index a1aa254..bc154ae 100644 (file)
@@ -17,7 +17,7 @@ of the equalities in the last line.
#Q: How do you know that for any term `T`, `Y T` is a fixed point of `T`?#

A: Note that in the proof given in the previous answer, we chose `T`
-and then set `X = L L = (\x. T (x x)) (\x. T (x x))`.  If we abstract over
+and then set <code>X &equiv; L L &equiv; (\x. T (x x)) (\x. T (x x))</code>.  If we abstract over
`T`, we get the Y combinator, `\T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x))`.  No matter
what argument `T` we feed `Y`, it returns some `X` that is a fixed point
of `T`, by the reasoning in the previous answer.
@@ -27,11 +27,13 @@ of `T`, by the reasoning in the previous answer.
A: Right:

<pre><code>let Y = \T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x)) in
-Y Y &equiv; \T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x)) Y
+Y Y
+&equiv;   \T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x)) Y
~~> (\x. Y (x x)) (\x. Y (x x))
~~> Y ((\x. Y (x x)) (\x. Y (x x)))
~~> Y (Y ((\x. Y (x x)) (\x. Y (x x))))
-~~> Y (Y (Y (...(Y (Y Y))...)))</code></pre>
+~~> Y (Y (Y (...(Y (Y Y))...)))
+</code></pre>

#Q: Ouch!  Stop hurting my brain.#
@@ -43,7 +45,7 @@ claimed that even `succ`---the function that added one to any
number---had a fixed point.  How could there be an X such that X = X+1?
That would imply that

-    X <~~> succ X <~~> succ (succ X) <~~> succ (succ (succ (X))) <~~> succ (... (succ X)...)
+    X <~~> succ X <~~> succ (succ X) <~~> succ (succ (succ X)) <~~> succ (... (succ X)...)

In other words, the fixed point of `succ` is a term that is its own
successor.  Let's just check that `X = succ X`:
@@ -51,9 +53,9 @@ successor.  Let's just check that `X = succ X`:
<pre><code>let succ = \n s z. s (n s z) in
let X = (\x. succ (x x)) (\x. succ (x x)) in
succ X
-&equiv; succ ( (\x. succ (x x)) (\x. succ (x x)) )
-~~> succ (succ ( (\x. succ (x x)) (\x. succ (x x))))
-&equiv; succ (succ X)
+&equiv;   succ ( (\x. succ (x x)) (\x. succ (x x)) )
+~~> succ (succ ( (\x. succ (x x)) (\x. succ (x x)) ))
+&equiv;   succ (succ X)
</code></pre>

You should see the close similarity with `Y Y` here.
@@ -64,21 +66,22 @@ You should see the close similarity with `Y Y` here.
A. Yes!  Let's see why it makes sense to think of `Y succ` as a Church
numeral:

-       [same definitions]
-       succ X
-       = (\n s z. s (n s z)) X
-       = \s z. s (X s z)
-       = succ (\s z. s (X s z)) ; using fixed-point reasoning
-       = \s z. s ([succ (\s z. s (X s z))] s z)
-       = \s z. s ([\s z. s ([succ (\s z. s (X s z))] s z)] s z)
-       = \s z. s (s (succ (\s z. s (X s z))))
+<pre><code>[same definitions]
+succ X
+&equiv;    (\n s z. s (n s z)) X
+~~>  \s z. s (X s z)
+<~~> succ (\s z. s (X s z)) ; using fixed-point reasoning
+&equiv;    (\n s z. s (n s z)) (\s z. s (X s z))
+~~>  \s z. s ((\s z. s (X s z)) s z)
+~~>  \s z. s (s (X s z))
+</code></pre>

So `succ X` looks like a numeral: it takes two arguments, `s` and `z`,
and returns a sequence of nested applications of `s`...

You should be able to prove that `add 2 (Y succ) <~~> Y succ`,
-likewise for `mult`, `minus`, `pow`.  What happens if we try `minus (Y
-succ)(Y succ)`?  What would you expect infinity minus infinity to be?
+likewise for `mul`, `sub`, `pow`.  What happens if we try `sub (Y
+succ) (Y succ)`?  What would you expect infinity minus infinity to be?
(Hint: choose your evaluation strategy so that you add two `s`s to the
first number for every `s` that you add to the second number.)

@@ -105,35 +108,35 @@ which we have to make a choice about which beta reduction to perform
next: one choice leads to a normal form, the other choice leads to
endless reduction:

-       let prefac = \f n. iszero n 1 (mult n (f (pred n))) in
-       let fac = Y prefac in
-       fac 2
-          = [(\f.(\x.f(xx))(\x.f(xx))) prefac] 2
-          = [(\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx))] 2
-          = [prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] 2
-          = [prefac(prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx))))] 2
-          = [(\f n. iszero n 1 (mult n (f (pred n))))
-                 (prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx))))] 2
-          = [\n. iszero n 1 (mult n ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] (pred n)))] 2
-          = iszero 2 1 (mult 2 ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] (pred 2)))
-          = mult 2 ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] 1)
-          ...
-          = mult 2 (mult 1 ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] 0))
-          = mult 2 (mult 1 (iszero 0 1 ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] (pred 0))))
-          = mult 2 (mult 1 1)
-          = mult 2 1
-          = 2
+<pre><code>let prefact = \f n. iszero n 1 (mul n (f (pred n))) in
+let fact = Y prefact in
+fact 2
+&equiv;   [(\f. (\x. f (x x)) (\x. f (x x))) prefact] 2
+~~> [(\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x))] 2
+~~> [prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] 2
+~~> [prefact (prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x))))] 2
+&equiv;   [ (\f n. iszero n 1 (mul n (f (pred n)))) (prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x))))] 2
+~~> [\n. iszero n 1 (mul n ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] (pred n)))] 2
+~~> iszero 2 1 (mul 2 ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] (pred 2)))
+~~> mul 2 ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] 1)
+...
+~~> mul 2 (mul 1 ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] 0))
+&equiv;   mul 2 (mul 1 (iszero 0 1 (mul 1 ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] (pred 0)))))
+~~> mul 2 (mul 1 1)
+~~> mul 2 1
+~~> 2
+</code></pre>

The crucial step is the third from the last.  We have our choice of
either evaluating the test `iszero 0 1 ...`, which evaluates to `1`,
no matter what the ... contains;
-or we can evaluate the `Y` pump, `(\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx))`, to
-produce another copy of `prefac`.  If we postpone evaluting the
-`iszero` test, we'll pump out copy after copy of `prefac`, and never
+or we can evaluate the `Y` pump, `(\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x))`, to
+produce another copy of `prefact`.  If we postpone evaluting the
+`iszero` test, we'll pump out copy after copy of `prefact`, and never
realize that we've bottomed out in the recursion.  But if we adopt a
leftmost/call-by-name/normal-order evaluation strategy, we'll always
start with the `iszero` predicate, and only produce a fresh copy of
-`prefac` if we are forced to.
+`prefact` if we are forced to.

#Q.  You claimed that the Ackerman function couldn't be implemented using our primitive recursion techniques (such as the techniques that allow us to define addition and multiplication).  But you haven't shown that it is possible to define the Ackerman function using full recursion.#
@@ -148,20 +151,20 @@ A. OK:

let A = Y (\A m n. iszero m (succ n) (iszero n (A (pred m) 1) (A (pred m) (A m (pred n)))))

-For instance,
+So for instance:

-    A 1 2
-    = A 0 (A 1 1)
-    = A 0 (A 0 (A 1 0))
-    = A 0 (A 0 (A 0 1))
-    = A 0 (A 0 2)
-    = A 0 3
-    = 4
+       A 1 2
+       ~~> A 0 (A 1 1)
+       ~~> A 0 (A 0 (A 1 0))
+       ~~> A 0 (A 0 (A 0 1))
+       ~~> A 0 (A 0 2)
+       ~~> A 0 3
+       ~~> 4

-A 1 x is to A 0 x as addition is to the successor function;
-A 2 x is to A 1 x as multiplication is to addition;
-A 3 x is to A 2 x as exponentiation is to multiplication---
-so A 4 x is to A 3 x as hyper-exponentiation is to exponentiation...
+`A 1 x` is to `A 0 x` as addition is to the successor function;
+`A 2 x` is to `A 1 x` as multiplication is to addition;
+`A 3 x` is to `A 2 x` as exponentiation is to multiplication---
+so `A 4 x` is to `A 3 x` as hyper-exponentiation is to exponentiation...

#Q. What other questions should I be asking?#

@@ -247,7 +250,7 @@ So, if we were searching the list that implements some set to see if the number
we can stop. If we haven't found `5` already, we know it's not in the rest of the
list either.

-This is an improvement, but it's still a "linear" search through the list.
+*Comment*: This is an improvement, but it's still a "linear" search through the list.
There are even more efficient methods, which employ "binary" searching. They'd
represent the set in such a way that you could quickly determine whether some
element fell in one half, call it the left half, of the structure that
@@ -257,7 +260,7 @@ determination could be made for whichever half you were directed to. And then
for whichever quarter you were directed to next. And so on. Until you either
found the element or exhausted the structure and could then conclude that the
element in question was not part of the set. These sorts of structures are done
-using **binary trees** (see below).
+using [binary trees](/implementing_trees).

#Aborting a search through a list#