author Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 12:14:24 +0000 (08:14 -0400) committer Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 12:14:24 +0000 (08:14 -0400)
Signed-off-by: Jim Pryor <profjim@jimpryor.net>

index 0f84bb2..a5e6f97 100644 (file)
@@ -32,7 +32,7 @@ A **monoid** is a structure `(S, *, z)` consisting of an associative binary oper
Some examples of monoids are:

*      finite strings of an alphabet `A`, with `*` being concatenation and `z` being the empty string
-*      all functions `X->X` over a set `X`, with `*` being composition and `z` being the identity function over `X`
+*      all functions `X&rarr;X` over a set `X`, with `*` being composition and `z` being the identity function over `X`
*      the natural numbers with `*` being plus and `z` being `0` (in particular, this is a **commutative monoid**). If we use the integers, or the naturals mod n, instead of the naturals, then every element will have an inverse and so we have not merely a monoid but a **group**.)
*      if we let `*` be multiplication and `z` be `1`, we get different monoids over the same sets as in the previous item.

@@ -40,14 +40,14 @@ Categories
----------
A **category** is a generalization of a monoid. A category consists of a class of **elements**, and a class of **morphisms** between those elements. Morphisms are sometimes also called maps or arrows. They are something like functions (and as we'll see below, given a set of functions they'll determine a category). However, a single morphism only maps between a single source element and a single target element. Also, there can be multiple distinct morphisms between the same source and target, so the identity of a morphism goes beyond its "extension."

-When a morphism `f` in category <b>C</b> has source `C1` and target `C2`, we'll write `f:C1->C2`.
+When a morphism `f` in category <b>C</b> has source `C1` and target `C2`, we'll write `f:C1&rarr;C2`.

To have a category, the elements and morphisms have to satisfy some constraints:

<pre>
-       (i) the class of morphisms has to be closed under composition: where f:C1->C2 and g:C2->C3, g o f is also a morphism of the category, which maps C1->C3.
+       (i) the class of morphisms has to be closed under composition: where f:C1&rarr;C2 and g:C2&rarr;C3, g o f is also a morphism of the category, which maps C1&rarr;C3.
(ii) composition of morphisms has to be associative
-       (iii) every element E of the category has to have an identity morphism 1<sub>E</sub>, which is such that for every morphism f:C1->C2: 1<sub>C2</sub> o f = f = f o 1<sub>C1</sub>
+       (iii) every element E of the category has to have an identity morphism 1<sub>E</sub>, which is such that for every morphism f:C1&rarr;C2: 1<sub>C2</sub> o f = f = f o 1<sub>C1</sub>
</pre>

These parallel the constraints for monoids. Note that there can be multiple distinct morphisms between an element `E` and itself; they need not all be identity morphisms. Indeed from (iii) it follows that each element can have only a single identity morphism.
@@ -75,7 +75,7 @@ A **functor** is a "homomorphism", that is, a structure-preserving mapping, betw

<pre>
(i) associate with every element C1 of <b>C</b> an element F(C1) of <b>D</b>
-       (ii) associate with every morphism f:C1->C2 of <b>C</b> a morphism F(f):F(C1)->F(C2) of <b>D</b>
+       (ii) associate with every morphism f:C1&rarr;C2 of <b>C</b> a morphism F(f):F(C1)&rarr;F(C2) of <b>D</b>
(iii) "preserve identity", that is, for every element C1 of <b>C</b>: F of C1's identity morphism in <b>C</b> must be the identity morphism of F(C1) in <b>D</b>: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
(iv) "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in <b>C</b>: F(g o f) = F(g) o F(f)
</pre>
@@ -92,9 +92,9 @@ Natural Transformation
----------------------
So categories include elements and morphisms. Functors consist of mappings from the elements and morphisms of one category to those of another (or the same) category. **Natural transformations** are a third level of mappings, from one functor to another.

-Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms &eta;[C1]:G(C1)->H(C1)` in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, &eta;[C1]` has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:
+Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms &eta;[C1]:G(C1)&rarr;H(C1)` in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, &eta;[C1]` has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:

-       for every morphism f:C1->C2 in <b>C</b>: &eta;[C2] o G(f) = H(f) o &eta;[C1]
+       for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: &eta;[C2] o G(f) = H(f) o &eta;[C1]

That is, the morphism via `G(f)` from `G(C1)` to `G(C2)`, and then via &eta;[C2]` to `H(C2)`, is identical to the morphism from `G(C1)` via &eta;[C1]` to `H(C1)`, and then via `H(f)` from `H(C1)` to `H(C2)`.

@@ -105,13 +105,13 @@ Consider four categories <b>B</b>, <b>C</b>, <b>D</b>, and <b>E</b>. Let `F` be

- <b>B</b> -+ +--- <b>C</b> --+ +---- <b>D</b> -----+ +-- <b>E</b> --
| |        | |            | |
-        F: ------> G: ------>     K: ------>
+        F: -----&rarr; G: -----&rarr;     K: -----&rarr;
| |        | |  | &eta;     | |  | &psi;
| |        | |  v         | |  v
-                | |    H: ------>     L: ------>
+                | |    H: -----&rarr;     L: -----&rarr;
| |        | |  | &phi;     | |
| |        | |  v         | |
-                | |    J: ------>         | |
+                | |    J: -----&rarr;         | |
-----+ +--------+ +------------+ +-------

Then `(&eta; F)` is a natural transformation from the (composite) functor `GF` to the composite functor `HF`, such that where `b1` is an element of category <b>B</b>, `(&eta; F)[b1] = &eta;[F(b1)]`---that is, the morphism in <b>D</b> that &eta; assigns to the element `F(b1)` of <b>C</b>.
@@ -119,7 +119,7 @@ Then `(&eta; F)` is a natural transformation from the (composite) functor `GF` t
And `(K &eta;)` is a natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `KH`, such that where `C1` is an element of category <b>C</b>, `(K &eta;)[C1] = K(&eta;[C1])`---that is, the morphism in <b>E</b> that `K` assigns to the morphism &eta;[C1]` of <b>D</b>.

-`(&phi; -v- &eta;)` is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". We will rely later on this, where `f:C1->C2`:
+`(&phi; -v- &eta;)` is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". We will rely later on this, where `f:C1&rarr;C2`:

&phi;[C2] o H(f) o &eta;[C1] = &phi;[C2] o H(f) o &eta;[C1]

@@ -218,25 +218,25 @@ The standard category-theory presentation of the monad laws
In category theory, the monad laws are usually stated in terms of `unit` and `join` instead of `unit` and `<=<`.

(*
-       P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1->C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> o f = f = f o 1<sub>C1</sub>.
+       P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> o f = f = f o 1<sub>C1</sub>.
P3. functors "preserve identity", that is for every element C1 in F's source category: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
*)

Let's remind ourselves of some principles:
* composition of morphisms, functors, and natural compositions is associative
* functors "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in F's source category: F(g o f) = F(g) o F(f)
-       * if &eta; is a natural transformation from F to G, then for every f:C1->C2 in F and G's source category <b>C</b>: &eta;[C2] o F(f) = G(f) o &eta;[C1].
+       * if &eta; is a natural transformation from F to G, then for every f:C1&rarr;C2 in F and G's source category <b>C</b>: &eta;[C2] o F(f) = G(f) o &eta;[C1].

Let's use the definitions of naturalness, and of composition of natural transformations, to establish two lemmas.

-Recall that join is a natural transformation from the (composite) functor MM to M. So for elements C1 in <b>C</b>, join[C1] will be a morphism from MM(C1) to M(C1). And for any morphism f:a->b in <b>C</b>:
+Recall that join is a natural transformation from the (composite) functor MM to M. So for elements C1 in <b>C</b>, join[C1] will be a morphism from MM(C1) to M(C1). And for any morphism f:a&rarr;b in <b>C</b>:

(1) join[b] o MM(f)  =  M(f) o join[a]

Next, consider the composite transformation ((join MQ') -v- (MM q)).
-       q is a transformation from Q to MQ', and assigns elements C1 in <b>C</b> a morphism q*: Q(C1) -> MQ'(C1). (MM q) is a transformation that instead assigns C1 the morphism MM(q*).
+       q is a transformation from Q to MQ', and assigns elements C1 in <b>C</b> a morphism q*: Q(C1) &rarr; MQ'(C1). (MM q) is a transformation that instead assigns C1 the morphism MM(q*).
(join MQ') is a transformation from MMMQ' to MMQ' that assigns C1 the morphism join[MQ'(C1)].
Composing them:
(2) ((join MQ') -v- (MM q)) assigns to C1 the morphism join[MQ'(C1)] o MM(q*).
@@ -246,14 +246,14 @@ Next, consider the composite transformation ((M q) -v- (join Q)).

So for every element C1 of <b>C</b>:
((join MQ') -v- (MM q))[C1], by (2) is:
-       join[MQ'(C1)] o MM(q*), which by (1), with f=q*: Q(C1)->MQ'(C1) is:
+       join[MQ'(C1)] o MM(q*), which by (1), with f=q*: Q(C1)&rarr;MQ'(C1) is:
M(q*) o join[Q(C1)], which by 3 is:
((M q) -v- (join Q))[C1]

So our (lemma 1) is: ((join MQ') -v- (MM q))  =  ((M q) -v- (join Q)), where q is a transformation from Q to MQ'.

-Next recall that unit is a natural transformation from 1C to M. So for elements C1 in <b>C</b>, unit[C1] will be a morphism from C1 to M(C1). And for any morphism f:a->b in <b>C</b>:
+Next recall that unit is a natural transformation from 1C to M. So for elements C1 in <b>C</b>, unit[C1] will be a morphism from C1 to M(C1). And for any morphism f:a&rarr;b in <b>C</b>:
(4) unit[b] o f = M(f) o unit[a]

Next consider the composite transformation ((M q) -v- (unit Q)). (5) This assigns to C1 the morphism M(q*) o unit[Q(C1)].
@@ -262,7 +262,7 @@ Next consider the composite transformation ((unit MQ') -v- q). (6) This assigns

So for every element C1 of <b>C</b>:
((M q) -v- (unit Q))[C1], by (5) =
-       M(q*) o unit[Q(C1)], which by (4), with f=q*: Q(C1)->MQ'(C1) is:
+       M(q*) o unit[Q(C1)], which by (4), with f=q*: Q(C1)&rarr;MQ'(C1) is:
unit[MQ'(C1)] o q*, which by (6) =
((unit MQ') -v- q)[C1]

@@ -363,12 +363,12 @@ Additionally, whereas in category-theory one works "monomorphically", in functio

The base category <b>C</b> will have types as elements, and monadic functions as its morphisms. The source and target of a morphism will be the types of its argument and its result. (As always, there can be multiple distinct morphisms from the same source to the same target.)

-A monad M will consist of a mapping from types C1 to types M(C1), and a mapping from functions f:C1->C2 to functions M(f):M(C1)->M(C2). This is also known as "fmap f" or "liftM f" for M, and is called "function f lifted into the monad M." For example, where M is the list monad, M maps every type X into the type "list of Xs", and maps every function f:x->y into the function that maps [x1,x2...] to [y1,y2,...].
+A monad M will consist of a mapping from types C1 to types M(C1), and a mapping from functions f:C1&rarr;C2 to functions M(f):M(C1)&rarr;M(C2). This is also known as "fmap f" or "liftM f" for M, and is called "function f lifted into the monad M." For example, where M is the list monad, M maps every type X into the type "list of Xs", and maps every function f:x&rarr;y into the function that maps [x1,x2...] to [y1,y2,...].

-A natural transformation t assigns to each type C1 in <b>C</b> a morphism t[C1]: C1->M(C1) such that, for every f:C1->C2:
+A natural transformation t assigns to each type C1 in <b>C</b> a morphism t[C1]: C1&rarr;M(C1) such that, for every f:C1&rarr;C2:
t[C2] o f = M(f) o t[C1]

The composite morphisms said here to be identical are morphisms from the type C1 to the type M(C2).
@@ -379,12 +379,12 @@ In functional programming, instead of working with natural transformations we wo

For an example of the latter, let p be a function that takes arguments of some (schematic, polymorphic) type C1 and yields results of some (schematic, polymorphic) type M(C2). An example with M being the list monad, and C2 being the tuple type schema int * C1:

-       let p = fun c -> [(1,c), (2,c)]
+       let p = fun c &rarr; [(1,c), (2,c)]

p is polymorphic: when you apply it to the int 0 you get a result of type "list of int * int": [(1,0), (2,0)]. When you apply it to the char 'e' you get a result of type "list of int * char": [(1,'e'), (2,'e')].

-However, to keep things simple, we'll work instead with functions whose type is settled. So instead of the polymorphic p, we'll work with (p : C1 -> M(int * C1)). This only accepts arguments of type C1. For generality, I'll talk of functions with the type (p : C1 -> M(C1')), where we assume that C1' is a function of C1.
+However, to keep things simple, we'll work instead with functions whose type is settled. So instead of the polymorphic p, we'll work with (p : C1 &rarr; M(int * C1)). This only accepts arguments of type C1. For generality, I'll talk of functions with the type (p : C1 &rarr; M(C1')), where we assume that C1' is a function of C1.

-A "monadic value" is any member of a type M(C1), for any type C1. For example, a list is a monadic value for the list monad. We can think of these monadic values as the result of applying some function (p : C1 -> M(C1')) to an argument of type C1.
+A "monadic value" is any member of a type M(C1), for any type C1. For example, a list is a monadic value for the list monad. We can think of these monadic values as the result of applying some function (p : C1 &rarr; M(C1')) to an argument of type C1.