some functional code -> iterative
[lambda.git] / code / lambda.js
index 7dcb53d..609cce0 100644 (file)
 /*jslint bitwise: true,
-       eqeqeq: true,
-       immed: true,
-       newcap: true,
-       nomen: true,
-       onevar: true,
-       plusplus: true,
-       regexp: true,
-       rhino: true,
-       browser: false,
-       undef: true,
-       white: true,
-
-       evil: false,
-       regexp: false,
-       sub: true,
-       laxbreak: true,
-       onevar: false,
-       debug: true */
+    eqeqeq: true,
+    immed: true,
+    newcap: true,
+    nomen: true,
+    onevar: true,
+    plusplus: true,
+    regexp: true,
+    rhino: true,
+    browser: false,
+    undef: true,
+    white: true,
+
+    evil: false,
+    regexp: false,
+    sub: true,
+    laxbreak: true,
+    onevar: false,
+    debug: true */
 
 
 // DeBruijn terms
 // substitution and translation algorithms from Chris Hankin, An Introduction to Lambda Calculi for Comptuer Scientists
 //
 function Db_free(variable) {
-       this.variable = variable;
-       this.subst = function (m, new_term) {
-               return this;
-       };
-       this.renumber = function (m, i) {
-               return this;
-       };
-       // we assume that other will have variable iff it's a Db_free
-       this.equal = function (other) {
-               return other.variable && this.variable.equal(other.variable);
-       };
-       this.contains = this.equal;
+    this.variable = variable;
+    this.subst = function (m, new_term) {
+        return this;
+    };
+    this.renumber = function (m, i) {
+        return this;
+    };
+    // we assume that other will have variable iff it's a Db_free
+    this.equal = function (other) {
+        return other.variable && this.variable.equal(other.variable);
+    };
+    this.contains = this.equal;
 }
 
 function Db_index(i) {
-       this.index = i;
-       this.subst = function (m, new_term) {
-               if (this.index < m) {
-                       return this;
-               } else if (this.index > m) {
-                       return new Db_index(this.index - 1);
-               } else {
-                       return new_term.renumber(this.index, 1);
-               }
-       };
-       this.renumber = function (m, i) {
-               if (this.index < i) {
-                       return this;
-               } else {
-                       return new Db_index(this.index + m - 1);
-               }
-       };
-       // we assume that other will have index iff it's a Db_index
-       this.equal = function (other) {
-               return this.index === other.index;
-       };
-       this.contains = this.equal;
+    this.index = i;
+    this.subst = function (m, new_term) {
+        if (this.index < m) {
+            return this;
+        } else if (this.index > m) {
+            return new Db_index(this.index - 1);
+        } else {
+            return new_term.renumber(this.index, 1);
+        }
+    };
+    this.renumber = function (m, i) {
+        if (this.index < i) {
+            return this;
+        } else {
+            return new Db_index(this.index + m - 1);
+        }
+    };
+    // we assume that other will have index iff it's a Db_index
+    this.equal = function (other) {
+        return this.index === other.index;
+    };
+    this.contains = this.equal;
 }
 
 function Db_app(left, right) {
-       this.left = left;
-       this.right = right;
-       this.subst = function (m, new_term) {
-               return new Db_app(this.left.subst(m, new_term), this.right.subst(m, new_term));
-       };
-       this.renumber = function (m, i) {
-               return new Db_app(this.left.renumber(m, i), this.right.renumber(m, i));
-       };
-       // we assume that other will have left iff it's a Db_app
-       this.equal = function (other) {
-               return other.left && this.left.equal(other.left) && this.right.equal(other.right);
-       };
-       this.contains = function (other) {
-               if (other.left && this.left.equal(other.left) && this.right.equal(other.right)) {
-                       return true;
-               } else {
-                       return this.left.contains(other) || this.right.contains(other);
-               }
-       };
+    this.left = left;
+    this.right = right;
+    this.subst = function (m, new_term) {
+        return new Db_app(this.left.subst(m, new_term), this.right.subst(m, new_term));
+    };
+    this.renumber = function (m, i) {
+        return new Db_app(this.left.renumber(m, i), this.right.renumber(m, i));
+    };
+    // we assume that other will have left iff it's a Db_app
+    this.equal = function (other) {
+        return other.left && this.left.equal(other.left) && this.right.equal(other.right);
+    };
+    this.contains = function (other) {
+        if (other.left && this.left.equal(other.left) && this.right.equal(other.right)) {
+            return true;
+        } else {
+            return this.left.contains(other) || this.right.contains(other);
+        }
+    };
 }
 
 function Db_lam(body) {
-       this.body = body;
-       this.subst = function (m, new_term) {
-               return new Db_lam(this.body.subst(m + 1, new_term));
-       };
-       this.renumber = function (m, i) {
-               return new Db_lam(this.body.renumber(m, i + 1));
-       };
-       // we assume that other will have body iff it's a Db_lam
-       this.equal = function (other) {
-               return other.body && this.body.equal(other.body);
-       };
-       this.contains = function (other) {
-               if (other.body && this.body.equal(other.body)) {
-                       return true;
-               } else {
-                       return this.body.contains(other);
-               }
-       };
+    this.body = body;
+    this.subst = function (m, new_term) {
+        return new Db_lam(this.body.subst(m + 1, new_term));
+    };
+    this.renumber = function (m, i) {
+        return new Db_lam(this.body.renumber(m, i + 1));
+    };
+    // we assume that other will have body iff it's a Db_lam
+    this.equal = function (other) {
+        return other.body && this.body.equal(other.body);
+    };
+    this.contains = function (other) {
+        if (other.body && this.body.equal(other.body)) {
+            return true;
+        } else {
+            return this.body.contains(other);
+        }
+    };
 }
 
 
@@ -111,156 +111,167 @@ function Db_lam(body) {
 // http://okmij.org/ftp/Computation/lambda-calc.html#lambda-calculator-haskell
 //
 function Variable(name, tag) {
-       this.name = name;
-       this.tag = tag || 0;
-       this.to_string = function () {
-               // append count copies of str to accum
-               function markup(accum, count) {
-                       if (count === 0) {
-                               return accum;
-                       } else {
-                               return markup(accum + "'", count - 1);
-                       }
-               }
-               return markup(this.name, this.tag);
-       };
-       this.equal = function (other) {
-               return (this.tag === other.tag) && (this.name === other.name);
-       };
-       // position of this in seq
-       this.position = function (seq) {
-               for (var i = 0; i < seq.length; i += 1) {
-                       if (this.equal(seq[i])) {
-                               return new Db_index(i + 1);
-                       }
+    this.name = name;
+    this.tag = tag || 0;
+    this.to_string = function () {
+        // append count copies of str to accum
+//         function markup(accum, count) {
+//             if (count === 0) {
+//                 return accum;
+//             } else {
+//                 return markup(accum + "'", count - 1);
+//             }
+//         }
+//         return markup(this.name, this.tag);
+               var s = this.name;
+               for (var count = 0; count < this.tag; count += 1) {
+                       s += "'";
                }
-               return new Db_free(this);
-       };
+               return s;
+    };
+    this.equal = function (other) {
+        return (this.tag === other.tag) && (this.name === other.name);
+    };
+    // position of this in seq
+    this.position = function (seq) {
+        for (var i = 0; i < seq.length; i += 1) {
+            if (this.equal(seq[i])) {
+                return new Db_index(i + 1);
+            }
+        }
+        return new Db_free(this);
+    };
 }
 
 // if v occurs free_in term, returns Some v' where v' is the highest-tagged
 // variable with the same name as v occurring (free or bound) in term
 //
 function free_in(v, term) {
-       var res = term.has_free(v);
-       return res[0] && res[1];
+    var res = term.has_free(v);
+    return res[0] && res[1];
 }
 
 function subst(v, new_term, expr) {
-       if (new_term.variable && new_term.variable.equal(v)) {
-               return expr;
-       } else {
-               return expr.subst(v, new_term);
-       }
+    if (new_term.variable && new_term.variable.equal(v)) {
+        return expr;
+    } else {
+        return expr.subst(v, new_term);
+    }
 }
 
 function equal(expr1, expr2) {
-       return expr1.debruijn([]).equal(expr2.debruijn([]));
+    return expr1.debruijn([]).equal(expr2.debruijn([]));
 }
 
 function contains(expr1, expr2) {
-       return expr1.debruijn([]).contains(expr2.debruijn([]));
+    return expr1.debruijn([]).contains(expr2.debruijn([]));
 }
 
 
 function Lambda_var(variable) {
-       this.variable = variable;
-       this.debruijn = function (seq) {
-               return this.variable.position(seq);
-       };
-       this.to_string = function (as_atom) {
-               return this.variable.to_string();
-       };
-       this.has_free = function (v) {
-               if (v.name !== this.variable.name) {
-                       return [false, v];
-               } else if (v.tag === this.variable.tag) {
-                       return [true, v];
-               } else {
-                       return [false, this.variable];
-               }
-       };
-       this.subst = function (v, new_term) {
-               if (this.variable.equal(v)) {
-                       return new_term;
-               } else {
-                       return this;
-               }
-       };
-       this.check_eta = function () {
-               return this;
-       };
-       this.eval_loop = function (stack, eta) {
-               function unwind(left, stack) {
-                       if (stack.length === 0) {
-                               return left;
-                       } else {
-                               var x = stack[0];
-                               var xs = stack.slice(1);
-                               return unwind(new Lambda_app(left, x.eval_loop([], eta)), xs);
+    this.variable = variable;
+    this.debruijn = function (seq) {
+        return this.variable.position(seq);
+    };
+    this.to_string = function (as_atom) {
+        return this.variable.to_string();
+    };
+    this.has_free = function (v) {
+        if (v.name !== this.variable.name) {
+            return [false, v];
+        } else if (v.tag === this.variable.tag) {
+            return [true, v];
+        } else {
+            return [false, this.variable];
+        }
+    };
+    this.subst = function (v, new_term) {
+        if (this.variable.equal(v)) {
+            return new_term;
+        } else {
+            return this;
+        }
+    };
+    this.check_eta = function () {
+        return this;
+    };
+    this.eval_loop = function (stack, eta) {
+        function unwind(left, stack) {
+//             if (stack.length === 0) {
+//                 return left;
+//             } else {
+//                 var x = stack[0];
+//                 var xs = stack.slice(1);
+//                 return unwind(new Lambda_app(left, x.eval_loop([], eta)), xs);
+//             }
+                       var res = left, x;
+                       while (stack.length) {
+                               x = stack.shift();
+                               res = new Lambda_app(res, x.eval_loop([], eta));
                        }
-               }
-               return unwind(this, stack);
-       };
-       this.eval_cbv = function (aggressive) {
-               return this;
-       };
+                       return res;
+        }
+        return unwind(this, stack);
+    };
+    this.eval_cbv = function (aggressive) {
+        return this;
+    };
 }
 
 function Lambda_app(left, right) {
-       this.left = left;
-       this.right = right;
-       this.debruijn = function (seq) {
-               return new Db_app(this.left.debruijn(seq), this.right.debruijn(seq));
-       };
-       this.to_string = function (as_atom) {
-               var base;
-               if (this.left.left) {
-                       base = this.left.to_string() + " " + this.right.to_string(true);
-               } else {
-                       base = this.left.to_string(true) + " " + this.right.to_string(true);
-               }
-               if (as_atom) {
-                       return "(" + base + ")";
-               } else {
-                       return base;
-               }
-       };
-       this.has_free = function (v) {
-               var left_res = this.left.has_free(v);
-               var right_res = this.right.has_free(v);
-               var left_bool = left_res[0];
-               var right_bool = right_res[0];
-               var left_tag = left_res[1].tag;
-               var right_tag = right_res[1].tag;
-               var res;
-               if (left_tag > right_tag) {
-                       res = left_res[1];
-               } else {
-                       res = right_res[1];
-               }
-               return [left_bool || right_bool, res];
-       };
-       this.subst = function (v, new_term) {
-               return new Lambda_app(subst(v, new_term, this.left), subst(v, new_term, this.right));
-       };
-       this.check_eta = function () {
-               return this;
-       };
-       this.eval_loop = function (stack, eta) {
-               var new_stack = stack.slice(0);
-               new_stack.unshift(this.right);
-               return this.left.eval_loop(new_stack, eta);
-       };
-       this.eval_cbv = function (aggressive) {
-               var left = this.left.eval_cbv(aggressive);
-               var right = this.right.eval_cbv(aggressive);
-               if (left.body) {
-                       return subst(left.bound, right, left.body).eval_cbv(aggressive);
-               } else {
-                       return new Lambda_app(left, right);
-               }
-       };
+    this.left = left;
+    this.right = right;
+    this.debruijn = function (seq) {
+        return new Db_app(this.left.debruijn(seq), this.right.debruijn(seq));
+    };
+    this.to_string = function (as_atom) {
+        var base;
+        if (this.left.left) {
+            base = this.left.to_string() + " " + this.right.to_string(true);
+        } else {
+            base = this.left.to_string(true) + " " + this.right.to_string(true);
+        }
+        if (as_atom) {
+            return "(" + base + ")";
+        } else {
+            return base;
+        }
+    };
+    this.has_free = function (v) {
+        var left_res = this.left.has_free(v);
+        var right_res = this.right.has_free(v);
+        var left_bool = left_res[0];
+        var right_bool = right_res[0];
+        var left_tag = left_res[1].tag;
+        var right_tag = right_res[1].tag;
+        var res;
+        if (left_tag > right_tag) {
+            res = left_res[1];
+        } else {
+            res = right_res[1];
+        }
+        return [left_bool || right_bool, res];
+    };
+    this.subst = function (v, new_term) {
+        return new Lambda_app(subst(v, new_term, this.left), subst(v, new_term, this.right));
+    };
+    this.check_eta = function () {
+        return this;
+    };
+    this.eval_loop = function (stack, eta) {
+        var new_stack = stack.slice(0);
+        new_stack.unshift(this.right);
+        return this.left.eval_loop(new_stack, eta);
+    };
+    this.eval_cbv = function (aggressive) {
+        var left = this.left.eval_cbv(aggressive);
+        var right = this.right.eval_cbv(aggressive);
+        if (left.body) {
+            return subst(left.bound, right, left.body).eval_cbv(aggressive);
+        } else {
+            return new Lambda_app(left, right);
+        }
+    };
 }
 
 
@@ -269,112 +280,127 @@ function Lambda_app(left, right) {
 
 
 function Lambda_lam(variable, body) {
-       this.bound = variable;
-       this.body = body;
-       this.debruijn = function (seq) {
-               var new_seq = seq.slice(0);
-               new_seq.unshift(this.bound);
-               return new Db_lam(this.body.debruijn(new_seq));
-       };
-       this.to_string = function (as_atom) {
-               var base = "\\" + this.to_string_funct();
-               if (as_atom) {
-                       return "(" + base + ")";
-               } else {
-                       return base;
-               }
-       };
-       this.to_string_funct = function () {
-               if (this.body.to_string_funct) {
-                       return this.bound.to_string() + " " + this.body.to_string_funct();
-               } else {
-                       return this.bound.to_string() + ". " + this.body.to_string();
-               }
-       };
-       this.has_free = function (v) {
-               if (this.bound.equal(v)) {
-                       return [false, v];
-               } else {
-                       return this.body.has_free(v);
-               }
-       };
-       this.subst = function (v, new_term) {
-               function bump_tag(v1, v2) {
-                       var max;
-                       if (v1.tag > v2.tag) {
-                               max = v1.tag;
-                       } else {
-                               max = v2.tag;
-                       }
-                       return new Variable(v1.name, max + 1);
-               }
-               function bump_tag2(v1, v2) {
-                       if (v1.name !== v2.name) {
-                               return v1;
-                       } else {
-                               return bump_tag(v1, v2);
-                       }
-               }
-               if (this.bound.equal(v)) {
-                       return this;
-               } else {
-                       var res = free_in(this.bound, new_term);
+    this.bound = variable;
+    this.body = body;
+    this.debruijn = function (seq) {
+        var new_seq = seq.slice(0);
+        new_seq.unshift(this.bound);
+        return new Db_lam(this.body.debruijn(new_seq));
+    };
+    this.to_string = function (as_atom) {
+        var base = "\\" + this.to_string_funct();
+        if (as_atom) {
+            return "(" + base + ")";
+        } else {
+            return base;
+        }
+    };
+    this.to_string_funct = function () {
+        if (this.body.to_string_funct) {
+            return this.bound.to_string() + " " + this.body.to_string_funct();
+        } else {
+            return this.bound.to_string() + ". " + this.body.to_string();
+        }
+    };
+    this.has_free = function (v) {
+        if (this.bound.equal(v)) {
+            return [false, v];
+        } else {
+            return this.body.has_free(v);
+        }
+    };
+    this.subst = function (v, new_term) {
+        function bump_tag(v1, v2) {
+            var max;
+            if (v1.tag > v2.tag) {
+                max = v1.tag;
+            } else {
+                max = v2.tag;
+            }
+            return new Variable(v1.name, max + 1);
+        }
+        function bump_tag2(v1, v2) {
+            if (v1.name !== v2.name) {
+                return v1;
+            } else {
+                return bump_tag(v1, v2);
+            }
+        }
+        if (this.bound.equal(v)) {
+            return this;
+        } else {
+            var res = free_in(this.bound, new_term);
             // if x is free in the inserted term new_term, a capture is possible
-                       if (res) {
-                               // this.bound is free in new_term, need to alpha-convert
-                               var uniq_x = bump_tag2(bump_tag(this.bound, res), v);
-                               var res2 = free_in(uniq_x, this.body);
-                               if (res2) {
-                                       uniq_x = bump_tag(uniq_x, res2);
-                               }
-                               var body2 = subst(this.bound, new Lambda_var(uniq_x), this.body);
-                               return new Lambda_lam(uniq_x, subst(v, new_term, body2));
-                       } else {
-                               // this.bound not free in new_term, can substitute new_term for v without any captures
-                               return new Lambda_lam(this.bound, subst(v, new_term, this.body));
+            if (res) {
+                // this.bound is free in new_term, need to alpha-convert
+                var uniq_x = bump_tag2(bump_tag(this.bound, res), v);
+                var res2 = free_in(uniq_x, this.body);
+                if (res2) {
+                    uniq_x = bump_tag(uniq_x, res2);
+                }
+                var body2 = subst(this.bound, new Lambda_var(uniq_x), this.body);
+                return new Lambda_lam(uniq_x, subst(v, new_term, body2));
+            } else {
+                // this.bound not free in new_term, can substitute new_term for v without any captures
+                return new Lambda_lam(this.bound, subst(v, new_term, this.body));
+            }
+        }
+    };
+    this.check_eta = function () {
+        if (this.body.right && this.body.right.variable && this.bound.equal(this.body.right.variable) && !free_in(this.bound, this.body.left)) {
+            return this.body.left;
+        } else {
+            return this;
+        }
+    };
+    this.eval_loop = function (stack, eta) {
+        if (stack.length === 0) {
+            var term = new Lambda_lam(this.bound, this.body.eval_loop([], eta));
+            if (eta) {
+                return term.check_eta();
+            } else {
+                return term;
+            }
+        } else {
+            var x = stack[0];
+            var xs = stack.slice(1);
+            return subst(this.bound, x, this.body).eval_loop(xs, eta);
+        }
+    };
+    this.eval_cbv = function (aggressive) {
+        if (aggressive) {
+            return new Lambda_lam(this.bound, this.body.eval_cbv(aggressive));
+        } else {
+            return this;
+        }
+    };
+    this.to_int = function (sofar) {
+//         if (this.body.body && this.body.body.variable && this.body.bound.equal(this.body.body.variable)) {
+//             return 0 + sofar;
+//         } else if (this.body.variable && this.bound.equal(this.body.variable)) {
+//             return 1 + sofar;
+//         } else if (this.body.body && this.body.body.left && this.body.body.left.variable && this.bound.equal(this.body.body.left.variable)) {
+//             var new_int = new Lambda_lam(this.bound, new Lambda_lam(this.body.bound, this.body.body.right));
+//             return new_int.to_int(1 + sofar);
+//         } else {
+//             return "not a church numeral";
+//         }
+               var res = 0, s = this.bound, z, cursor;
+               if (this.body.variable && s.equal(this.body.variable)) {
+                       return 1;
+               } else if (this.body.bound) {
+                       z = this.body.bound;
+                       cursor = this.body.body;
+                       while (cursor.left && cursor.left.variable && s.equal(cursor.left.variable)) {
+                               res += 1;
+                               cursor = cursor.right;
                        }
-               }
-       };
-       this.check_eta = function () {
-               if (this.body.right && this.body.right.variable && this.bound.equal(this.body.right.variable) && !free_in(this.bound, this.body.left)) {
-                       return this.body.left;
-               } else {
-                       return this;
-               }
-       };
-       this.eval_loop = function (stack, eta) {
-               if (stack.length === 0) {
-                       var term = new Lambda_lam(this.bound, this.body.eval_loop([], eta));
-                       if (eta) {
-                               return term.check_eta();
-                       } else {
-                               return term;
+                       if (cursor.variable && z.equal(cursor.variable)) {
+                               return res;
                        }
-               } else {
-                       var x = stack[0];
-                       var xs = stack.slice(1);
-                       return subst(this.bound, x, this.body).eval_loop(xs, eta);
-               }
-       };
-       this.eval_cbv = function (aggressive) {
-               if (aggressive) {
-                       return new Lambda_lam(this.bound, this.body.eval_cbv(aggressive));
-               } else {
-                       return this;
                }
-       };
-       this.to_int = function (sofar) {
-               if (this.body.body && this.body.body.variable && this.body.bound.equal(this.body.body.variable)) {
-                       return 0 + sofar;
-               } else if (this.body.variable && this.bound.equal(this.body.variable)) {
-                       return 1 + sofar;
-               } else if (this.body.body && this.body.body.left && this.body.body.left.variable && this.bound.equal(this.body.body.left.variable)) {
-                       var new_int = new Lambda_lam(this.bound, new Lambda_lam(this.body.bound, this.body.body.right));
-                       return new_int.to_int(1 + sofar);
-               } else {
-                       return "not a church numeral";
-               }
-       };
+               return "not a church numeral";
+    };
 }
 
 
@@ -385,32 +411,64 @@ function Lambda_lam(variable, body) {
 // cbv is 1: use call-by-value, don't descend inside lambda
 // cbv is 2: applicative order
 function reduce(expr, eta, cbv) {
-       if (cbv) {
-               return expr.eval_cbv(cbv > 1);
-       } else {
-               return expr.eval_loop([], eta);
-       }
+    if (cbv) {
+        return expr.eval_cbv(cbv > 1);
+    } else {
+        return expr.eval_loop([], eta);
+    }
 }
 
 function make_var(name) {
-       return new Variable(name);
+    return new Variable(name);
 }
 function make_app(aa, bb) {
-       return new Lambda_app(aa, bb);
+    return new Lambda_app(aa, bb);
 }
 function make_lam(a, aa) {
-       return new Lambda_lam(a, aa);
+    return new Lambda_lam(a, aa);
 }
 
 try {
-       if (console && console.debug) {
-               function print() {
-                       console.debug.apply(this, arguments);
-               }
-       }
+    if (console && console.debug) {
+        function print() {
+            console.debug.apply(this, arguments);
+        }
+    }
 } catch (e) {}
 
-
+/*
+let true = K in
+let false = \x y. y in
+let and = \l r. l r false in
+let or = \l r. l true r in
+let pair = \u v f. f u v in
+let triple = \u v w f. f u v w in
+let succ = \n s z. s (n s z) in
+let pred = \n s z. n (\u v. v (u s)) (K z) I in
+let ifzero = \n. n (\u v. v (u succ)) (K 0) (\n withp whenz. withp n) in
+let add = \m n. n succ m in
+let mul = \m n. n (\z. add m z) 0 in
+let mul = \m n s. m (n s) in
+let sub = (\mzero msucc mtail. \m n. n mtail (m msucc mzero) true) (pair 0 I) (\d. d (\a b. pair (succ a) (K d))) (\d. d false d) in
+let min = \m n. sub m (sub m n) in
+let max = \m n. add n (sub m n) in
+let lt = (\mzero msucc mtail. \n m. n mtail (m msucc mzero) true (\x. true) false) (pair 0 I) (\d. d (\a b. pair (succ a) (K d))) (\d. d false d) in
+let leq = (\mzero msucc mtail. \m n. n mtail (m msucc mzero) true (\x. false) true) (pair 0 I) (\d. d (\a b. pair (succ a) (K d))) (\d. d false d) in
+let eq = (\mzero msucc mtail. \m n. n mtail (m msucc mzero) true (\x. false) true) (pair 0 (K (pair 1 I))) (\d. d (\a b. pair (succ a) (K d))) (\d. d false d) in
+let divmod = (\mzero msucc mtail. \n divisor.
+               (\dhead. n (mtail dhead) (\sel. dhead (sel 0 0)))
+              (divisor msucc mzero (\a b c. c x))
+              (\d m a b c. pair d m) )
+          (triple succ (K 0) I)
+          (\d. triple I succ (K d))
+          (\dhead d. d (\dz mz df mf drest sel. drest dhead (sel (df dz) (mf mz)))) in
+let div = \n d. divmod n d true in
+let mod = \n d. divmod n d false in
+let Y = \f. (\y. f(y y)) (\y. f(y y)) in
+let Z = (\u f. f(u u f)) (\u f. f(u u f)) in
+let fact = \y. y (\f n. ifzero n (\p. mul n (f p)) 1) in
+fact Z 3
+*/