1 # Introduction to the Lambda Calculus #
3 We often talk about "*the* Lambda Calculus", as if there were just
4 one; but in fact, there are many, many variations.  The one we will
5 start with, and will explore in some detail, is often called "the pure"
6 or "the untyped" Lambda Calculus. Actually, there are many variations even under that heading. But all of the variations share a strong family
7 resemblance, so what we learn now will apply to all of them.
9 > Fussy note: calling this the "pure" Lambda Calculus is entrenched terminology,
10 but it coheres imperfectly with other uses of "pure" we'll encounter. There are
11 three respects in which the lambda calculus we'll be presenting might claim to
12 deserve the name "pure": (1) it has no pre-defined constants and a very spare
13 syntax; (2) it has no types; (3) it has no side-effects, and is insensitive to
14 the order of evaluation.
16 > Sense (3) corresponds most closely to the other uses of "pure" you'll
17 see in the surrounding literature. With respect to this point, it may be true that the Lambda Calculus has no side effects. (Let's revisit that assumption
18 at the end of term.) But as we'll see next week, it is *not* true that it's insensitive to the order of evaluation. So if that's what we mean by "pure", this lambda calculus isn't as pure as you might hope to get. Some *typed* lambda calculi will turn out to be more pure in that respect.
20 > But this lambda calculus is at least "pure" in sense (2). At least, it
21 doesn't *explicitly talk about* any types. Some prefer to say that the
22 Lambda Calculus *does* have types implicitly, it's just that
23 there's only one type, so that every expression is a member of
24 that one type. If you say that, you have to say that functions from
25 this type to this type also belong to this type. Which is weird... In
26 fact, though, such types are studied, under the name "recursive
27 types." More about these later in the seminar.
29 > Well, at least this lambda calculus is "pure" in sense (1). As we'll
30 see next week, though, there are some computational formal systems
31 whose syntax is *even more* spare, in that they don't even have variables.
32 So if that's what mean by "pure", again this lambda calculus isn't as pure
33 as you might hope to get.
35 > Still, if you say you're talking about "the pure" Lambda Calculus,
36 or "the untyped" Lambda Calculus, or even just "the" Lambda Calculus, this
37 is the system that people will understand you to be referring to.
39 ## Syntax ##
41 Here is its syntax:
43 <blockquote>
44 <strong>Variables</strong>: <code>x</code>, <code>y</code>, <code>z</code> ...
45 </blockquote>
47 Each variable is an expression. For any variable `a` and (possibly complex) expressions `M` and `N`, the following are also expressions:
49 <blockquote>
50 <strong>Abstract</strong>: <code>(&lambda;a M)</code>
51 </blockquote>
53 We'll tend to write <code>(&lambda;a M)</code> as just `(\a M)`, so we
54 don't have to write out the markup code for the
55 <code>&lambda;</code>. You can yourself write <code>(&lambda;a
56 M)</code> or `(\a M)` or `(lambda a M)`.
58 <blockquote>
59 <strong>Application</strong>: <code>(M N)</code>
60 </blockquote>
62 Expressions in the lambda calculus are called "terms".  Here is the
63 syntax of the lambda calculus given in the form of a context-free
64 grammar:
66 > T --> Var
67 > T --> ( &lambda; Var T)
68 > T --> ( T T )
69 > Var --> x
70 > Var --> y
71 > Var --> z
72 > ...
74 Very, very simple.
76 Sometimes the first two production rules are further distinguished, and those
77 are called more specifically "value terms". Whereas Applications (terms of the
78 form `(M N)`) are terms but not value terms.
80 Examples of terms:
82     x
83     (y x)
84     (x x)
85     (\x y)
86     (\x x)
87     (\x (\y x))
88     (x (\x x))
89     ((\x (x x)) (\x (x x)))
92 ## Beta-Reduction ##
94 The lambda calculus has an associated proof theory. For now, we can regard the
95 proof theory as having just one rule, called the rule of **beta-reduction** or
96 "beta-contraction". Suppose you have some expression of the form:
98     ((\a M) N)
100 This is an application whose first element is an abstract.  This
101 compound form is called a **redex**, meaning it's a "beta-reducible
102 expression." `(\a M)` is called the **head** of the redex; `N` is
103 called the **argument**, and `M` is called the **body**.
105 The rule of beta-reduction permits a transition from that expression to the following:
107 > <code>M</code> [<code>a</code> <-- <code>N</code>]
109 What this means is just `M`, with any *free occurrences* inside `M` of
110 the variable `a` replaced with the term `N` (--- "without capture", which
113 What is a free occurrence?
115 > Any occurrence of a variable `a` is **bound** in T when T has the form `(\a N)`.
117 > An occurrence of a variable `a` is **bound** in T when T has the form `(\b
118 N)` --- that is, with a *different* variable `b` --- just in case that
119 occurrence of `a` is bound in the subexpression `N`.
121 > When T has the form `(M N)`, any occurrences of `a` that are bound in the
122 subexpression `M` are also bound in T, and so too any occurrences of `a` that
123 are bound in the subexpression `N`.
125 > An occurrence of a variable is **free** if it's not bound.
127 For instance consider the following term `T`:
129     (x (\x (\y (x (y z)))))
131 The first occurrence of `x` in T is free.  The `\x` we won't regard as
132 containing an occurrence of `x`. The next occurrence of `x` occurs
133 within a form `(\x (\y ...))` that begins with `\x`, so it is bound as well. The
134 occurrence of `y` is bound; and the occurrence of `z` is free.
138 * [[!wikipedia Free variables and bound variables]]
140 Here's an example of beta-reduction:
142     ((\x (y x)) z)
144 beta-reduces to:
146     (y z)
148 We'll write that like this:
150     ((\x (y x)) z) ~~> (y z)
152 Different authors use different terminology and notation. Some authors use the term
153 "contraction" for a single reduction step, and reserve the term
154 "reduction" for the reflexive transitive closure of that, that is, for
155 zero or more reduction steps. Informally, it seems easiest to us to
156 say "reduction" for one or more reduction steps. So when we write:
158     M ~~> N
160 we'll mean that you can get from `M` to `N` by one or more reduction
161 steps.
163 When `M` and `N` are such that there is some common term (perhaps just one
164 of those two, or perhaps a third term) that they both reduce to,
165 we'll say that `M` and `N` are **beta-convertible**. We'll write that
166 like this:
168     M <~~> N
170 More details about the notation and metatheory of
174 ## Shorthand ##
176 The grammar we gave for the lambda calculus leads to some
177 verbosity. There are several informal conventions in widespread use,
178 which enable the language to be written more compactly. (If you like,
179 you could instead articulate a formal grammar which incorporates these
180 additional conventions. Instead of showing it to you, we'll leave it
181 as an exercise for those so inclined.)
184 **Parentheses** Outermost parentheses around applications can be dropped. Moreover, applications will associate to the left, so `M N P` will be understood as `((M N) P)`. Finally, you can drop parentheses around abstracts, but not when they're part of an application. So you can abbreviate:
186     (\x (x y))
188 as:
190     \x (x y)
192 but you should include the parentheses in:
194     (\x (x y)) z
196 and:
198     z (\x (x y))
201 **Dot notation** Dot means "assume a left paren here, and the matching right
202 paren as far to the right as possible without creating unbalanced
203 parentheses". So:
205     \x (\y (x y))
207 can be abbreviated as:
209     \x (\y. x y)
211 and that as:
213     \x. \y. x y
215 This:
217     \x. \y. (x y) x
219 abbreviates:
221     \x (\y ((x y) x))
223 This on the other hand:
225     (\x. \y. (x y)) x
227 abbreviates:
229     ((\x (\y (x y))) x)
231 We didn't have to insert any parentheses around the inner body of `\y. (x y)` because they were already there.
234 **Merging lambdas** An expression of the form `(\x (\y M))`, or equivalently, `(\x. \y. M)`, can be abbreviated as:
236     (\x y. M)
238 Similarly, `(\x (\y (\z M)))` can be abbreviated as:
240     (\x y z. M)
243 ## Lambda terms represent functions ##
245 Let's pause and consider the following fundamental question: what is a
246 function?  One popular answer is that a function can be represented by
247 a set of ordered pairs.  This set is called the **graph** of the
248 function.  If the ordered pair `(a, b)` is a member of the graph of `f`,
249 that means that `f` maps the argument `a` to the value `b`.  In
250 symbols, `f: a` &mapsto; `b`, or `f (a) == b`.
252 In order to count as a *function* (rather
253 than as merely a more general *relation*), we require that the graph not contain two
254 (distinct) ordered pairs with the same first element.  That is, in
255 order to count as a proper function, each argument must correspond to
256 a unique result.
258 The lambda calculus seems to be wonderfully well-suited for
259 representing functions.  In fact, the untyped
260 lambda calculus is Turing Complete (see [[!wikipedia Turing completeness]]):
261 all (recursively computable) functions can be represented by lambda
262 terms. Which, by most people's lights, means that all functions we can "effectively decide" ---
263 that is, always apply in a mechanical way without requiring any ingenuity or insight, and be guaranteed of a correct answer after some finite number of steps ---
264 can be represented by lambda terms. As we'll see, though, it will be fun
265 (that is, not straightforward) unpacking how these things can be so "represented."
267 For some lambda terms, it is easy to see what function they represent:
269 > `(\x x)` represents the identity function: given any argument `M`, this function
270 simply returns `M`: `((\x x) M) ~~> M`.
272 > `(\x (x x))` duplicates its argument (applies it to itself):
273 `((\x (x x)) M) ~~> (M M)` <!-- **M** or &omega;; W is \uv.uvv, L is \uv.u(vv) -->
275 > `(\x (\y (y x)))` reorders its two arguments:
276 `(((\x  (\y (y x))) M) N) ~~> (N M)` <!-- **T**; C is \uvx.uxv -->
278 > `(\x (\y x))` throws away its second argument:
279 `(((\x (\y x)) M) N) ~~> M` <!-- **K** -->
281 and so on.  In order to get an intuitive feel for the power of the
282 lambda calculus, note that duplicating, reordering, and deleting
283 elements is all that it takes to simulate the behavior of a general
284 word processing program.  That means that if we had a big enough
285 lambda term, it could take a representation of *Emma* as input and
286 produce *Hamlet* as a result.
288 Some of these functions are so useful that we'll give them special
289 names.  In particular, we'll call the identity function `(\x x)`
290 **I**, and the function `(\x (\y x))` **K** (for "konstant": <code><b>K</b> x</code> is
291 a "constant function" that accepts any second argument `y` and ignores
292 it, always returning `x`).
294 It is easy to see that distinct lambda expressions can represent the same
295 function, considered as a mapping from input to outputs. Obviously:
297     (\x x)
299 and:
301     (\z z)
303 both represent the same function, the identity function. However, we said
304 [[in the advanced notes|week2_lambda_advanced]] that we would be regarding these expressions as
305 synactically equivalent, so they aren't yet really examples of *distinct*
306 lambda expressions representing a single function. However, all three of these
307 are distinct lambda expressions:
309     (\y x. y x) (\z z)
311     (\x. (\z z) x)
313     (\z z)
315 yet when applied to any argument M, all of these will always return M. So they
316 have the same extension. It's also true, though you may not yet be in a
317 position to see, that no other function can differentiate between them when
318 they're supplied as an argument to it. However, these expressions are all
319 syntactically distinct.
321 The first two expressions are (beta-)*convertible*: in particular the first
322 reduces to the second via a single instance of beta reduction. So they
323 can be regarded as proof-theoretically equivalent even though they're
324 not syntactically identical. However, the proof theory we've given so
325 far doesn't permit you to reduce the second expression to the
326 third. So these lambda expressions are non-equivalent.
328 In other words, we have here different (non-equivalent) lambda terms with the
329 same extension. This introduces some tension between the popular way of
330 thinking of functions as represented by (identical to?) their graphs or
331 extensions, and the idea that lambda terms express functions. Well, perhaps the
332 lambda terms are just a finer-grained way of expressing functions than
333 extensions are?
335 As we'll see, though, there are even further sources of
336 tension between the idea of functions-as-extensions and the idea of functions
337 embodied in the lambda calculus.
340 1.  One reason is that that general
341 mathematical conception permits many *uncomputable* functions, but the
342 lambda calculus can't express those.
344 2.  More problematically, lambda terms express "functions" that can *take themselves* as arguments.  If we wanted to represent that set-theoretically, and
345 identified functions with their extensions, then we'd have to have some
346 extension that contained (an ordered pair containing) itself as a member. Which
347 we're not allowed to do in mainstream set-theory.  But in the lambda calculus
348 this is permitted and common --- and in fact will turn out to be indispensable.
350     Here are some simple examples. We can apply the identity function to itself:
352         (\x x) (\x x)
354    This is a redex that reduces to the identity function (of course).
356    We can apply the **K** function to another argument and itself:
358    > <code><b>K</b> z <b>K</b></code>
360     That is:
362         (\x (\y x)) z (\x (\y x))
364     That reduces to just `z`.
366 3.  As we'll see in coming weeks, some lambda terms will turn out to be
367 impossible to associate with any extension. This is related to the previous point.
370 In fact it *does* turn out to be possible to represent the Lambda Calculus
371 set-theoretically. But not in the straightforward way that identifies
372 functions with their graphs. For years, it wasn't known whether it would be possible to do this. But then
373 [[!wikipedia Dana Scott]] figured out how to do it in late 1969, that is,
374 he formulated the first "denotational semantics" for this Lambda Calculus.
375 Scott himself had expected that this wouldn't be possible to do. He argued
376 for its unlikelihood in a paper he wrote only a month before the discovery.
378 (You can find an exposition of Scott's semantics in Chapters 15 and 16 of the
379 Hindley &amp; Seldin book we recommended, and an exposition of some simpler
380 models that have since been discovered in Chapter 5 of the Hankin book, and
381 Section 16F of Hindley &amp; Seldin. But realistically, you really ought to
382 wait a while and get more familiar with these systems before you'll be at all
383 ready to engage with those ideas.)
385 We've characterized the rule of beta-reduction as a kind of "proof theory" for
386 the Lambda Calculus. In fact, the usual proof theory is expressed in terms of
387 *convertibility* rather than in terms of reduction; but it's natural to
388 understand reduction as being the conceptually more fundamental notion. And
389 there are some proof theories for this system that are expressed in terms of
390 reduction.
392 To use a linguistic analogy, you can think of what we're calling
393 "proof theory" as a kind of syntactic transformation. The
394 sentences *John saw Mary* and *Mary was seen by John* are not
395 syntactically identical, yet (on some theories) one can be derived
396 from the other. The key element in the analogy is that this kind of
397 syntactic derivation is supposed to preserve meaning, so that the two
398 sentences mean (roughly) the same thing.
400 There's an extension of the proof-theory we've presented so far which
401 does permit a further move of just that sort. It would permit us to
402 also count these functions:
404     (\x. (\z z) x)
406     (\z z)
408 as equivalent. This additional move is called **eta-reduction**. It's
409 crucial to eta-reduction that the outermost variable binding in the
410 abstract we begin with (here, `\x`) be of a variable that occurs free
411 exactly once in the body of that abstract, and that that free occurrence be the rightmost outermost constituent.
413 The expression:
415     (\x (\y (y x))
417 can't be eta-reduced, because the rightmost outermost constituent is not `x` but `(\y (y x)`.
419 In the extended proof theory/theories we get be permitting eta-reduction/conversion as well as beta-reduction, *all computable functions with the same
420 extension do turn out to be equivalent*, that is, convertible.
422 However, we still shouldn't assume we're working with functions
423 traditionally conceived as just sets of ordered pairs, for the other
424 reasons sketched above.
427 ## The analogy with `let` ##
429 In our basic functional programming language, we used `let`
430 expressions to assign values to variables.  For instance,
432     let x match 2
433     in (x, x)
435 evaluates to the ordered pair (2, 2).  It may be helpful to think of
436 a redex in the lambda calculus as a particular sort of `let`
437 construction.
439     ((\x BODY) ARG)
441 is analogous to
443     let x match ARG
444     in BODY
446 This analogy should be treated with caution.  For one thing, our `letrec`
447 allowed us to define recursive functions in which the name `x` appeared within
448 `ARG`, but we wanted it there to be bound to the very same `ARG`.  We're not
449 ready to deal with recursive functions in the lambda calculus yet.
451 For another, we defined `let` in terms of *values*: we said that the variable
452 `x` was bound to whatever *value* `ARG` *evaluated to*. At this point, it's
453 not clear what the values are in the lambda calculus. We only have expressions.
454 (Though there was a suggestive remark earlier about some of the expressions but
455 not others being called "value terms".)
457 So perhaps we should translate `((\x BODY) ARG)` in purely syntactic terms,
458 like: "let `x` be replaced by `ARG` in `BODY`"?
460 Most problematically, in the lambda
461 calculus, an abstract such as `(\x (x x))` is perfectly well-formed
462 and coherent, but it is not possible to write a `let` expression that
463 does not have an `ARG`. That would be like:
465 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;`let x match` *missing*
466 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;`in x x`
468 Nevertheless, the correspondence is close enough that it can guide our
469 intuition.