_count (treemonadizer f l) (fun x ->
+                              state_bind_and_count (treemonadizer f r) (fun y ->
state_unit (Node (x, y))));;

Then we can count the number of nodes in the tree:
@@ -210,7 +210,7 @@ But I assume Chris means here, adjust the code so that no corrections of this so
One more revealing example before getting down to business: replacing
`state` everywhere in `treemonadizer` with `list` gives us

-       # treemonadizer (fun x -> [ [x; square x] ]) t1;;
+       # treemonadizer (fun i -> [ [i; square i] ]) t1;;
- : int list tree list =
[Node
(Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
@@ -220,16 +220,21 @@ Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
a list of `int`'s.

+<!--
+We don't make it clear why the fun has to be int -> int list list, instead of int -> int list
+-->
+
+
Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
of leaves?

type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
-       let continuation_unit x c = c x;;
-       let continuation_bind u f c = u (fun a -> f a c);;
+       let continuation_unit a = fun k -> k a;;
+       let continuation_bind u f = fun k -> u (fun a -> f a k);;

let rec treemonadizer (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) (t : 'a tree) : ('b tree, 'r) continuation =
match t with
-           | Leaf x -> continuation_bind (f x) (fun x' -> continuation_unit (Leaf x'))
+           | Leaf i -> continuation_bind (f i) (fun i' -> continuation_unit (Leaf i'))
| Node (l, r) -> continuation_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
continuation_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
continuation_unit (Node (x, y))));;
@@ -238,7 +243,7 @@ We use the continuation monad described above, and insert the
`continuation` type in the appropriate place in the `treemonadizer` code.
We then compute:

-       # treemonadizer (fun a c -> a :: (c a)) t1 (fun t -> []);;
+       # treemonadizer (fun a k -> a :: (k a)) t1 (fun t -> []);;
- : int list = [2; 3; 5; 7; 11]

We have found a way of collapsing a tree into a list of its leaves.
@@ -249,7 +254,7 @@ note that an interestingly uninteresting thing happens if we use the
continuation unit as our first argument to `treemonadizer`, and then
apply the result to the identity function:

-       # treemonadizer continuation_unit t1 (fun x -> x);;
+       # treemonadizer continuation_unit t1 (fun i -> i);;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))

@@ -257,19 +262,19 @@ That is, nothing happens.  But we can begin to substitute more
interesting functions for the first argument of `treemonadizer`:

(* Simulating the tree reader: distributing a operation over the leaves *)
-       # treemonadizer (fun a c -> c (square a)) t1 (fun x -> x);;
+       # treemonadizer (fun a c -> c (square a)) t1 (fun i -> i);;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))

(* Simulating the int list tree list *)
-       # treemonadizer (fun a c -> c [a; square a]) t1 (fun x -> x);;
+       # treemonadizer (fun a c -> c [a; square a]) t1 (fun i -> i);;
- : int list tree =
Node
(Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))

(* Counting leaves *)
-       # treemonadizer (fun a c -> 1 + c a) t1 (fun x -> 0);;
+       # treemonadizer (fun a c -> 1 + c a) t1 (fun i -> 0);;
- : int = 5

We could simulate the tree state example too, but it would require
@@ -284,10 +289,10 @@ Of course, by now you may have realized that we have discovered a new