index a8981cf..fa02cb8 100644 (file)
@@ -1,7 +1,7 @@
Reduction
---------

-Find "normal forms" for the following---that is, reduce them until no more reductions are possible. We'll write &lambda;`x` as `\x`.
+Find "normal forms" for the following---that is, reduce them until no more reductions are possible. We'll write <code>&lambda;x</code> as `\x`.

1. `(\x \y. y x) z`
2. `(\x (x x)) z`
@@ -17,8 +17,8 @@ Booleans

Recall our definitions of true and false.

->   `true` defined to be `\t \f. t`
->   `false` defined to be `\t \f. f`
+>   **true** is defined to be `\t \f. t`
+>   **false** is defined to be `\t \f. f`

In Racket, these can be defined like this:

@@ -40,16 +40,13 @@ evaluates to 10.

<LI>Define an `and` operator.

-<LI>Define an `xor` operator.
-
-(If you haven't seen this term before, here's a truth table:
+<LI>Define an `xor` operator. If you haven't seen this term before, here's a truth table:

true xor true = false
true xor false = true
false xor true = true
false xor false = false

-)

<LI>Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
capable of representing one of the two values `black` or `white`.
@@ -57,7 +54,7 @@ If we have
one of those values, call it a "black-or-white value", we should be able to
write:

-       the-value if-black if-white
+       the-value if-black if-white

(where `if-black` and `if-white` are anything), and get back one of `if-black` or
`if-white`, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
@@ -76,66 +73,62 @@ Pairs

Recall our definitions of ordered pairs.

->   the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`
+>   the pair **(**x**,**y**)** is defined to be `\f. f x y`

To extract the first element of a pair p, you write:

-        p (\fst \snd. fst)
+       p (\fst \snd. fst)

Here are some definitions in Racket:

-        (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
-        (define get-first (lambda (fst) (lambda (snd) fst)))
-        (define get-second (lambda (fst) (lambda (snd) snd)))
+       (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
+       (define get-first (lambda (fst) (lambda (snd) fst)))
+       (define get-second (lambda (fst) (lambda (snd) snd)))

Now we can write:

-        (define p ((make-pair 10) 20))
-        (p get-first)   ; will evaluate to 10
-        (p get-second)  ; will evaluate to 20
+       (define p ((make-pair 10) 20))
+       (p get-first)   ; will evaluate to 10
+       (p get-second)  ; will evaluate to 20

-If you're bothered by having the pair to the left and the function that
+If you're puzzled by having the pair to the left and the function that
operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair
-is a package that takes a function for operating on its elements as an
-argument, and returns the result of operating on its elemens with that
-function. In other words, the pair is also a function.  (Of course, in the
-untyped lambda calculus, absolutely *everything* is a function: functors,
-arguments, abstracts, redexes, values---everything.)
+is a package that takes a function for operating on its elements *as an
+argument*, and returns *the result of* operating on its elements with that
+function. In other words, the pair is a higher-order function. (Consider the similarities between this definition of a pair and a generalized quantifier.)

If you like, you can disguise what's going on like this:

-        (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
-        (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
+       (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
+       (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))

Now you can write:

-        (lifted-get-first p)
+       (lifted-get-first p)

-        (p get-first)
+       (p get-first)

-However, the latter is still what's going on under the hood.
+However, the latter is still what's going on under the hood. (Remark: `(lifted-f ((make-pair 10) 20))` stands to `(((make-pair 10) 20) f)` as `(((make-pair 10) 20) f)` stands to `((f 10) 20)`.)

<OL start=13>
-<LI>Define a `swap` function that reverses the elements of a pair.
-
-Expected behavior:
+<LI>Define a `swap` function that reverses the elements of a pair. Expected behavior:

-        (define p ((make-pair 10) 20))
-        ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
-        ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
+       (define p ((make-pair 10) 20))
+       ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
+       ((p swap) get-second) ; evaluates to 10

-Write out the definition of swap in Racket.
+Write out the definition of `swap` in Racket.

<LI>Define a `dup` function that duplicates its argument to form a pair
whose elements are the same.
Expected behavior:

-        ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
-        ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
+       ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
+       ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10

<LI>Define a `sixteen` function that makes
sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
@@ -143,7 +136,7 @@ your choice).

<LI>Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered triples. That is,

-        (((make-triple M) N) P)
+       (((make-triple M) N) P)

should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the `make-triple` function, you have to show how to extract elements of your triple. Write a `get-first-of-triple` function, that does for triples what `get-first` does for pairs. Also write `get-second-of-triple` and `get-third-of-triple` functions.

@@ -151,7 +144,7 @@ should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. I

You can help yourself to the following definition:

-    (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
+       (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))

<!-- Write a function that reverses the order of the elements in a list. [Only attempt this problem if you're feeling frisky, it's super hard unless you have lots of experience programming.]  -->