index ccf402a..5a2a488 100644 (file)
-Types and OCAML
+Assignment 5

-1. Which of the following expressions is well-typed in OCAML?
-   For those that are, give the type of the expression as a whole.
-   For those that are not, why not?
+Types and OCaml
+---------------

-    let rec f x = f x;;
+0.     Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
+       Give two different typings for this function in OCaml.
+       To get you started, here's one typing for K:

-    let rec f x = f f;;
+               # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
+               val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
+               # k 1 true;;
+               - : int = 1

-    let rec f x = f x in f f;;

-    let rec f x = f x in f ();;
+1.     Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
+       For those that are, give the type of the expression as a whole.
+       For those that are not, why not?

-    let rec f () = f f;;
+               let rec f x = f x;;

-    let rec f () = f ();;
+               let rec f x = f f;;

-    let rec f () = f () in f f;;
+               let rec f x = f x in f f;;

-    let rec f () = f () in f ();;
+               let rec f x = f x in f ();;

-2. Throughout this problem, assume that we have
+               let rec f () = f f;;

-    let rec omega x = omega x;;
+               let rec f () = f ();;

-   All of the following are well-typed.
-   Which ones terminate?  What are the generalizations?
+               let rec f () = f () in f f;;

-    omega;;
+               let rec f () = f () in f ();;

-    omega ();;
+2.     Throughout this problem, assume that we have

-    fun () -> omega ();;
+               let rec blackhole x = blackhole x;;

-    (fun () -> omega ()) ();;
+       All of the following are well-typed.
+       Which ones terminate?  What are the generalizations?

-    if true then omega else omega;;
+               blackhole;;

-    if false then omega else omega;;
+               blackhole ();;

-    if true then omega else omega ();;
+               fun () -> blackhole ();;

-    if false then omega else omega ();;
+               (fun () -> blackhole ()) ();;

-    if true then omega () else omega;;
+               if true then blackhole else blackhole;;

-    if false then omega () else omega;;
+               if false then blackhole else blackhole;;

-    if true then omega () else omega ();;
+               if true then blackhole else blackhole ();;

-    if false then omega () else omega ();;
+               if false then blackhole else blackhole ();;

-    let _ = omega in 2;;
+               if true then blackhole () else blackhole;;

-    let _ = omega () in 2;;
+               if false then blackhole () else blackhole;;

-3. The following expression is an attempt to make explicit the
+               if true then blackhole () else blackhole ();;
+
+               if false then blackhole () else blackhole ();;
+
+               let _ = blackhole in 2;;
+
+               let _ = blackhole () in 2;;
+
+3.     This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
+The following expression is an attempt to make explicit the
behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
-The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
-other expression types.  So assume that "yes" is any OCAML expression,
-and "no" is any other OCAML expression (of the same type as "yes"!),
+The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
+other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
+and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
"if bool then yes else no" should be equivalent to

-    let b = bool in
-    let y = yes in
-    let n = no in
-    match b with true -> y | false -> n
+               let b = bool in
+               let y = yes in
+               let n = no in
+               match b with true -> y | false -> n
+
+       This almost works.  For instance,
+
+               if true then 1 else 2;;
+
+       evaluates to 1, and
+
+               let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
+               match b with true -> y | false -> n;;
+
+       also evaluates to 1.  Likewise,
+
+               if false then 1 else 2;;
+
+       and
+
+               let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
+               match b with true -> y | false -> n;;
+
+       both evaluate to 2.
+
+       However,
+
+               let rec blackhole x = blackhole x in
+               if true then blackhole else blackhole ();;
+
+       terminates, but
+
+               let rec blackhole x = blackhole x in
+               let b = true in
+               let y = blackhole in
+               let n = blackhole () in
+               match b with true -> y | false -> n;;
+
+       does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
+       false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
+       without using the magical evaluation order properties of either `if`
+       or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
+       you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
+
+       [[Hint assignment 5 problem 3]]
+
+-----------
+
+Read the lecture notes for week 6, then write a
+function `lift'` that generalized the correspondence between + and
+`add'`: that is, `lift'` takes any two-place operation on integers
+and returns a version that takes arguments of type `int option`
+instead, returning a result of `int option`.  In other words,
+`lift'` will have type
+
+       (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
+
+so that `lift' (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
+Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
+You should make use of `bind'` in your definition of `lift'`:
+
+       let bind' (x: int option) (f: int -> (int option)) =
+               match x with None -> None | Some n -> f n;;
+
+
+Booleans, Church numbers, and Church lists in OCaml
+---------------------------------------------------
+
+(These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
+
+The idea is to get booleans, Church numbers, "Church" lists, and
+binary trees working in OCaml.
+
+Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
+
+       τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
+       e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
+
+Recall that bool may be encoded as follows:
+
+       bool := ∀α. α → α → α
+       true := Λα. λt:α. λf :α. t
+       false := Λα. λt:α. λf :α. f
+
+(where τ indicates the type of e1 and e2)
+
+Note that each of the following terms, when applied to the
+appropriate arguments, return a result of type bool.
+
+(a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
+(b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
+(c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
+
+The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
+
+       nat := ∀α. α → (α → α) → α
+       zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
+       succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)

-This almost works.  For instance,
+A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
+encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
+a function s : α → α.

-    if true then 1 else 2;;
+**Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
+including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, add.

-evaluates to 1, and
+Consider the following list type:

-    let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
-    match b with true -> y | false -> n;;
+       type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list

-also evaluates to 1.  Likewise,
+We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:

-    if false then 1 else 2;;
+       τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
+       nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
+       makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)

-and
+As with nats, recursion is built into the datatype.

-    let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
-    match b with true -> y | false -> n;;
+We can write functions like map:

-both evaluate to 2.
+       map : (σ → τ ) → σ list → τ list
+               = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y

-However,
+**Excercise** convert this function to OCaml.  Also write an `append` function.
+Test with simple lists.

-    let rec omega x = omega x in
-    if true then omega else omega ();;
+Consider the following simple binary tree type:

-terminates, but
+       type ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree

-    let rec omega x = omega x in
-    let b = true in
-    let y = omega in
-    let n = omega () in
-    match b with true -> y | false -> n;;
+**Excercise**
+Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
+leaves in an int tree.

-does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
-false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
-without using the magical evaluation order properties of either `if`
-or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
-you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
+Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
+may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.

-[[Hint assignment 5 problem 3]]