author Jim Sun, 1 Feb 2015 02:48:35 +0000 (21:48 -0500) committer Jim Sun, 1 Feb 2015 02:48:35 +0000 (21:48 -0500)
 week1.mdwn patch | blob | history

index 7a6050e..c75da69 100644 (file)
@@ -107,7 +107,7 @@ As one of you was quick to notice in class, though, when I shift to the `let`-vo

let x be 5 in x + 1

-which evaluates to `6`. Okay, fair enough, so I am moving beyond the &forall; `x==5.` &phi; idea when I do this. But the rule for how to interpret this are just a straightforward generalization of our existing understanding for how to interpret bound variables. So there's nothing fundamentally novel here.
+which evaluates to `6`. Okay, fair enough, so I am moving beyond the &forall; `x==5.` &phi; idea when I do this. But the rules for how to interpret this are just a straightforward generalization of our existing understanding for how to interpret bound variables. So there's nothing fundamentally novel here.

We can have multiple `let`-expressions embedded, as in:

@@ -128,4 +128,18 @@ It's okay to also write it all inline, like so: `let x be 5; y be x + 1 in 2 * y

The `x + 1` that is evaluated to give the value that `y` gets bound to uses the (more local) binding of `x` to `5`, not the (previous, less local) binding of `x` to `0`. By the way, the parentheses in that displayed expression were just to focus your attention. It would have parsed and meant the same without them.

+Now we can allow ourselves to introduce &lambda;-expressions in the following way. If a &lambda;-expression is applied to an argument, as in: `(`&lambda; `x.` &phi;`) M`, for any (simple or complex) expressions &phi; and `M`, this means the same as: `let x be M in` &phi;. That is, the argument to the &lambda;-expression provides (when evaluated) a value for the variable `x` to be bound to, and then the result of the whole thing is whatever &phi; evaluates to, under that binding to `x`.
+
+If we restricted ourselves to only that usage of &lambda;-expressions, that is when they were applied to all the arguments they're expecting, then we wouldn't have moved very far from the decidable fragment of arithmetic we began with.
+
+However, it's tempting to help ourselves to the notion (at least partly) *unapplied* &lambda;-expressions, too. If I can make sense of what:
+
+    (&lambda; x. x + 1) 5
+
+means, then I can make sense of what:
+
+    (&lambda; x. x + 1)
+
+means, too. It's just *the function* that waits for an argument and then returns the result of `x + 1` with `x` bound to that argument.
+
*More to come.*