author chris Thu, 26 Feb 2015 02:04:38 +0000 (21:04 -0500) committer Linux User Thu, 26 Feb 2015 02:04:38 +0000 (21:04 -0500)

index 4afb43b..a80cc58 100644 (file)
@@ -39,22 +39,22 @@ match up with usage in O'Caml, whose type system is based on System F):

System F:
---------
-       types τ ::= c | 'a | τ1 -> τ2 | ∀'a. τ
-       expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'a. e | e [τ]
+       types τ ::= c | α | τ1 -> τ2 | ∀'a. τ
+       expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ]

In the definition of the types, "`c`" is a type constant.  Type
constants play the role in System F that base types play in the
simply-typed lambda calculus.  So in a lingusitics context, type
-constants might include `e` and `t`.  "`'a`" is a type variable.  The
+constants might include `e` and `t`.  "α" is a type variable.  The
tick mark just indicates that the variable ranges over types rather
than over values; in various discussion below and later, type variable
can be distinguished by using letters from the greek alphabet
(&alpha;, &beta;, etc.), or by using capital roman letters (X, Y,
etc.).  "`τ1 -> τ2`" is the type of a function from expressions of
-type `τ1` to expressions of type `τ2`.  And "`∀'a. τ`" is called a
+type `τ1` to expressions of type `τ2`.  And "`∀α. τ`" is called a
universal type, since it universally quantifies over the type variable
-`'a`.  You can expect that in `∀'a. τ`, the type `τ` will usually
-have at least one free occurrence of `'a` somewhere inside of it.
+`'a`.  You can expect that in `∀α. τ`, the type `τ` will usually
+have at least one free occurrence of `α` somewhere inside of it.

In the definition of the expressions, we have variables "`x`" as usual.
Abstracts "`λx:τ. e`" are similar to abstracts in the simply-typed lambda
@@ -62,7 +62,7 @@ calculus, except that they have their shrug variable annotated with a
type.  Applications "`e1 e2`" are just like in the simply-typed lambda calculus.

In addition to variables, abstracts, and applications, we have two
-additional ways of forming expressions: "`Λ'a. e`" is called a *type
+additional ways of forming expressions: "`Λα. e`" is called a *type
abstraction*, and "`e [τ]`" is called a *type application*.  The idea
is that <code>&Lambda;</code> is a capital <code>&lambda;</code>: just
like the lower-case <code>&lambda;</code>, <code>&Lambda;</code> binds
@@ -72,7 +72,7 @@ variables.  So in the expression

<code>&Lambda; α (&lambda; x:α . x)</code>

-the <code>&Lambda;</code> binds the type variable `'a` that occurs in
+the <code>&Lambda;</code> binds the type variable `α` that occurs in
the <code>&lambda;</code> abstract.  Of course, as long as type
variables are carefully distinguished from expression variables (by
tick marks, Grecification, or capitalization), there is no need to
@@ -85,27 +85,27 @@ be adapted for use with expressions of any type. In order to get it
ready to apply this identity function to, say, a variable of type
boolean, just do this:

-<code>(&Lambda; 'a (&lambda; x:'a . x)) [t]</code>
+<code>(&Lambda; α (&lambda; x:α . x)) [t]</code>

This type application (where `t` is a type constant for Boolean truth
-values) specifies the value of the type variable `'a`.  Not
+values) specifies the value of the type variable `α`.  Not
surprisingly, the type of this type application is a function from
Booleans to Booleans:

-<code>((&Lambda; 'a (&lambda; x:'a . x)) [t]): (b -> b)</code>
+<code>((&Lambda; α (&lambda; x:α . x)) [t]): (b -> b)</code>

Likewise, if we had instantiated the type variable as an entity (base
type `e`), the resulting identity function would have been a function
of type `e -> e`:

-<code>((&Lambda; 'a (&lambda; x:'a . x)) [e]): (e -> e)</code>
+<code>((&Lambda; α (&lambda; x:α . x)) [e]): (e -> e)</code>

-Clearly, for any choice of a type `'a`, the identity function can be
-instantiated as a function from expresions of type `'a` to expressions
-of type `'a`.  In general, then, the type of the uninstantiated
+Clearly, for any choice of a type `α`, the identity function can be
+instantiated as a function from expresions of type `α` to expressions
+of type `α`.  In general, then, the type of the uninstantiated
(polymorphic) identity function is

-<code>(&Lambda; 'a (&lambda; x:'a . x)): (&forall; 'a . 'a -> 'a)</code>
+<code>(&Lambda; α (&lambda; x:α . x)): (&forall; α . α -> α)</code>

Pred in System F
----------------