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Assignment 5

-Types and OCAML
+Types and OCaml
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0. Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
-   Give two different typings for this function in OCAML.
+   Give two different typings for this function in OCaml.
To get you started, here's one typing for K:

# let k (y:'a) (n:'b) = y;;
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- : int = 1

-1. Which of the following expressions is well-typed in OCAML?
+1. Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
For those that are, give the type of the expression as a whole.
For those that are not, why not?

@@ -68,11 +68,12 @@ Types and OCAML

let _ = omega () in 2;;

-3. The following expression is an attempt to make explicit the
+3. This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
+The following expression is an attempt to make explicit the
behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
-other expression types.  So assume that "yes" is any OCAML expression,
-and "no" is any other OCAML expression (of the same type as "yes"!),
+other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
+and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
"if bool then yes else no" should be equivalent to

@@ -142,26 +143,27 @@ Baby monads
match x with None -> None | Some n -> f n;;

-Booleans, Church numbers, and Church lists in System F
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+Booleans, Church numbers, and Church lists in OCaml
+---------------------------------------------------

These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar.
+The idea is to get booleans, Church numbers, "Church" lists, and
+binary trees working in OCaml.

Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.

-    τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
-    e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
+    τ ::= 'α | τ1 → τ2 | ∀'α. τ | c
+    e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'α. e | e [τ ]

Recall that bool may be encoded as follows:

bool := ∀α. α → α → α
true := Λα. λt:α. λf :α. t
false := Λα. λt:α. λf :α. f
-    ifτ e then e1 else e2 := e [τ ] e1 e2

(where τ indicates the type of e1 and e2)

-   Exercise 1. Show how to encode the following terms. Note that each of these terms, when applied to the
+   Note that each of the following terms, when applied to the
appropriate arguments, return a result of type bool.

(a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
@@ -178,35 +180,35 @@ These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar
encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
a function s : α → α.

-   Exercise 2. Verify that these encodings (zero, succ , rec) typecheck in System F.
-   (Draw a type tree for each term.)
+   **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
+     including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, and pred.
+     It's especially useful to do a version of pred, starting with one
+     of the (untyped) versions available in the lambda library
+     accessible from the main wiki page.  The point of the excercise
+     is to do these things on your own, so avoid using the built-in
+     OCaml booleans and list predicates.

Consider the following list type:

-    datatype ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
+    type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list

We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:

τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
-    consτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
+    makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)

-   As with nats, The τ list type’s case analyzing elimination form is just application.
+   As with nats, recursion is built into the datatype.

-   We can write functions like map:
+   We can write functions like head, isNil, and map:

map : (σ → τ ) → σ list → τ list
-      := λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y

-   Exercise 3. Consider the following simple binary tree type:
+   We've given you the type for map, you only need to give the term.

-    datatype ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
+   With regard to `head`, think about what value to give back if the
+   argument is the empty list.  Ultimately, we might want to make use
+   of our `'a option` technique, but for this assignment, just pick a
+   strategy, no matter how clunky.

-   (a) Give a System F encoding of binary trees, including a deﬁnition of the type τ tree and deﬁnitions of
-   the constructors leaf : τ tree and node : τ tree → τ → τ tree → τ tree.
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-   (b) Write a function height : τ tree → nat. You may assume the above encoding of nat as well as deﬁnitions
-   of the functions plus : nat → nat → nat and max : nat → nat → nat.
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-   (c) Write a function in-order : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
-   may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.
+   Please provide both the terms and the types for each item.