author Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 13:35:01 +0000 (09:35 -0400) committer Jim Pryor Tue, 2 Nov 2010 13:35:01 +0000 (09:35 -0400)
Signed-off-by: Jim Pryor <profjim@jimpryor.net>

index 2b433d2..4941e80 100644 (file)
@@ -202,9 +202,9 @@ Let <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> be members of `T`, that is they

Since composition is associative I don't specify the order of composition on the rhs.

-In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes it's written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; <=< &phi;</code>.)
+In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes it's written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code>.)

-<code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'`, where the latter = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; <=< &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.
+<code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'`, where the latter = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.

Now we can specify the "monad laws" governing a monad as follows:

@@ -214,12 +214,8 @@ Now we can specify the "monad laws" governing a monad as follows:

That's it. Well, there may be a wrinkle here.

-`test`
-
I don't know whether the definition of a monoid requires the operation to be defined for every pair in its set. In the present case, <code>&gamma; <=< &phi;</code> isn't fully defined on `T`, but only when <code>&phi;</code> is a transformation to some `MF'` and <code>&gamma;</code> is a transformation from `F'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws are satisfied:

-`test`
-
<pre>
(i) &gamma; <=< &phi; is also in T